专题2.2直线的方程（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题2.1 直线的方程 教学目标 1、理解并掌握直线方程的五种形式；能利用条件熟练地选择恰当方程形式求直线的方程； 2、能够熟练进行各种形式之间的互化； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)点斜式方程；(2)一般式方程；(3)不同形式的互化； 2、难点：两点式方程、斜率存在与否的讨论. 知识点01 直线的点斜式方程 过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为：y－y0＝k(x－x0)，这个方程称为直线的点斜式方程. 注意：(1)由点斜式求直线方程的前提：斜率存在. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0. 特别地，x轴的方程是y＝0； (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0. 特别地，y轴的方程是x＝0. 【即学即练1-1】(24-25高二上·福建福州·期中)已知直线经过点，且方向向量，则的方程为( ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(24-25高二上·福建泉州·期末)倾斜角为的直线过点，则的方程为(   ) A． B． C． D． 知识点02 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 【即学即练2】(24-25高二上·贵州黔东南·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是(    ) A． B． C． D． 知识点03 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【即学即练3】(24-25高二上·福建龙岩·期末)已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 知识点04 直线的截距式方程 我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【即学即练4】(2025高二·全国·专题练习)已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为(    ) A． B．或 C． D．或 知识点05 直线的一般式方程 把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 【即学即练4】(24-25高二下·上海杨浦·期末)已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 题型01 直线的点斜式方程 【典例1-1】(24-25高二上·广东广州·阶段练习)已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【典例1-2】(2025·广西桂林·一模)已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(24-25高二下·安徽·阶段练习)直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【典例1-4】(24-25高二上·河北廊坊·期末)已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【变式1-1】(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高二下·安徽·阶段练习)若直线经过点且与直线垂直，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25高二下·河南·阶段练习)若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(24-25高二下·陕西商洛·阶段练习)直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 题型02 直线的斜截式方程 【典例2-1】(24-25高二上·广东深圳·期中)已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【典例2-2】(24-25高二上·福建福州·期中)(多选)以下关于直线的表述正确的是(    ) A．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 B．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 C．点斜式方程可用于表示过点且不与轴垂直的直线 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【变式2-1】(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(19-20高二·全国·课后作业)已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高二上·湖北十堰·阶段练习)如图所示，直线与的图象可能是( ) A． B． C． D． 题型03 直线的两点式方程 【典例3-1】(24-25高二上·全国·课后作业)经过点，的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(24-25高二上·河南郑州·期末)一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程 . 【变式3-1】(24-25高二上·重庆·期末)过、两点的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高二上·安徽合肥·期末)一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【变式3-3】(24-25高二上·贵州毕节·阶段练习)已知直线l经过，两点，则(   ) A．直线l的一个点斜式为 B．直线l的一个两点式为 C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的一个方向向量为 【变式3-4】(24-25高二下·上海崇明·期末)求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点；(2)与直线平行． 题型04 直线的截距式方程 【典例4-1】(24-25高二上·安徽亳州·阶段练习)若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【典例4-2】(24-25高二上·河南三门峡·期末)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【典例4-2】(24-25高二上·湖南永州·阶段练习)直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数(   ) A． B． C． D．2 【变式4-1】(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(多选)(22-23高二上·江苏徐州·阶段练习)已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是(    ) A．1 B． C．2 D． 【变式4-3】(25-26高二上·全国·课后作业)直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-4】(24-25高二上·广东清远·期中)已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 题型05 直线的一般式方程 【典例5-1】(24-25高二上·广西河池·期末)已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程;(2)边上的高所在直线的一般式方程. 【典例5-2】(多选)(24-25高一下·重庆·期末)已知直线，则下列说法正确的是(    ) A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【变式5-1】(24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末)已知直线的方程，则直线l的倾斜角为(   ) A． B． C． D． 【变式5-2】(24-25高二下·湖南郴州·开学考试)已知直线l：的倾斜角为，则实数(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高二上·江西赣州·期末)对于直线，下列选项正确的是(   ) A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 题型06 动直线过定点问题 【典例6-1】(24-25高二上·四川自贡·期末)已知是、的等差中项，直线恒过定点，则定点的坐标为 . 【典例6-2】(24-25高三上·云南昆明·期末)若成等差数列，则直线过定点 . 【典例6-3】(多选)(24-25高二上·安徽马鞍山·期末)下列说法正确的是(    ) A．直线必过定点． B．截距相等的直线都可以用方程表示 C．直线的倾斜角为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 【变式6-1】(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线． (1)求直线所过定点；(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式6-2】(24-25高二下·上海宝山·期末)已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【变式6-3】(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值；(2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 题型07 直线与坐标轴围成的三角形面积 【典例7-1】(24-25高二下·湖南·阶段练习)已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 【典例7-2】(24-25高二上·甘肃白银·期末)过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为(    ) A． B． C． D． 【变式7-1】(24-25高二上·江苏苏州·期中)在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. (1)当直线l在y轴上的截距为2，求S的值；(2)当，求直线l在x轴上的截距. 【变式7-2】(24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【变式7-3】(2025高二·全国·专题练习)已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 题型08 直线方程的应用 【典例8-1】(多选)(24-25高一下·江苏南京·期末)下列说法错误的是(   ) A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【典例8-2】(多选)(24-25高二上·山东泰安·期末)下列结论正确的是(   ) A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 【变式8-1】(24-25高二下·上海杨浦·期中)若直线经过第一、二、四象限，则(    ) A．且 B．且 C．且 D．且 【变式8-2】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线过定点，则下列说法正确的是(    ) A．直线过定点 B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C．若直线在轴上的截距为－3，则 D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【变式8-3】(多选)(24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末)下列说法正确的是( ) A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【变式8-4】(多选)(24-25高二上·江苏淮安·阶段练习)下列结论正确的是(    ) A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 一、单选题 1.(24-25高二上·浙江嘉兴·期末)经过点且倾斜角为的直线方程是(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二下·河南商丘·开学考试)过点且方向向量为的直线的方程为(   ) A． B． C． D． 3.(24-25高二上·河北邯郸·期末)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为(   ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为(    ) A． B． C． D． 5.(24-25高二上·山西·期末)过点且与直线垂直的直线的方程是(   ) A． B． C． D． 6.(24-25高二上·河南开封·期末)中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为(   ) A． B． C． D． 7.(24-25高一下·江苏镇江·期中)直线与轴、轴分别交于两点，则(为坐标原点)的平分线所在直线的方程为(    ) A． B． C． D．或 8.(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为(    ) A．或 B．或 C． D． 二、多选题 9.(24-25高二上·江苏连云港·期中)设直线过两点和，则(   ) A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 10.(24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习)下列说法正确的是(   ) A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点，的直线都可用方程表示 11.(24-25高二上·上海·期中)下列说法中，正确的有(   ) A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 三、填空题 12.(24-25高二上·广东深圳·期末)直线的一个单位方向向量为 ． 13.(24-25高二上·北京平谷·期末)经过点，且与直线平行的直线方程是 . 14.(24-25高二上·吉林长春·期末)已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 四、解答题 15.(24-25高二下·湖南株洲·开学考试)分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为(2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 16.(2025高二·全国·专题练习)已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程；(2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程；(4)边上的高所在直线的方程． 17.(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程；(2)点的坐标． 18.(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线． (1)求直线所过定点；(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19.(24-25高二上·广东东莞·期中)直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 直线的方程 教学目标 1、理解并掌握直线方程的五种形式；能利用条件熟练地选择恰当方程形式求直线的方程； 2、能够熟练进行各种形式之间的互化； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)点斜式方程；(2)一般式方程；(3)不同形式的互化； 2、难点：两点式方程、斜率存在与否的讨论. 知识点01 直线的点斜式方程 过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为：y－y0＝k(x－x0)，这个方程称为直线的点斜式方程. 注意：(1)由点斜式求直线方程的前提：斜率存在. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0. 特别地，x轴的方程是y＝0； (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0. 特别地，y轴的方程是x＝0. 【即学即练1-1】(24-25高二上·福建福州·期中)已知直线经过点，且方向向量，则的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即.故选：C 【即学即练1-2】(24-25高二上·福建泉州·期末)倾斜角为的直线过点，则的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即.故选：D 知识点02 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 【即学即练2】(24-25高二上·贵州黔东南·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求得直线的方程为，再验证. 【详解】因为直线的倾斜角为，且过点，即在y轴上的截距是：， 所以直线的方程为，当时，.故选：D. 知识点03 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【即学即练3】(24-25高二上·福建龙岩·期末)已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 【答案】【难度】0.94【知识点】已知两点求直线的方程 【分析】根据中点坐标公式即可根据两点式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 故边上的中线CD所在直线方程为：； 即，故答案为： 知识点04 直线的截距式方程 我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【即学即练4】(2025高二·全国·专题练习)已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为(    ) A． B．或 C． D．或 【答案】D【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析 【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为．综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或．故选：D． 知识点05 直线的一般式方程 把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 【即学即练4】(24-25高二下·上海杨浦·期末)已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. (2)利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【详解】(1)直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. (2)依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或，所以点的坐标为或. 题型01 直线的点斜式方程 【典例1-1】(24-25高二上·广东广州·阶段练习)已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用求斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为，即，故选：A. 【典例1-2】(2025·广西桂林·一模)已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得.故选：D. 【典例1-3】(24-25高二下·安徽·阶段练习)直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为， 即，故选：A． 【典例1-4】(24-25高二上·河北廊坊·期末)已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】【难度】0.94【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为.故答案为： 【变式1-1】(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则.故选：B. 【变式1-2】(24-25高二下·安徽·阶段练习)若直线经过点且与直线垂直，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为， 即．故选：A. 【变式1-3】(24-25高二下·河南·阶段练习)若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得.故选：A 【变式1-4】(24-25高二下·陕西商洛·阶段练习)直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即.故选：B 【变式1-5】(24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习)经过点且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故B正确.故选：B 题型02 直线的斜截式方程 【典例2-1】(24-25高二上·广东深圳·期中)已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】代入直线的截距式方程即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得.故选：C 【典例2-2】(24-25高二上·福建福州·期中)(多选)以下关于直线的表述正确的是(    ) A．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 B．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 C．点斜式方程可用于表示过点且不与轴垂直的直线 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】AC【难度】0.85【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】对于A：根据斜截式方程分析判断即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据点斜式方程分析判断即可；对于D：根据斜率公式结合图像分析求解. 【详解】对A，斜率为，在y轴上的截距为3的直线斜截式方程为，A正确； 对B，经过点和原点的直线也满足题意，故B错误； 对C，点斜式方程适用于斜率存在的直线，C正确； 对D，易知直线过定点， 可得， 由图和正切函数性质可知，或，D错误.故选：AC. 【变式2-1】(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为.故选：D 【变式2-2】(19-20高二·全国·课后作业)已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】求出直线斜率，根据直线的斜截式方程，即可求得答案. 【详解】因为直线倾斜角为，故直线的斜率为, 又直线在轴上的截距为，故直线方程为,故选：D 【变式2-3】(24-25高二上·湖北十堰·阶段练习)如图所示，直线与的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】函数图像的识别、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故A错误； 对于B，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误； 对于C，由的图象，可知，，即，， 此时由的图象，可知，，两者一致，故C正确； 对于D，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误.故选：C. 题型03 直线的两点式方程 【典例3-1】(24-25高二上·全国·课后作业)经过点，的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线两点式方程及辨析 【分析】由直线的两点式方程求解即可； 【详解】由题意得，整理得．故选：A． 【典例3-2】(24-25高二上·河南郑州·期末)一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程 . 【答案】【难度】0.85【知识点】直线的两点式方程 【分析】根据反射原理，即可求反射光线过点，再代入两点式方程，即可求解. 【详解】反射光线必经过点关于x轴的对称点， 所以反射光线所在直线经过两点T、Q， 所以反射光线所在的直线方程为,即.故答案为： 【变式3-1】(24-25高二上·重庆·期末)过、两点的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析【分析】由截距式得到直线方程. 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误.故选：A 【变式3-2】(24-25高二上·安徽合肥·期末)一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】光线反射问题、求点关于直线的对称点、已知两点求直线的方程. 【分析】先求出点关于直线的对称点为，再利用两点式方程即可得答案. 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 所以直线的方程为：，即，化为 故答案为： 【变式3-3】(24-25高二上·贵州毕节·阶段练习)已知直线l经过，两点，则(   ) A．直线l的一个点斜式为 B．直线l的一个两点式为 C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的一个方向向量为 【答案】A【难度】0.65【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、求直线的方向向量(平面中) 【分析】由直线方程、斜率逐项判断即可. 【详解】因为直线l经过，两点，所以两点式为，故B错误； 由题意可得直线斜率，可知倾斜角为钝角，故C错； 一个方向向量为，可判断D错误； 所以点斜式方程为，A正确；故选:A 【变式3-4】(24-25高二下·上海崇明·期末)求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点；(2)与直线平行． 【答案】(1)；(2)【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】(1)求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； (2)由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】(1)由题意可得直线方程为，即； (2)由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 题型04 直线的截距式方程 【典例4-1】(24-25高二上·安徽亳州·阶段练习)若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【答案】或【难度】0.85【知识点】直线截距式方程 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为.故答案为：或 【典例4-2】(24-25高二上·河南三门峡·期末)经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或【难度】0.85【知识点】直线截距式方程 【分析】利用分类讨论思想，分截距为与不为两种情况，设出直线方程，代入点求得参数，可得答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为，即， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 【典例4-2】(24-25高二上·湖南永州·阶段练习)直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数(   ) A． B． C． D．2 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】令表示，得到直线纵截距．令表示出，得到直线的横截距，根据题意列方程求解． 【详解】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得．故选：B 【变式4-1】(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有，则，解得， 又，，所以，则，故选：A. 【变式4-2】(多选)(22-23高二上·江苏徐州·阶段练习)已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是(    ) A．1 B． C．2 D． 【答案】AC【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由题设得，再求出截距并列方程求参数值即可. 【详解】当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或.故选：AC 【变式4-3】(25-26高二上·全国·课后作业)直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为.故选：C. 【变式4-4】(24-25高二上·广东清远·期中)已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)(2)或【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】(1)利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； (2)利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】(1)由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； (2)联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 题型05 直线的一般式方程 【典例5-1】(24-25高二上·广西河池·期末)已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程;(2)边上的高所在直线的一般式方程. 【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析【分析】(1)两点式写出直线的方程，化为一般式即可； (2)根据垂直和直线AB的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】(1)，， 直线AB的方程为，化简得； (2)直线AB的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 【典例5-2】(多选)(24-25高一下·重庆·期末)已知直线，则下列说法正确的是(    ) A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、已知直线垂直求参数 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得，解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确；故选：AB 【变式5-1】(24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末)已知直线的方程，则直线l的倾斜角为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线：的斜率，所以直线l的倾斜角.故选：D 【变式5-2】(24-25高二下·湖南郴州·开学考试)已知直线l：的倾斜角为，则实数(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据给定的直线方程求出斜率，进而求出的值. 【详解】由直线l：的倾斜角为，得斜率，所以.故选：D 【变式5-3】(24-25高二上·江西赣州·期末)对于直线，下列选项正确的是(   ) A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、求直线的方向向量(平面中) 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确.故选：D. 题型06 动直线过定点问题 【典例6-1】(24-25高二上·四川自贡·期末)已知是、的等差中项，直线恒过定点，则定点的坐标为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、等差中项的应用 【分析】由题意得，将直线方程变形得出，由可求得点的坐标. 【详解】因为为、的等差中项，则，所以，， 所以，直线的方程即为，即， 由可得，所以，直线恒过定点. 故答案为：. 【典例6-2】(24-25高三上·云南昆明·期末)若成等差数列，则直线过定点 . 【答案】【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、等差中项的应用 【分析】由题意得，进而直线可化为，即可得到定点. 【详解】由题，有，所以由，得， 整理得，由，解得， 所以直线过定点.故答案为： 【典例6-3】(多选)(24-25高二上·安徽马鞍山·期末)下列说法正确的是(    ) A．直线必过定点． B．截距相等的直线都可以用方程表示 C．直线的倾斜角为 D．过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】AD【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、直线的倾斜角、由两条直线垂直求方程 【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用截距的定义可判定B，利用斜率与倾斜角的关系可判定C，利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定D. 【详解】对于A，由直线方程有 ，故必过点，故A正确； 对于B，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为，如， 所以不能用方程表示，故B错误； 对于C，直线的斜率为，则倾斜角为，故C错误； 对于D，由直线和的斜率分别为，则有，故相互垂直， 将代入方程，则成立，故D正确．故选：AD. 【变式6-1】(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线． (1)求直线所过定点；(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线图象的辨析 【分析】(1)由方程变形可得，列方程组，解方程即可； (2)数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； (3)求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】(1)由，即， 则，解得，所以直线过定点. (2)因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. (3)已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式6-2】(24-25高二下·上海宝山·期末)已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】(1)令，解方程组即可得解；(2)由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】(1)将直线整理得对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； (2)由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 【变式6-3】(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值；(2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】(1)因为，所以， 解得，故的值为； (2)因为，所以， 所以，解得，所以直线恒过定点； (3)因为，所以直线，设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 题型07 直线与坐标轴围成的三角形面积 【典例7-1】(24-25高二下·湖南·阶段练习)已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为.故选：C. 【典例7-2】(24-25高二上·甘肃白银·期末)过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以．故选：B 【变式7-1】(24-25高二上·江苏苏州·期中)在平面直角坐标系xOy中，且过点的直线l与坐标轴交于A、B两点，的面积记为S. (1)当直线l在y轴上的截距为2，求S的值；(2)当，求直线l在x轴上的截距. 【难度】0.85【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的斜截式方程及辨析 【分析】(1)求出直线l的方程为，得到直线在轴上的截距，求出三角形面积； (2)设直线l在x轴上的截距为，表达出直线l的方程和在y轴上截距，从而根据面积列出方程，求出答案. 【详解】(1)直线l的斜率为， 故直线l的方程为，令得， 所以； (2)设直线l在x轴上的截距为， 当时，直线l与轴无交点，不合题意，舍去， 则直线l的斜率为，直线l的方程为， 中，令得， 故，解得 故直线l在x轴上的截距为. 【变式7-2】(24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】(1)设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； (2)借助(1)中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】(1)由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点，所以，② 由①②解得或，所以直线的方程为：或， 即或. (2)由(1)可知，当直线的方程为时，； 当直线的方程为时，， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 【变式7-3】(2025高二·全国·专题练习)已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 【难度】0.85【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】设直线的方程为，根据面积得到方程，求出，得到直线方程. 【详解】设直线的方程为，令，得，令，得， 故，解得，即直线的方程为． 故答案为： 题型08 直线方程的应用 【典例8-1】(多选)(24-25高一下·江苏南京·期末)下列说法错误的是(   ) A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】AC【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、直线两点式方程及辨析 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.故选：AC 【典例8-2】(多选)(24-25高二上·山东泰安·期末)下列结论正确的是(   ) A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的倾斜角、求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；利用点关于直线的对称性可判断B选项；利用直线的截距式方程可判断C选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，过、两点的直线方程不能用表示，A错； 对于B选项，设点关于直线的对称点为， 由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上， 所以，，解得， 所以，点关于直线的对称点为，B对； 对于C选项，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得， 此时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 所以，，解得，此时，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，C错； 对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对.故选：BD. 【变式8-1】(24-25高二下·上海杨浦·期中)若直线经过第一、二、四象限，则(    ) A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B【难度】0.85【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的斜截式方程及辨析 【分析】化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限，所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距，所以且，故选：B. 【变式8-2】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线过定点，则下列说法正确的是(    ) A．直线过定点 B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C．若直线在轴上的截距为－3，则 D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D. 【详解】对于A，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，直线，即， 直线不经过第四象限，，解得， 故的取值范围是，故B错误； 对于C，易知时，直线在轴上的截距存在， 依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得． 对于D，设三点共线， ，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立， 当取得最小值时，直线的方程为，即．故选：ACD. 【变式8-3】(多选)(24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末)下列说法正确的是( ) A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD【难度】0.85【知识点】直线过定点问题、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点，因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为，所以选项D正确，故选：BD 【变式8-4】(多选)(24-25高二上·江苏淮安·阶段练习)下列结论正确的是(    ) A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】AC【难度】0.85【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】由斜率，倾斜角，点斜式与斜截式概念判断各选项正误； 【详解】A选项，因倾斜角为90°，则直线斜率不存在，又直线 过点，则其方程是，故A正确； B选项，方程与方程y－2＝k(x＋1)相比，不含点，故B错误； C选项，因直线斜率为0，则直线形式为，又l过点，则其方程是，故C正确； D选项，对于斜率不存在的直线，不存在相应的点斜式和斜截式方程，故D错误.故选：AC 一、单选题 1.(24-25高二上·浙江嘉兴·期末)经过点且倾斜角为的直线方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线的方程的概念、直线的倾斜角 【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解. 【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在， 又由直线过点 ，则其方程为故选：. 2.(24-25高二下·河南商丘·开学考试)过点且方向向量为的直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先由直线的方向向量得直线斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即.故选：A. 3.(24-25高二上·河北邯郸·期末)已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【详解】因为y轴的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为，故选：D 4.(24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为的顶点，， 所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上， 所以的欧拉线方程为.故选：A. 5.(24-25高二上·山西·期末)过点且与直线垂直的直线的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即.故选：D. 6.(24-25高二上·河南开封·期末)中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用中点坐标公式得，根据两直线垂直斜率之积等于可得，然后利用点斜式即可得 【详解】由题意，得D是AB的中点，则，且， 又，则， 则直线CD的方程为，即故选：B 7.(24-25高一下·江苏镇江·期中)直线与轴、轴分别交于两点，则(为坐标原点)的平分线所在直线的方程为(    ) A． B． C． D．或 【答案】B【难度】0.85【知识点】二倍角的正切公式、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图：设，为锐角)， 则，即， 则有，解可得或(舍)， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得，故选：B. 8.(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形， 所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为， 所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则， 由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或．故选：A. 二、多选题 9.(24-25高二上·江苏连云港·期中)设直线过两点和，则(   ) A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 【答案】BC【难度】0.85【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项. 【详解】根据斜率公式，，故A错误， 设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，则，B正确， 根据点斜式方程，直线的方程可写作，即， 令，则，令，则， 故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误.故选：BC 10.(24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习)下列说法正确的是(   ) A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点，的直线都可用方程表示 【答案】AD【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、斜率公式的应用、直线的斜截式方程及辨析 【分析】对于A，先求斜率，进而可得倾斜角；对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C，设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D，根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点，斜率为的直线，但不含点， 而表示过点，斜率为的直线，且含点，故B错误； 对于C：因为直线经过点，故斜率存在且不为0， 设直线为，令，则；令，则， 因为在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点，的直线，故D正确.故选：AD. 11.(24-25高二上·上海·期中)下列说法中，正确的有(   ) A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、二、三象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】ABD【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】运用截距概念判断A；根据斜率和截距可判断B；分情况求出直线方程即可判断C；求出直线方程判断D． 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线 的斜率为，在y轴上的截距为， 易知直线经过第一、二、三象限，B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为，故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12.(24-25高二上·广东深圳·期末)直线的一个单位方向向量为 ． 【答案】(或填)【难度】0.85【知识点】求直线的方向向量(平面中) 【分析】根据直线方向向量即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是， 所以直线的单位方向向量为或. 故答案为：(或填) 13.(24-25高二上·北京平谷·期末)经过点，且与直线平行的直线方程是 . 【答案】【难度】0.94【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】利用所求直线与直线平行，可设其方程，代入点，计算即得. 【详解】因所求直线与直线平行，故可设为， 代入点，解得， 故所求的直线方程为：.故答案为：. 14.(24-25高二上·吉林长春·期末)已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为， 当且仅当，即等号成立；故答案为：. 四、解答题 15.(24-25高二下·湖南株洲·开学考试)分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为(2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 【难度】0.85【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、直线斜率的定义 【分析】(1)求出斜率，利用直线的点斜式方程求解. (2)由平行关系设出方程，利用待定系数法求出方程. (3)按直线是否过原点分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】(1)由直线的倾斜角为，得其斜率， 所以直线的方程为，即. (2)设与直线平行的直线的方程为，而直线过点， 则，解得， 所以直线的方程为. (3)当直线过原点时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 16.(2025高二·全国·专题练习)已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程；(2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程；(4)边上的高所在直线的方程． 【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】(1)解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； (2)先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； (3)由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； (4)由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】(1)解法1：由两点式得边所在直线方程为，即． 由截距式得边所在直线方程为，即． 解法2：因为，所以边所在直线方程为，即． 因为，所以边所在直线方程为，即． (2)解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得， 由两点式得所在直线方程为，即． 解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得， 则， 所以所在直线方程为，即． (3)因为，的中点， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． (4)因为，， 所以边上的高所在直线方程为，即． 17.(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程；(2)点的坐标． 【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】(1)利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； (2)利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可. 【详解】(1)因为边所在直线过点，，所以    因为为菱形，所以，所以，       又，所以，整理得. (2)因为，，所以. 因为为菱形，所以，所以        因为，，所以中点坐标为，所以           联立方程组，解得，所以. 18.(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线． (1)求直线所过定点；(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线图象的辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】(1)由方程变形可得，列方程组，解方程即可； (2)数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； (3)求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】(1)由，即， 则，解得，所以直线过定点. (2)因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. (3)已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 19.(24-25高二上·广东东莞·期中)直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】(1)根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； (2)分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】(1)当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． (2)由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 31 页 专题 2.1 直线的方程 教学目标 1、理解并掌握直线方程的五种形式；能利用条件熟练地选择恰当方程形式求直线的方程； 2、能够熟练进行各种形式之间的互化； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)点斜式方程；(2)一般式方程；(3)不同形式的互化； 2、难点：两点式方程、斜率存在与否的讨论. 过点 P0(x0，y0)，斜率为 k的直线 l的方程为：y－y0＝k(x－x0)，这个方程称为直线的点斜式方程. 注意：(1)由点斜式求直线方程的前提：斜率存在. (2)当直线与 x轴平行或重合时，方程可简写为 y＝y0. 特别地，x轴的方程是 y＝0； (3)当直线与 y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成 x＝x0. 特别地，y轴的方程是 x＝0. 【即学即练 1-1】(24-25 高二上·福建福州·期中)已知直线 l经过点  1,0P ，且方向向量  1,2v   ，则 l的方程 为( ) A． 2 1 0x y   B． 2 2 0x y   C． 2 2 0x y   D． 2 1 0x y   【答案】C【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线 l的方向向量是  1,2v  ，可得其斜率为 2 ， 第 2 页 共 31 页 所以直线 l的方程为  0 2 1y x   ，即 2 2 0x y   .故选：C 【即学即练 1-2】(24-25 高二上·福建泉州·期末)倾斜角为 45的直线 l过点  1,1 ，则 l的方程为( ) A． y x  B． 1y x  C． 1y x  D． 2y x  【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为 45，所以其斜率为 tan 45 1k    . 根据点斜式可得直线方程为：  1 1 1y x    ，即 2y x  .故选：D 1．直线 l与 y轴的交点(0，b)的纵坐标 b叫做直线 l在 y轴上的截距． 2．把方程 y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在 y 轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和 0.当直线过原点时， 它在 x轴上的截距和在 y轴上的截距都为 0. 【即学即练 2】(24-25 高二上·贵州黔东南·期末)已知直线 l的倾斜角为 45 ，且过点 (0, 1) ，则在直线 l上的 点是( ) A． ( 1,0) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 2) 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求得直线 l的方程为 1y x  ，再验证. 【详解】因为直线 l的倾斜角为 45 ，且过点 (0, 1) ，即在 y 轴上的截距是：−1， 所以直线 l的方程为 1y x  ，当 3x  时， 2y  .故选：D. 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 �−�1 �2−�1 = �−�1 �2−�1 ，我们把它叫做直线的两点式方程， 简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为 0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【即学即练 3】(24-25 高二上·福建龙岩·期末)已知∆ABC的三个顶点分别是  1,2A ，  5,4B ，  2,7C ，则边 AB上的中线所在直线方程为 ． 【答案】 4 15 0x y   【难度】0.94【知识点】已知两点求直线的方程 【分析】根据中点坐标公式即可根据两点式方程求解. 【详解】 AB的中点坐标为   5 1 2 4, 3,3 2 2 D        , 第 3 页 共 31 页 故边 AB上的中线 CD 所在直线方程为：�−7 3−7 = �−2 3−2 ； 即4 15 0x y   ，故答案为： 4 15 0x y   我们把方程 � � + � � = 1 叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与 x轴的交点(a,0)的横坐标 a叫做直线在 x 轴上的截距，此时直线在 y轴上的截距是 b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线 都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在 x轴和 y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【即学即练 4】(2025 高二·全国·专题练习)已知直线 l过点  1, 2 ，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则 直线 l的方程为( ) A． 1 0x y   B． 1 0x y   或 2 0x y  C． 3 0x y   D． 3 0x y   或 2 0x y  【答案】D【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线 的点斜式方程及辨析 【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原 点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为 1 两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为 k = −2 1 =− 2，则直线方程为 2 0x y  ； 当直线不过原点时，设直线方程为 1 x y a a    ，代入点  1, 2 ，得 1 2 1 a a     ，解得 3a  ， 故直线方程为 3 0x y   ．综上所述，直线方程为 3 0x y   或 2 0x y  ． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为 1． 当直线过原点时，直线斜率为 2k   ，则直线方程为 2 0x y  ； 当直线斜率为 1 时，直线方程为  2 1y x    ，即 3 0x y   ． 综上所述，直线方程为 3 0x y   或 2 0x y  ．故选：D． 把关于 x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于 x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程 Ax＋By＋C＝0的系数 A，B，C满足下列条件时，直线 Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当 A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； 第 4 页 共 31 页 ②当 A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与 x轴相交，即直线与 y轴平行，与 x轴垂直； ③当 A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与 y轴相交，即直线与 x轴平行，与 y轴垂直； ④当 A＝0，B≠0，C＝0时，直线与 x轴重合； ⑤当 A≠0，B＝0，C＝0时，直线与 y轴重合． 【即学即练 4】(24-25 高二下·上海杨浦·期末)已知∆ABC的三个顶点 ( , ), (4, 1), (2,1)A m n B C . (1)求 BC边所在直线的一般式方程； (2)若∆ABC的面积等于 2，且点A在直线 : 5 0l x y   上，求点A的坐标. 【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. (2)利用三角形面积求出点A到直线BC的距离，再结合已知建立方程组求解. 【详解】(1)直线 BC的斜率 1 1 1 4 2BC k      ，直线 BC的方程为 1 1 (x 2)y      ， 所以 BC边所在直线的一般式方程为 3 0x y   . (2)依题意， 2 2= 2 ( 2) 2 2BC    ，设点A到直线 BC的距离为 d， 由∆ABC的面积等于 2，得 1 2 2 2 2 d   ，解得 2d  ， 于是 5 | 3| = 2 2 m n m n       ，解得 5 0 m n    或 3 2 m n     ，所以点A的坐标为 (5,0)或 (3, 2) . 题型 01 直线的点斜式方程 【典例 1-1】(24-25 高二上·广东广州·阶段练习)已知平面直角坐标系内两点 (1,2)A ， ( 2,3)B  ，则过点A且与 直线 AB垂直的直线 l的方程为( ) A．3 1 0x y   B．3 2 0x y   C．3 5 0x y   D．3 5 0y x   【答案】A【难度】0.85【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用求斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出 3lk  ，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知 (1,2)A ， ( 2,3)B  ，则直线 AB的斜率 3 2 1 2 1 3AB k      , 因为直线 l与直线 AB垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为 1 ， 所以直线 l的斜率 3lk  ，再由直线 l经过点 (1,2)A ， 则由点斜式方程可得直线 l的方程为 2 3( 1)y x   ，即3 1 0x y   ，故选：A. 【典例 1-2】(2025·广西桂林·一模)已知直线 l的一个方向向量为  2,1a  ，则过点  1, 1A  且与 l垂直的直线 第 5 页 共 31 页 方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C．2 3 0x y   D． 2 1 0x y   【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与 l垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】 l 的方向向量为  2,1a  ，则 l斜率为 12 ，因为直线与 l垂直，所以斜率为 2 又过A点，所以直线方程为 1 2( 1)y x    ，整理可得 2 1 0x y   .故选：D. 【典例 1-3】(24-25 高二下·安徽·阶段练习)直线 l经过点  3,0 ，倾斜角是直线 1x   的倾斜角的 13，则直 线 l的方程为( ) A． 3 3 0x y   B． 3 0x y   C． 3 3 0x y   D． 3 3 0x y   【答案】A【难度】0.94【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线 1x   的倾斜角为90，所以直线 l的方程为  0 tan30 3y x      ， 即 3 3 0x y   ，故选：A． 【典例 1-4】(24-25 高二上·河北廊坊·期末)已知直线 l经过点  3,2 ，且与直线 2 4 0x y   平行，则直线 l的 方程为 ． 【答案】 2 7 0x y   【难度】0.94【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设出直线 l的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线 l与直线 2 4 0x y   平行，设直线 l的方程为 2 0( 4)x y m m    ， 由直线 l经过点  3,2 ，得3 2 2 0m    ，解得 7m  ， 所以直线 l的方程为 2 7 0x y   .故答案为： 2 7 0x y   【变式 1-1】(24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点  1,1A 且与直线 2 1y x   垂直的直线方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 0x y   D．2 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线 2 1y x   的斜率为 2 ，两直线垂直， 故所求直线方程为 11 (x 1) 2 y    ，则 2 1 0x y   .故选：B. 【变式 1-2】(24-25 高二下·安徽·阶段练习)若直线 l经过点 (2,0)且与直线 1 2 y x 垂直，则 l的方程为( ) A． 2 4 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 2 0x y   D． 2 2 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析 因为直线 l与直线 1 2 y x 垂直，所以 l的斜率为-2，所以 l的方程为 2( 2)y x   ， 第 6 页 共 31 页 即2 4 0x y   ．故选：A. 【变式 1-3】(24-25 高二下·河南·阶段练习)若直线 l的方向向量为  3, 3 ，且经过点  3, 3 ，则直线 l的方 程为( ) A． 3 0x y  B． 3 6 0x y   C． 3 0x y  D． 3 6 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线 l的方向向量为  3, 3 ，所以直线的斜率 3 3 k  ， 所以直线方程为  3 3 3 3 y x    ，化简可得 3 0x y  .故选：A 【变式 1-4】(24-25 高二下·陕西商洛·阶段练习)直线 l过点 ( 3,0) ，且与直线 2 3y x  垂直，则直线 l的方程 为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 3 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据给定条件，求出直线 l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由直线 l与直线 2 3y x  垂直，得直线 l的斜率 1 2 k   ，又直线 l过点 ( 3,0) ， 所以直线 l的方程为 1 ( 3)2 y x   ，即 2 3 0x y   .故选：B 【变式 1-5】(24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习)经过点  1,2 且与直线 2 3 0x y   垂直的直线方程为( ) A． 2 5 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 4 0x y   【答案】B【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知 2 3 0x y   的斜率为 1 2 k   ，所以与其垂直的直线斜率为 2k  ， 由点斜式可知该直线方程为  2 1 2 2 4 0y x x y       ，故 B 正确.故选：B 题型 02 直线的斜截式方程 【典例 2-1】(24-25 高二上·广东深圳·期中)已知直线 l的倾斜角为120，在 y轴上的截距是 3，则直线 l的方 程为( ) A． 3 3y x  B． 1 3 2 y x   C． 3 3y x   D． 3 3y x   【答案】C【难度】0.94【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】代入直线的截距式方程即可. 【详解】因为直线 l的倾斜角为120，所以直线 l的斜率 tan120 3k    . 又直线 l在 y轴上的截距是 3，由斜截式方程得 3 3y x   .故选：C 【典例 2-2】(24-25 高二上·福建福州·期中)(多选)以下关于直线的表述正确的是( ) 第 7 页 共 31 页 A．斜率为 2 ，在 y轴上的截距为 3 的直线方程为 2 3y x   B．经过点  1,1 且在 x轴和 y轴上截距相等的直线方程为 2 0x y   C．点斜式方程 0 0( )y y k x x   可用于表示过点 0 0( , )x y 且不与 x轴垂直的直线 D．已知直线 1 0kx y   和以  3,1M  ，  3,2N 为端点的线段相交，则实数 k的取值范围为 2 1 3 k   【答案】AC【难度】0.85【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线的点斜式方程 及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】对于 A：根据斜截式方程分析判断即可；对于 B：举反例说明即可；对于 C：根据点斜式方程分析 判断即可；对于 D：根据斜率公式结合图像分析求解. 【详解】对 A，斜率为 2 ，在 y轴上的截距为 3 的直线斜截式方程为 2 3y x   ，A 正确； 对 B，经过点  1,1 和原点  0,0 的直线 y x 也满足题意，故 B 错误； 对 C，点斜式方程适用于斜率存在的直线，C 正确； 对 D，易知直线 1 0kx y   过定点  0, 1P  ， 可得    1 1 2 12 , 1 3 0 3 3 0PM PN k k             ， 由图和正切函数性质可知， 2 3 k   或 1k  ，D 错误.故选：AC. 【变式 2-1】(24-25 高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为60，且过点  0,1P ，则直线的方程为( ) A． 3 1 3 y x  B． 3 1 3 y x  C． 3 1y x  D． 3 1y x  【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为60，所以直线的斜率 tan 60 3k    ， 又直线过点  0,1P ，所以直线的方程为 3 1y x  .故选：D 【变式 2-2】(19-20 高二·全国·课后作业)已知直线倾斜角为 60o，在 y轴上的截距为 2 ，则此直线方程为( ) A． 3 2y x  B． 3 2y x   C． 3 2y x   D． 3 2y x  【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】求出直线斜率，根据直线的斜截式方程，即可求得答案. 【详解】因为直线倾斜角为 60o，故直线的斜率为 3 , 又直线在 y轴上的截距为 2 ，故直线方程为 3 2y x  ,故选：D 第 8 页 共 31 页 【变式 2-3】(24-25 高二上·湖北十堰·阶段练习)如图所示，直线 1 :l y ax b   与 2 :l y bx a  ( 0, )ab a b  的 图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】函数图像的识别、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于 A，由 1 :l y ax b   的图象，可知 0a  ， 0b  ，即 0a  ， 0b  ， 而由 2 :l y bx a  的图象，可知 0b  ， 0a  ，产生矛盾，故 A 错误； 对于 B，由 1 :l y ax b   的图象，可知 0a  ， 0b  ，即 0a  ， 0b  ， 而由 2 :l y bx a  的图象，可知 0b  ， 0a  ，产生矛盾，故 B 错误； 对于 C，由 1 :l y ax b   的图象，可知 0a  ， 0b  ，即 0a  ， 0b  ， 此时由 2 :l y bx a  的图象，可知 0b  ， 0a  ，两者一致，故 C 正确； 对于 D，由 1 :l y ax b   的图象，可知 0a  ， 0b  ，即 0a  ， 0b  ， 而由 2 :l y bx a  的图象，可知 0b  ， 0a  ，产生矛盾，故 B 错误.故选：C. 题型 03 直线的两点式方程 【典例 3-1】(24-25 高二上·全国·课后作业)经过点  1,3 ，  2,4 的直线方程为( ) A． 3 10 0x y   B．3 10 0x y   C． 3 10 0x y   D．3 10 0x y   【答案】A【难度】0.94【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线两点式方程及辨析 【分析】由直线的两点式方程求解即可； 【详解】由题意得 4 2 3 4 1 2 y x     ，整理得 3 10 0x y   ．故选：A． 【典例 3-2】(24-25 高二上·河南郑州·期末)一条光线从点  6,4P 射出，与 x轴相交于点  4,0Q ，经 x轴反 射，求反射光线所在的直线方程 . 【答案】 2 8 0x y   【难度】0.85【知识点】直线的两点式方程 【分析】根据反射原理，即可求反射光线过点 T(6, − 4)，再代入两点式方程，即可求解. 【详解】反射光线必经过 P点关于 x轴的对称点 T(6, − 4)， 所以反射光线所在直线经过两点 T、Q， 所以反射光线所在的直线方程为 �−0 −4−0 = �−4 6−4 ,即 2 8 0x y   .故答案为： 2 8 0x y   【变式 3-1】(24-25 高二上·重庆·期末)过  2,0A 、  0,3B 两点的直线方程是( ) A． 1 2 3 x y   B． 13 2 yx   C． 2 3 y x D． 3 2 y x 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析【分析】由截距式得到直线方程. 第 9 页 共 31 页 【详解】由截距式可得直线方程为 1 2 3 x y   ，A 正确，BCD 错误.故选：A 【变式 3-2】(24-25 高二上·安徽合肥·期末)一条光线从点  4,2P 射出，经过直线 y x 反射后过点  1, 6Q  ， 则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】10 16 0.x y   【难度】0.85 【知识点】光线反射问题、求点关于直线的对称点、已知两点求直线的方程. 【分析】先求出点  4,2P 关于直线 y x 的对称点为  2.4P ，再利用两点式方程即可得答案. 【详解】点  4,2P 关于直线 y x 的对称点为  2.4P ， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过 P，Q的直线， 所以直线 PQ 的方程为：�+6 4+6 = �−1 2−1 ，即  4 66 1 2 1 y x    ，化为10 16 0.x y   故答案为：10 16 0.x y   【变式 3-3】(24-25 高二上·贵州毕节·阶段练习)已知直线 l经过  2,3 ，  1, 2 两点，则( ) A．直线 l的一个点斜式为  53 2 3 y x    B．直线 l的一个两点式为 3 2 2 3 1 2 y x      C．直线 l的倾斜角为锐角 D．直线 l的一个方向向量为  1,1 【答案】A【难度】0.65【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、求 直线的方向向量(平面中) 【分析】由直线方程、斜率逐项判断即可. 【详解】因为直线 l经过  2,3 ，  1, 2 两点，所以两点式为 3 2 2 3 1 2 y x      ，故 B 错误； 由题意可得直线斜率 5 3 k   ，可知倾斜角为钝角，故 C 错； 一个方向向量为  3,5 ，可判断 D 错误； 所以点斜式方程为  53 2 3 y x    ，A 正确；故选:A 【变式 3-4】(24-25 高二下·上海崇明·期末)求经过点  1,2M  ，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点  1,3A ；(2)与直线 2 5 0x y   平行． 【答案】(1) 2 5 0x y   ；(2) 2 0x y  【难度】0.85 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】(1)求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； (2)由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】(1)由题意可得直线方程为�−2 3−2 = �+1 1+1 ，即 2 5 0x y   ； (2)由题意可设直线方程为 2 0x y t   ， 5t  ，结合直线经过点  1,2M  ， 可得 2 2 0, 0t t      ，则直线方程为 2 0x y  . 第 10 页 共 31 页 题型 04 直线的截距式方程 【典例 4-1】(24-25 高二上·安徽亳州·阶段练习)若直线 l过点 (4, 2) 且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直 线 l的方程为 . 【答案】 2 0x y  或 6 0x y   【难度】0.85【知识点】直线截距式方程 【分析】通过讨论截距为 0 和不为 0 两类情况讨论即可. 【详解】当截距为 0 时, l过点 (4, 2) 和原点,所以 l的方程为 1 2 y x  ,即 2 0x y  ; 当截距不为 0 时，设 l的方程为 1 x y a a    ，由 l过点 (4, 2) ，得 4 2 1 a a     ， 解得 6a  ，所以 l的方程为 6 0x y   .故答案为： 2 0x y  或 6 0x y   【典例 4-2】(24-25 高二上·河南三门峡·期末)经过点  1, 2P   ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 为 ． 【答案】 2 0x y  或 3 0x y   【难度】0.85【知识点】直线截距式方程 【分析】利用分类讨论思想，分截距为0与不为0两种情况，设出直线方程，代入点求得参数，可得答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为0时，可设为 y kx ， 由点  1, 2P   ，则 2 k   ，解得 2k  ，所以直线方程为 2 0x y  ； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，可设为��+ � � = 1，即 x y a  ， 由点  1, 2P   ，则  1 2a     ，解得 3a   ，所以直线方程为 3 0x y   . 故答案为： 2 0x y  或 3 0x y   . 【典例 4-2】(24-25 高二上·湖南永州·阶段练习)直线3 4 0x y k   在两坐标轴上的截距之和为 2，则实数 k  ( ) A． 1 B． 24 C． 2 D．2 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】令 0x  表示 y，得到直线纵截距．令 0y  表示出 x，得到直线的横截距，根据题意列方程求解． 【详解】直线3 4 0x y k   ， 令 0x  ，解得 4 ky  ，令 0y  ，解得 3 kx   ， 由题意得： 2 3 4 k k    ，解得 24k   ．故选：B 【变式 4-1】(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)若直线的截距式方程 1 x y a b   化为斜截式方程为 2y x b   ，化 为一般式方程为  8 0 0bx ay a    ，则 a b  ( ) A． 2 B． 2 C．6 D．8 【答案】A【难度】0.94【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将 2y x b   化为一般式，结合条件有 8 2 1 b a b     ，且 0a  ，即可求解. 【详解】易知 0ab  ，由 2y x b   ，得到 2 0x y b   ， 第 11 页 共 31 页 由已知一般式方程为  8 0 0bx ay a    ，所以有 8 2 1 b a b     ，则 2 16b  ，解得 4b   ， 又 0a  ， 1 2 a b ，所以 2, 4a b  ，则 2a b   ，故选：A. 【变式4-2】(多选)(22-23高二上·江苏徐州·阶段练习)已知直线 : 2 0l ax y a    在 x轴和 y轴上的截距相等， 则 a的值可能是( ) A．1 B． 1 C．2 D． 2 【答案】AC【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由题设得 0a  ，再求出截距并列方程求参数值即可. 【详解】当 0a  时 : 2 0l y  ，不满足题设，故 0a  ， 令 0x  ，则 2y a  ；令 0y  ，则 2 1x a   ， 所以 222 1 3 2 0a a a a        ，可得 1a  或 2a  .故选：AC 【变式 4-3】(25-26 高二上·全国·课后作业)直线 y kx b  经过点  1,8 ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 k的所有可能取值之和为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】由直线 y kx b  经过点 (1,8)得 8k b  ，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反 列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线 y kx b  经过点 (1,8)，所以 8k b  ，则直线 8y kx k   . 当 0k  时，直线 8y  在 x轴上不存在截距，不满足题意； 所以 0k  ，令 0x  ，则 8y k  ，令 0y  ，则 81x k   . 由题意 88 1 0k k     ，化简得 2 9 8 0k k   ，解得 1k  或 8k = ， 故 k的所有可能取值之和为1 8 9  .故选：C. 【变式 4-4】(24-25 高二上·广东清远·期中)已知直线 1 2: 2 3 0, : 2 3 8 0l x y l x y      ． (1)求经过点 (1, 4)A 且与直线 2l 垂直的直线方程； (2)求经过直线 1l 与 2l 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)3 2 5 0x y   (2) 2y x 或 3 0x y   【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】(1)利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； (2)利用截距为 0 和不为 0 分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】(1)由直线 2 2 8: 2 3 8 0 3 3 l x y y x       可得斜率为 2 3  ， 第 12 页 共 31 页 所以根据垂直关系可设所求直线方程为 3 + 2 y x b ， 则依题意有 34 1+ 2 b  ，解得 5 2 b  ， 所以所求直线方程为 3 5+ 2 2 y x ，整理得3 2 5 0x y   ； (2)联立 2 3 0 2 3 8 0 x y x y        ，解得 1 2 x y    ，即直线 1l 与 2l 的交点为 (1, 2)， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 y kx ， 代入 (1, 2)得 2k  ，此时 2y x ； 当直线的截距都不为 0 时，假设直线方程为 1( , 0) x y a b a b    ， 依题意 1 2 1 a b a b      ，解得 3a b  ，此时直线方程为 1 3 3 x y   ，即 3 0x y   综上所述：所求直线方程为 2y x 或 3 0x y   ． 题型 05 直线的一般式方程 【典例 5-1】(24-25 高二上·广西河池·期末)已知三角形三顶点  3,1A ，  0, 2B  ，  1,0C  ，求： (1)直线 AB的一般式方程;(2) AB边上的高所在直线的一般式方程. 【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线两点 式方程及辨析【分析】(1)两点式写出直线 AB的方程，化为一般式即可； (2)根据垂直和直线 AB的斜率，得到 AB边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】(1)  3,1A ，  0, 2B  ， 直线 AB的方程为 1 3 2 1 0 3 y x      ，化简得 2 0x y   ； (2)直线 AB的斜率为 2 1 1 0 3AB k     ， AB 边上的高所在直线的斜率为 1 ， AB 边上的高所在直线的方程为  0 1 1y x    ，即 1 0x y   【典例 5-2】(多选)(24-25 高一下·重庆·期末)已知直线 : 2 3l y kx k   ，则下列说法正确的是( ) A．直线 l恒过定点  2, 3  B．若直线 l在 x轴上的截距为1，则 1k  C．若直线 l与直线 2 1 0x y   垂直，则 1 2 k   D．若 3k  ，则直线 l的倾斜角 的取值范围为 π ,π 3     【答案】AB【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、已知直线垂直求参数 【分析】求出直线过定点坐标即可判断 A，将点坐标代入直线方程求解即可判断 B，根据直线垂直的关系列 第 13 页 共 31 页 式求解即可判断 C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断 D. 【详解】直线  : 2 3 2 3l y kx k k x      ，令 2 0x   即 2x   ，得 = 3y  ， 所以直线 l恒过定点  2, 3  ，故 A 正确； 若直线 l在 x轴上的截距为1，则直线 l过点  1,0 ，代入直线 l方程得0 2 3k k   ，解得 1k  ，故 B 正确； 若直线 l与直线 2 1 0x y   垂直，则  2 1k     ，解得 1 2 k  ，故 C 不正确； 设直线 l的倾斜角为，则 tan 3k   ， 又  0, π  ，所以由正切函数的单调性可知 π π, 3 2      ，故 D 不正确；故选：AB 【变式 5-1】(24-25 高二上·新疆乌鲁木齐·期末)已知直线 l的方程 3 1 0x y   ，则直线 l的倾斜角为( ) A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线 l： 3 1 0x y   的斜率 3 3 k   ，所以直线 l的倾斜角 5π 6 .故选：D 【变式 5-2】(24-25 高二下·湖南郴州·开学考试)已知直线 l： 6 0x ay   的倾斜角为60，则实数 a  ( ) A． 3 B． 3 3  C． 3 D． 3 3 【答案】D【难度】0.94【知识点】直线斜率的定义、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据给定的直线方程求出斜率，进而求出 a的值. 【详解】由直线 l： 6 0x ay   的倾斜角为60，得斜率 t 0 1 6ank a   ，所以 3 3 a  .故选：D 【变式 5-3】(24-25 高二上·江西赣州·期末)对于直线 : 3 3 4 0l x y   ，下列选项正确的是( ) A．直线 l倾斜角为 π 3 B．直线 l经过第四象限 C．直线 l在 y轴上的截距为 4 3  D．直线 l的一个方向向量为  3, 3 【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、求直线的方向向量(平面中) 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断 A；令 0x  ，求出直线 l过点 40, 3 M      可判断 B 和 C；根据直 线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量  3, 3 共线可判断 D. 【详解】设直线 l的倾斜角为 ，  0,π  ， 对于 A，直线 l的斜率为 3 3 3 3    ，所以 3tan 3   ，则 π 6   ，故 A 错误； 对于 B，当 0x  时， 4 3 y  ，即直线 l过点 40, 3 M      ，且倾斜角为 π π 6 2  ， 第 14 页 共 31 页 所以直线 l经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故 B 错误； 对于 C，由 B 知，直线 l在 y轴上的截距为 4 3 ，故 C 错误； 对于 D，当 0y  时， 4 3 3 x   ，即直线 l过点 4 3 ,0 3 N        ， 则  4 3 4 4 3, 3, 33 3 9NM          ，所以直线 l的一个方向向量为  3, 3 ，故 D 正确.故选：D. 题型 06 动直线过定点问题 【典例 6-1】(24-25 高二上·四川自贡·期末)已知b是 a、c的等差中项，直线 0ax by c+ + = 恒过定点A，则定 点A的坐标为 . 【答案】  1, 2 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、等差中项的应用 【分析】由题意得 2c b a  ，将直线方程变形得出    1 2 0a x b y    ，由 1 0 2 0 x y      可求得点A的坐标. 【详解】因为b为 a、 c的等差中项，则 2b a c  ，所以， 2c b a  ， 所以，直线 0ax by c+ + = 的方程即为 2 0ax by b a    ，即    1 2 0a x b y    ， 由 1 0 2 0 x y      可得 1 2 x y     ，所以，直线 0ax by c+ + = 恒过定点  1, 2A  . 故答案为：  1, 2 . 【典例 6-2】(24-25 高三上·云南昆明·期末)若 , ,m n p成等差数列，则直线 : 0l mx ny p   过定点 . 【答案】  1, 2 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、等差中项的应用 【分析】由题意得 2 m pn  ，进而直线可化为    2 2 0m x y p y    ，即可得到定点. 【详解】由题，有 2 m pn  ，所以由 0mx ny p   ，得 0 2 m pmx y p   ， 整理得    2 2 0m x y p y    ，由 2 0 2 0 x y y      ，解得 1 2 x y     ， 所以直线 l过定点  1, 2 .故答案为：  1, 2 【典例 6-3】(多选)(24-25 高二上·安徽马鞍山·期末)下列说法正确的是( ) A．直线  2 4y ax a a   R 必过定点  2,4 ． B．截距相等的直线都可以用方程  x y a a  R 表示 C．直线 3 1 3 y x   的倾斜角为120  D．过点  2 3 ， 且垂直于直线 1 3 2 2 y x  的直线方程为 2 1 0x y   【答案】AD【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、直线的倾斜角、由两条直线垂直求方程 第 15 页 共 31 页 【分析】利用直线方程的特征可判定 A，利用截距的定义可判定 B，利用斜率与倾斜角的关系可判定 C，利 用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定 D. 【详解】对于 A，由直线方程有  4 2y a x   ，故必过点  2,4 ，故 A 正确； 对于 B，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为0，如 y x ， 所以不能用方程  x y a a  R 表示，故 B 错误； 对于 C，直线 3 1 3 y x   的斜率为 3 3  ，则倾斜角为150，故 C 错误； 对于 D，由直线 2 1 0x y   和 1 3 2 2 y x  的斜率分别为 12, 2  ，则有 12 1 2     ，故相互垂直， 将  2 3 ， 代入方程 2 1 0x y   ，则  2 2 3 1 0     成立，故 D 正确．故选：AD. 【变式 6-1】(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线    1 2 3 1:    a y a xl ． (1)求直线 l所过定点；(2)若直线 l不经过第四象限，求实数 a的取值范围； (3)若直线 l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 l的方程． 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线图象的辨析 【分析】(1)由方程变形可得  2 3 1 0a x y x y     ，列方程组，解方程即可； (2)数形结合，结合直线图象可得出关于实数 a的不等式，解之即可； (3)求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】(1)由    : 1 2 3 1l a y a x    ，即  2 3 1 0a x y x y     ， 则 2 0 3 1 0 x y x y       ，解得 1 2 x y    ，所以直线过定点  1,2 . (2)因为直线 l不过第四象限，结合图形可知，直线 l的斜率存在，所以 1a  ， 此时，直线 l的方程可化为 1 1 2 1 3y a a a x    ，记点  1,2A ，则 2OAk  ， 由图可得 2 30 2 1 a a     ，解得 3 2 a  ，因此，实数 a的取值范围是 3 , 2    . (3)已知直线    : 1 2 3 1l a y a x    ，且由题意知 1a  ， 令 0x  ，得 1 0 1    y a ，得 1a  ， 令 0y  ，得 1 0 3 2    x a ，得 3 2 a  ， 则 22 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 10 6 5 14 4 4 S a a a a a                  ， 第 16 页 共 31 页 所以当 5 4 a  时，S取最小值， 此时直线 l的方程为 5 51 2 3 1 4 4 y x               ，即 2 4 0x y   . 【变式 6-2】(24-25 高二下·上海宝山·期末)已知直线  : 3 1 0, Rl kx y k k     . (1)证明：对任意实数 k，直线 l都经过一个定点； (2)若直线 l在 x轴、 y轴上截距相等，求直线 l的方程. 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】(1)令 3 0 1 0 x y      ，解方程组即可得解；(2)由已知条件可知 0k  ，求得直线 l与 x轴、 y轴的交点分 别为  3 1 ,0 , 0,3 1kA B k k        ，列方程 3 1 3 1k k k     即可求解. 【详解】(1)将直线 : 3 1 0l kx y k    整理得  3 1 0k x y    对任意实数 k都成立， 所以 3 0 1 0 x y      ，解得 3 1 x y     所以对任意实数 k，直线 l都经过一个定点  3,1 ； (2)由已知条件可知 0k  ，求得直线 l与 x轴、 y轴的交点分别为  3 1,0 , 0,3 1kA B k k        ， 则有 3 1 3 1k k k     ，化简得   3 1 1 0k k   ， 当 1 3 k   时，直线 l的方程为 1 3 y x  当 1k   时，直线 l的方程为 2y x   所以直线 l的方程为 1 3 y x  或 2y x   . 【变式 6-3】(24-25 高一下·浙江宁波·期末)已知直线 l：    2 2 5 6 6 0a y a x a      . (1)若直线 l垂直于直线 1l ： 3 0x y   ，求 a的值；(2)求证：直线 l经过定点； (3)当 11a   时，求点  1,4P 关于直线 l的对称点 P的坐标. 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出 ',P P 的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及 ',P P 的中点在 直线 l上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】(1)因为 1l l ，所以 ( 2) 1 (2 5) 1 0a a      ， 解得 1a  ，故 a的值为1； (2)因为 ( 2) (2 5) 6 6 0a y a x a      ，所以 (2 6) 5 2 6 0a x y x y      ， 第 17 页 共 31 页 所以 2 6 0 5 2 6 0 x y x y        ，解得 2 2 x y    ，所以直线 l恒过定点 (2, 2)； (3)因为 11a   ，所以直线 : 3 8 0l x y   ，设点 (1, 4)P 关于直线 l的对称点 'P 的坐标为 0 0( , )x y ， 所以 ',P P 的中点坐标为 0 0 1 4( , ) 2 2 x y  ， 所以 0 0 0 0 4 ( 3) 1 1 1 43 8 0 2 2 y x x y              ，解得 0 0 8 5 21 5 x y       ， 所以点 P关于直线 l的对称点 'P的坐标为 8 21( , ) 5 5 . 题型 07 直线与坐标轴围成的三角形面积 【典例 7-1】(24-25 高二下·湖南·阶段练习)已知直线 l经过点  1,2P ，与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两 点，O为坐标原点，则 OAB△ 的面积的最小值为( ) A． 2 B．3 C． 4 D．8 【答案】C【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】不妨设直线 l分别交 x、 y轴于点  , 0A a 、  0,B b ，则 0a  ， 0b  ，可得出直线 l的截距式方程 为 1 x y a b   ，结合已知条件可得出 1 2 1 a b   ，利用基本不等式可求得∆AOB面积的最小值. 【详解】不妨设直线 l分别交 x、 y轴于点  , 0A a 、  0,B b ，则 0a  ， 0b  ， 所以，直线 l的截距式方程为 1 x y a b   ，因为点 P在直线 l上，则 1 2 1 a b   ， 由基本不等式可得 1 2 2 2 21 2 a b ab ab     ，可得 8ab  ，则 1 4 2AOB S ab △ ， 当且仅当 1 2 1 2 1 a b a b        时，即当 2 4 a b    时，等号成立， 故∆AOB的面积的最小值为 4 .故选：C. 【典例 7-2】(24-25高二上·甘肃白银·期末)过点  1,3 且斜率为2的直线 l与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A． 25 2 B． 25 4 C． 5 2 D． 5 4 【答案】B【难度】0.94【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】利用点斜式求得直线 l的方程，求得直线 l与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 第 18 页 共 31 页 【详解】依题意得直线 l的方程为  3 2 1y x   ，即 2 5y x  ， 则直线 l与坐标轴的交点分别为  5 ,0 , 0,5 2 A B     ， 所以 1 1 5 255 2 2 2 4OAB S OA OB     ．故选：B 【变式 7-1】(24-25 高二上·江苏苏州·期中)在平面直角坐标系 xOy中，且过点  1, 9  的直线 l与坐标轴交于 A、B两点，∆AOB的面积记为 S. (1)当直线 l在 y轴上的截距为 2，求 S的值；(2)当 3 2 S  ，求直线 l在 x轴上的截距. 【难度】0.85【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的斜截式方程及辨析 【分析】(1)求出直线 l的方程为 11 2y x  ，得到直线在 x轴上的截距，求出三角形面积； (2)设直线 l在 x轴上的截距为 a，表达出直线 l的方程和在 y轴上截距，从而根据面积列出方程，求出答案. 【详解】(1)直线 l的斜率为 9 2 11 1 0      ， 故直线 l的方程为 11 2y x  ，令 0y  得 2 11 x   ， 所以 1 2 22 2 11 11 S      ； (2)设直线 l在 x轴上的截距为 a， 当 1a   时，直线 l与 y轴无交点，不合题意，舍去， 则直线 l的斜率为 9 0 9 1 1a a       ，直线 l的方程为  99 1 1 y x a     ，  99 1 1 y x a     中，令 0x  得 9 1 ay a    ， 故 1 9 3 2 1 2 aS a a      ，解得 1 13 6 a  故直线 l在 x轴上的截距为1 13 6  . 【变式 7-2】(24-25 高二上·甘肃庆阳·阶段练习)直线 l过点  3,4 ，且在两坐标轴上的截距之和为 12． (1)求直线 l的方程(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】(1)设直线 l的方程为 1 x y a b   ，将点  3,4 代入，进一步求出 a和b的值，从而求出答案； (2)借助(1)中求出的 a和b，结合面积公式即可求. 【详解】(1)由于直线在两坐标轴上的截距之和为 12， 因此直线 l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为： 1 x y a b   ，且 12a b  ，① 第 19 页 共 31 页 又因为直线 l过点  3,4 ，所以 3 4 1 a b    ，② 由①②解得 9 3 a b    或 4 16 a b     ，所以直线 l的方程为： 1 9 3 x y   或 1 4 16 x y    ， 即 3 9 0x y   或4 16 0x y   . (2)由(1)可知，当直线 l的方程为 3 9 0x y   时， 1 1 279 3 2 2 2 S a b     ； 当直线 l的方程为4 16 0x y   时， 1 1 4 16 32 2 2 S a b     ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为 27 2 或32 . 【变式 7-3】(2025 高二·全国·专题练习)已知直线 l的斜率为 3 2  ，且与坐标轴围成的图形面积是 12，求直线 l的方程． 【难度】0.85【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】设直线 l的方程为 3 2 y x b   ，根据面积得到方程，求出 6b   ，得到直线方程. 【详解】设直线 l的方程为 3 2 y x b   ，令 0y  ，得 2 3 x b ，令 0x  ，得 y b ， 故 1 2 12 2 3 S b b  ，解得 6b   ，即直线 l的方程为 3 6 2 y x   ． 故答案为： 3 6 2 y x   题型 08 直线方程的应用 【典例 8-1】(多选)(24-25 高一下·江苏南京·期末)下列说法错误的是( ) A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程  Rx y a a   表示 B．方程  2 0 Rmx y m    表示的直线斜率一定存在 C．经过点  1,2P ，倾斜角为 的直线方程为  2 tan 1y x   D．经过两点  1 1 1,P x y ，   2 2 2 1 2,P x y x x 的直线方程为  2 11 1 2 1 y yy y x x x x      【答案】AC【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、直线两点式方程及辨析 【分析】根据特殊值法判断 A，C，应用一般式求斜率判断 B，结合直线的两点式判断 D. 【详解】A 选项中直线 0x y  在两坐标轴上的截距相等，但不能用  Rx y a a   表示，所以 A 选项错误； B 选项，方程  2 0 Rmx y m    表示的直线斜率为 m ，所以 B 选项正确. C 选项中若 90  则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故 C 错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.故选：AC 【典例 8-2】(多选)(24-25 高二上·山东泰安·期末)下列结论正确的是( ) 第 20 页 共 31 页 A．过  1 1,x y 、  2 2,x y 两点的直线方程为 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x      B．点  0,2 关于直线 1y x  的对称点为  1,1 C．若直线 l过  3,1 ，且在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的3倍，则 l的方程为 3 6 0x y   D．直线 3 1 0x y   的倾斜角为 π 6 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的倾斜角、求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】利用直线的两点式方程可判断 A 选项；利用点关于直线的对称性可判断 B 选项；利用直线的截距 式方程可判断 C 选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断 D 选项. 【详解】对于 A 选项，当 1 2x x 时，过  1 1,x y 、  2 2,x y 两点的直线方程不能用 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x      表示，A 错； 对于 B 选项，设点  0,2A 关于直线 1y x  的对称点为  ,B a b ， 由题意可知，直线 AB与直线 1y x  垂直，且线段 AB的中点在直线 1y x  上， 所以， 2 1 2 1 2 2 b a b a         ，解得 1a b  ， 所以，点  0,2 关于直线 1y x  的对称点为  1,1 ，B 对； 对于 C 选项，若直线 l过  3,1 ，且在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的3倍， 当直线 l过原点时，设直线 l的方程为 y kx ，可得 3 1k  ，解得 1 3 k  ， 此时，直线 l的方程为 1 3 y x ，即 3 0x y  ， 当直线 l不过原点时，设直线 l的方程为  1 0 3 x y m m m    ，即 3 3 0x y m   ， 所以，3 3 3 0m   ，解得 2m  ，此时，直线 l的方程为 3 6 0x y   ， 综上所述，直线 l的方程为 3 0x y  或 3 6 0x y   ，C 错； 对于 D 选项，直线 3 1 0x y   的斜率为 3 3 ，其倾斜角为 π 6 ，D 对.故选：BD. 【变式 8-1】(24-25 高二下·上海杨浦·期中)若直线 0Ax By C   经过第一、二、四象限，则( ) A． 0AB  且 0BC  B． 0AB  且 0BC  C． 0AB  且 0BC  D． 0AB  且 0BC  【答案】B【难度】0.85【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的斜截式方程及辨析 【分析】化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线 0Ax By C   经过第一、二、四象限，所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式： A Cy x B B    ， 所以斜率 0 A B   且纵截距 0 C B   ，所以 0AB  且 0BC  ，故选：B. 第 21 页 共 31 页 【变式 8-2】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 : 1 3 0( R)l kx y k k      过定点Q，则下列说法 正确的是( ) A．直线 l过定点 (3,1)Q B．若直线 l不经过第四象限，则 k的取值范围为 [0, ) C．若直线 l在 x轴上的截距为－3，则 1 6 k  D．若直线 l分别交 x，y轴正半轴于 A，B，则当 AQ QB   取得最小值时，直线 l的方程为 x  4 0y   【答案】ACD【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】直线方程整理得  ( 3) 1 0k x y     ，然后求定点即可判断 A；由直线 l不经过第四象限，则斜率 和在 y轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断 B；由截距可求得 1 6 k  得到 C；设 ( ,0), (0, ), 0, 0A a B b a b  ，利用 , ,A Q B三点共线可得 3 1 1 a b   ，再表示出 AQ QB   ，根据基本不等式即可求 得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断 D. 【详解】对于 A，直线 : 1 3 0l kx y k     ，即 ( 3)k x   ( 1) 0y   ， 令 3 0 1 0 x y       ，解得 3 1 x y    ，故直线 :l kx y   1 3 0k  过定点 (3,1)Q ，故 A 正确； 对于 B，直线 : 1 3 0l kx y k     ，即 1 3y kx k   ， 直线 l不经过第四象限， 0 1 3 0 k k     ，解得 10 3 k  ， 故 k的取值范围是 10, 3      ，故 B 错误； 对于 C，易知 0k  时，直线 l在 x轴上的截距存在， 依题意，令 0y  ，得直线 l在 x轴上的截距为 3 1 3k k    ，解得 1 6 k  ． 对于 D，设 ( ,0), (0, ), 0, 0, , ,A a B b a b A Q B   三点共线， 1 1 3 3 b a     ，整理得 3 1 1, (3 ,1) ( 3, 1) 3 10AQ QB a b a b a b              3 1 3 3 3 3(3 ) 10 2 6b a b aa b a b a b a b              ， 当且仅当 3 3b a a b  ，即 4a b  时等号成立， 当 AQ QB   取得最小值时，直线 l的方程为 1 4 4 x y   ，即 4 0x y   ．故选：ACD. 【变式 8-3】(多选)(24-25 高二上·新疆乌鲁木齐·期末)下列说法正确的是( ) A．若直线 y kx b  经过第一､二､四象限，则点  ,k b 在第三象限 B．直线 3 2y ax a   过定点  3,2 第 22 页 共 31 页 C．斜率为 2 ，在 y轴上的截距为3的直线的方程为 2 3y x   D．过点  2, 1 且斜率为 3 的直线的点斜式方程为  1 3 2y x    【答案】BD【难度】0.85【知识点】直线过定点问题、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线 y kx b  经过第一､二､四象限， 所以有 0, 0k b  ，因此点  ,k b 在第二象限，所以选项 A 不正确； 由 3 2 2 ( 3)y ax a y a x       ，所以直线 3 2y ax a   过定点  3,2 ，因此选项 B 正确； 斜率为 2 ，在 y轴上的截距为3的直线的方程为 2 3y x   ，所以选项 C 不正确； 过点  2, 1 且斜率为 3 的直线的点斜式方程为  1 3 2y x    ，所以选项 D 正确，故选：BD 【变式 8-4】(多选)(24-25 高二上·江苏淮安·阶段练习)下列结论正确的是( ) A．直线 l过点 ( 1, 4)P  ，倾斜角为 90°，则其方程是 1x   B．方程 2 1 yk x    与方程  2 1y k x   可表示同一直线 C．直线 l过点 ( 1, 4)P  ，斜率为 0，则其方程是 4y  D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】AC【难度】0.85【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、 直线斜率的定义 【分析】由斜率，倾斜角，点斜式与斜截式概念判断各选项正误； 【详解】A 选项，因倾斜角为 90°，则直线斜率不存在，又直线 过点 ( 1, 4)P  ，则其方程是 1x   ，故 A 正确； B 选项，方程 2 1 yk x    与方程 y－2＝k(x＋1)相比，不含点  1,2 ，故 B 错误； C 选项，因直线斜率为 0，则直线形式为 y c ，又 l过点 ( 1, 4)P  ，则其方程是 4y  ，故 C 正确； D选项，对于斜率不存在的直线，不存在相应的点斜式和斜截式方程，故 D错误.故选：AC 1.(24-25 高二上·浙江嘉兴·期末)经过点  1,2P 且倾斜角为 π 2 的直线方程是( ) A． 1x  B． 2x  C． 1y  D． 2y  【答案】A【难度】0.94【知识点】直线的方程的概念、直线的倾斜角 【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解. 【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为 π 2 ，则该直线与 x轴垂直，其斜率不存在， 又由直线过点  1,2P ，则其方程为 1.x  故选：A . 2.(24-25 高二下·河南商丘·开学考试)过点  1, 2 且方向向量为  2, 3a    的直线 l的方程为( ) 第 23 页 共 31 页 A．3 2 1 0x y   B．3 2 7 0x y   C．3 2 1 0x y   D．3 2 4 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先由直线 l的方向向量得直线斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】因为直线 l的方向向量为  2, 3a   ，所以直线 l的斜率为 3 2 k   ， 所以直线 l的方程为    32 1 2 y x     即3 2 1 0x y   .故选：A. 3.(24-25 高二上·河北邯郸·期末)已知直线 l过原点 O，将直线 l绕点 O顺时针旋转 π 6 后，恰与 y轴重合，则 直线 l的方程为( ) A． 3 3 y x B． 3y x C． 3 3 y x  D． 3y x  【答案】D【难度】0.85【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【详解】因为 y轴的倾斜角为 π 2 ， 所以直线 l的倾斜角为 π π 2π 2 6 3   ，直线斜率 2πtan 3 3 k    ， 所以直线 l的方程为 3y x  ，故选：D 4.(24-25 高二下·甘肃嘉峪关·开学考试)数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同 一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知∆ABC 的顶点  1,0B  ，  0,2C ， AB AC ，则∆ABC的欧拉线方程为( ) A． 2 4 3 0x y   B． 2 4 3 0x y   C． 4 2 3 0  x y D． 2 4 3 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据题意得出∆ABC的欧拉线即为线段 BC的垂直平分线，求出线段 BC的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为∆ABC的顶点  1,0B  ，  0,2C ， 所以线段 BC的中点坐标为 1 ,1 2      ，线段 BC所在直线的斜率 2 0 2 0 1BC k    ， 所以线段 BC的垂直平分线的斜率 1 2 k   ， 则线段BC的垂直平分线的方程为 1 11 2 2 y x        ，即 2 4 3 0x y   ， 因为 AB AC ，所以∆ABC的外心、重心、垂心都在线段 BC的垂直平分线上， 所以∆ABC的欧拉线方程为 2 4 3 0x y   .故选：A. 5.(24-25 高二上·山西·期末)过点  4, 3P 且与直线 4 5 13 0x y   垂直的直线 l的方程是( ) A． 4 5 31 0x y   B． 4 5 1 0x y   C．5 4 32 0x y   D．5 4 8 0x y   【答案】D【难度】0.85【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 第 24 页 共 31 页 【分析】根据垂直求出直线 l的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线 4 5 13 0x y   的斜率为 4 5  ， 因为直线 4 5 13 0x y   与直线 l垂直，所以直线 l的斜率为 5 4 ， 又直线 l过点  4, 3P ，所以直线 l的方程为  53 4 4   y x ， 即5 4 8 0x y   .故选：D. 6.(24-25 高二上·河南开封·期末)∆ABC中，  5,0A  ，  3,2B ，C点在 y轴上，若 AB边上的中线 CD也是 AB 边上的高，则直线 CD的方程为( ) A． 4 3 0x y   B． 4 3 0x y   C． 4 5 0x y   D． 4 5 0x y   【答案】B【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用中点坐标公式得  11D  , ，根据两直线垂直斜率之积等于 1 可得 CDk ，然后利用点斜式即可得 【详解】由题意，得 D是 AB的中点，则  11D  , ，且 AB CD ， 又   2 0 1 3 5 4AB k     ，则 1 4CD AB k k     ， 则直线 CD的方程为  1 4 1y x    ，即 4 3 0.x y   故选：B 7.(24-25 高一下·江苏镇江·期中)直线 4 3 12 0x y   与 x轴、 y轴分别交于 ,A B两点，则 BAO (O为坐标原 点)的平分线所在直线的方程为( ) A． 2 6 0x y   B． 2 3 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 6 0x y   或 2 3 0x y   【答案】B【难度】0.85【知识点】二倍角的正切公式、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得 角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线4 3 12 0x y   与 x轴、 y轴分别交于 ,A B两点， 令 0x  ，可得 4y  ，则 B的坐标为 (0,4)， 令 0y  ，可得 3x  ，则A的坐标为 (3,0)， 如图：设 2BAO   ， (为锐角)， 则 4 0 4tan 2 0 3 3       ，即 4tan 2 3   ， 则有 2 2 2 tan 4 2 tan 3tan 2 0 1 tan 3           ，解可得 1tan 2   或 2 (舍)， 第 25 页 共 31 页 则 BAO 的平分线所在直线的斜率 1 2 k   ， 其方程为 1 ( 3) 2 y x   ，变形可得 2 3 0x y   ，故选：B. 8.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 l过点 (0,4)，且与直线 3 4 0x y   及 x轴围成等腰三角形，则 l的 方程为( ) A． 3 4 0x y   或 3 3 12 0x y   B． 3 3 12 0x y   或3 3 4 3 0x y   C． 3 3 0x y   D． 3 3 0x y   【答案】A【难度】0.65【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设 (0,4)A ，直线 3 4 0x y   过 (0,4)A 和 4 ,0 3 B     . ①当直线 l为 0x  时，直线 l、直线 3 4 0x y   与 x轴围成的三角形是∆AOB，不是等腰三角形， 所以直线 l的斜率存在． ②当直线 l的斜率为负时，设 B关于 y轴的对称点为 4 ,0 3 C      ， 当直线 l过 ,A C两点时， ,AB AC ABC  是等腰三角形， 又 π 3 ABC  ，所以∆ABC为等边三角形，满足题意，因为 44, 3 OA OC  ， 所以此时直线 l的方程为 3 4 0x y   ． ③当直线 l的斜率为正时，设直线 l与 x轴负半轴相交于点D，则 AB BD ， 由直线 AB的斜率为 3，倾斜角为 π 3 ，可得 π 6 ADB  ， 所以直线 AD，也即直线 l的斜率为 3 3 ，对应方程为 3 3 12 0x y   ． 综上，直线 l的方程为 3 4 0x y   或 3 3 12 0x y   ．故选：A. 9.(24-25 高二上·江苏连云港·期中)设直线 l过两点  3, 3 和  9, 3 ，则( ) A．直线 l的斜率为 3 B．直线 l的倾斜角为150 C．直线 l在 x轴上的截距为6 D．直线 l在 y轴上的截距为3 2 【答案】BC【难度】0.85【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项. 第 26 页 共 31 页 【详解】根据斜率公式， 3 3 3 9 3 3 k      ，故 A 错误， 设直线倾斜角为 ，由倾斜角的定义，0 180  ，且 3tan 3    ，则 150  ，B 正确， 根据点斜式方程，直线的方程可写作 33 ( 3) 3 y x    ，即 3 2 3 3 y x   ， 令 0y  ，则 6x  ，令 0x  ，则 2 3y  ， 故直线 l在 x轴上的截距为 6，在 y轴上的截距为 2 3，C 正确，D 错误.故选：BC 10.(24-25 高二上·辽宁鞍山·阶段练习)下列说法正确的是( ) A．直线 3 1 0x y   的倾斜角为120 B．方程 2 1 yk x    与方程 2 ( 1)y k x   可表示同一直线 C．经过点 (2,1)P ，且在 x， y轴上截距互为相反数的直线方程为 1 0x y   D．过两点  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y 的直线都可用方程        2 1 1 2 1 1x x y y y y x x     表示 【答案】AD【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角、斜率公式的应用、直线的斜截式方程及辨析 【分析】对于 A，先求斜率，进而可得倾斜角；对于 B，注意区分方程 2 1 yk x    与方程  2 1y k x   的不 同之处，对于 C，设直线 l：  1 2y k x   ，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于 D，根据两点式 方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项 A：直线 3 1 0x y   的斜率 3k   ，所以倾斜角为120，故 A 正确； 对于 B， 2 1 yk x    表示过点  1,2 ，斜率为 k的直线，但不含点  1,2 ， 而  2 1y k x   表示过点  1,2 ，斜率为 k的直线，且含点  1,2 ，故 B 错误； 对于 C：因为直线经过点  2,1P ，故斜率存在且不为 0， 设直线为  1 2y k x   ，令 0x  ，则 1 2y k= - ；令 0y  ，则 12x k   ， 因为在 x， y轴上截距互为相反数，则 11 2 2 0k k     ，解得 1 2 k  或 1k  ， 所以直线方程为 2 0x y  或 1 0x y   ，故 C 错误； 对于 D，方程      2 1 1 2 1 1x x y y y y x x     为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点  1 1,P x y ，  2 2,Q x y 的直线，故 D正确.故选：AD. 11.(24-25 高二上·上海·期中)下列说法中，正确的有( ) A．直线 3 2y x  在 y轴上的截距是 2 B．直线 2 5 0x y   经过第一、二、三象限 第 27 页 共 31 页 C．过点  1,2P 且在 x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 3 0x y   D．过点  5,0 ，且倾斜角为 90°的直线方程为 5 0x   【答案】ABD【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】运用截距概念判断 A；根据斜率和截距可判断 B；分情况求出直线方程即可判断 C；求出直线方程 判断 D． 【详解】对于 A，令 0x  ，求得 2y   ，则直线 3 2y x  在 y轴上的截距为 2 ，故 A 正确； 对于 B，直线 2 5 0x y   的斜率为 2，在 y轴上的截距为5， 易知直线 2 5 0x y   经过第一、二、三象限，B 正确； 对于 C，当直线经过原点时，设 y kx ，代入点  1,2P ，求得 2k  ，此时直线方程为 2y x ； 当直线截距不为 0 时，设方程为 1 x y a a   ，代入点  1,2P ，求得 3a  ， 此时直线方程为 3 0x y   ，故 C 错误； 对于 D，倾斜角为90的直线斜率不存在，则过点  5,0 并且倾斜角为 90°的直线方程为 5 0x   ，故 D 正确. 故选：ABD. 12.(24-25 高二上·广东深圳·期末)直线3 4 5 0x y   的一个单位方向向量为 ． 【答案】 4 3, 5 5       (或填 4 3, 5 5       )【难度】0.85【知识点】求直线的方向向量(平面中) 【分析】根据直线方向向量即可求解. 【详解】因为直线3 4 5 0x y   的斜率为 3 4 ，所以直线的一个方向向量是 31, 4       ， 所以直线3 4 5 0x y   的单位方向向量为 4 3, 5 5       或 4 3, 5 5       . 故答案为： 4 3, 5 5       (或填 4 3, 5 5       ) 13.(24-25 高二上·北京平谷·期末)经过点  1, 0P ，且与直线 : 2 1l y x  平行的直线方程是 . 【答案】 2 2 0x y   【难度】0.94【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】利用所求直线与直线 : 2 1l y x  平行，可设其方程 : 2l y x m  ，代入点  1,0P ，计算即得. 【详解】因所求直线与直线 : 2 1l y x  平行，故可设为 : 2l y x m  ， 代入点  1,0P ，解得 2m   ， 故所求的直线方程为： 2 2 0x y   .故答案为： 2 2 0x y   . 14.(24-25 高二上·吉林长春·期末)已知直线 l的斜率小于0，且 l经过点  6,8P ，并与坐标轴交于 ,A B两点，  4,0C ，当∆ABC的面积取得最小值时，直线 l的斜率为 . 第 28 页 共 31 页 【答案】 4 3 3  【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】由题意可设直线   : 8 6 0l y k x k     ，分别求出 ,A B两点坐标，即可表示出∆ABC的面积，再 由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线 l的方程为   8 6 0y k x k     ，令 0y  ，得 86x k   ，令 0x  ，得 8 6y k  . 则和 l坐标轴的交点为 86 ,0A k      ，  0,8 6B k . 所以 8 86 4 2AC k k      ， 可得∆ABC的面积为 S = 1 2 (2 + 8 k )(8 + 6k) = 32 + 32 k + 6k ≥ 32 + 2 32 k × 6k = 32 + 8 3， 当且仅当 32 6k k  ，即 4 3 3 k  等号成立；故答案为： 4 3 3  . 15.(24-25 高二下·湖南株洲·开学考试)分别求符合下列条件的直线 l的方程 (1)过点 (2,1)A 且倾斜角为120 (2)过点 (1, 4)P 且与直线 2 1 0x y   平行 (3)过点 (2,1)P 且在两坐标轴上的截距相等 【难度】0.85【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、直线 斜率的定义 【分析】(1)求出斜率，利用直线的点斜式方程求解. (2)由平行关系设出方程，利用待定系数法求出方程. (3)按直线是否过原点分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】(1)由直线 l的倾斜角为120，得其斜率 tan120 3k     ， 所以直线 l的方程为 1 3( 2)y x    ，即 3 1 2 3 0x y    . (2)设与直线2 1 0x y   平行的直线 l的方程为 2 0( 1)x y m m    ，而直线 l过点 (1, 4)P ， 则2 1 4 0m    ，解得 2m  ， 所以直线 l的方程为 2 2 0x y   . (3)当直线 l过原点时，直线 l的方程为 1 2 y x ，即 2 0x y  ， 当直线 l不过原点时，设直线 l的方程为 1 x y a a   ，则 2 1 1 a a   ，解得 3a  ，方程为 3x y  ， 所以直线 l的方程为 2 0x y  或 3 0x y   . 16.(2025 高二·全国·专题练习)已知 ABCV 的三个顶点分别为  0,4A ，  2,6B  ，  8,0C  ，求： (1)边 AB和 AC所在直线的方程；(2) AC边上的中线所在直线的方程； (3) AC边上的垂直平分线所在直线的方程；(4) AC边上的高所在直线的方程． 【难度】0.65【知识点】直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式 第 29 页 共 31 页 方程及辨析 【分析】(1)解法 1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法 2：先利用斜率公式求出直线斜率， 再利用点斜式求解即可； (2)先利用中点坐标公式求出D点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； (3)由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； (4)由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】(1)解法 1：由两点式得边 AB所在直线方程为 4 0 6 4 2 0 y x      ，即 4 0x y   ． 由截距式得边 AC所在直线方程为 1 8 4 x y    ，即 2 8 0x y   ． 解法 2：因为   4 6 1 0 2AB k      ，所以边 AB所在直线方程为 4y x   ，即 4 0x y   ． 因为   4 0 1 0 8 2AC k     ，所以边 AC所在直线方程为   1 8 2 y x  ，即 2 8 0x y   ． (2)解法 1：设 AC的中点为  ,D x y ，由中点坐标公式可得  4,2D  ， 由两点式得BD所在直线方程为 6 2 2 6 4 2 y x      ，即 2 10 0x y   ． 解法 2：设 AC的中点为  ,D x y ，由中点坐标公式可得  4,2D  ， 则   6 2 2 2 4BD k      ， 所以 BD所在直线方程为  6 2 2y x   ，即 2 10 0x y   ． (3)因为   4 0 1 0 8 2AC k     ， AC的中点  4,2D  ， 所以 AC边上的垂直平分线所在直线方程为  2 2 4y x    ，即 2 6 0x y   ． (4)因为   4 0 1 0 8 2AC k     ，  2,6B  ， 所以 AC边上的高所在直线方程为  6 2 2y x    ，即 2 2 0x y   ． 17.(24-25 高二上·江苏扬州·期末)已知菱形 ABCD中，  4,3A  ，  2, 3C  ， BC边所在直线过点  3,1P ，求： (1) AD边所在直线的方程；(2)点D的坐标． 【难度】0.65【知识点】求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】(1)利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； (2)利用 BD AC ，求得直线 BD的方程，与直线 AD方程联立方程组求解即可. 【详解】(1)因为 BC边所在直线过点  3,1P ，  2, 3C  ，所以  1 3 4 3 2BC k      因为 ABCD为菱形，所以 AD BC∥ ，所以 4AD BCk k  ， 又  4,3A  ，所以  : 3 4 4ADl y x     ，整理得 4 19y x  . 第 30 页 共 31 页 (2)因为  4,3A  ，  2, 3C  ，所以  3 3 1 4 2AC k        . 因为 ABCD为菱形，所以 BD AC ，所以 1 1BD AC k k    因为  4,3A  ，  2, 3C  ，所以 AC中点坐标为  1,0 ，所以 : 1BDl y x  联立方程组 1 4 19 y x y x      ，解得 6 5 x y      ，所以  6, 5D   . 18.(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线    1 2 3 1:    a y a xl ． (1)求直线 l所过定点；(2)若直线 l不经过第四象限，求实数 a的取值范围； (3)若直线 l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 l的方程． 【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、直线图象的辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】(1)由方程变形可得  2 3 1 0a x y x y     ，列方程组，解方程即可； (2)数形结合，结合直线图象可得出关于实数 a的不等式，解之即可； (3)求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】(1)由    : 1 2 3 1l a y a x    ，即  2 3 1 0a x y x y     ， 则 2 0 3 1 0 x y x y       ，解得 1 2 x y    ，所以直线过定点  1,2 . (2)因为直线 l不过第四象限，结合图形可知，直线 l的斜率存在，所以 1a  ， 此时，直线 l的方程可化为 1 1 2 1 3y a a a x    ，记点  1,2A ，则 2OAk  ， 由图可得 2 30 2 1 a a     ，解得 3 2 a  ，因此，实数 a的取值范围是 3 , 2    . (3)已知直线    : 1 2 3 1l a y a x    ，且由题意知 1a  ， 令 0x  ，得 1 0 1    y a ，得 1a  ， 令 0y  ，得 1 0 3 2    x a ，得 3 2 a  ， 第 1 页 共 15 页 专题 2.1 直线的方程 教学目标 1、理解并掌握直线方程的五种形式；能利用条件熟练地选择恰当方程形式求直线的方程； 2、能够熟练进行各种形式之间的互化； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)点斜式方程；(2)一般式方程；(3)不同形式的互化； 2、难点：两点式方程、斜率存在与否的讨论. 过点 P0(x0，y0)，斜率为 k的直线 l的方程为：y－y0＝k(x－x0)，这个方程称为直线的点斜式方程. 注意：(1)由点斜式求直线方程的前提：斜率存在. (2)当直线与 x轴平行或重合时，方程可简写为 y＝y0. 特别地，x轴的方程是 y＝0； (3)当直线与 y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成 x＝x0. 特别地，y轴的方程是 x＝0. 【即学即练 1-1】(24-25 高二上·福建福州·期中)已知直线 l经过点  1,0P ，且方向向量  1,2v   ，则 l的方程 为( ) A． 2 1 0x y   B． 2 2 0x y   C． 2 2 0x y   D． 2 1 0x y   【即学即练 1-2】(24-25 高二上·福建泉州·期末)倾斜角为 45的直线 l过点  1,1 ，则 l的方程为( ) A． y x  B． 1y x  C． 1y x  D． 2y x  第 2 页 共 15 页 1．直线 l与 y轴的交点(0，b)的纵坐标 b叫做直线 l在 y轴上的截距． 2．把方程 y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在 y 轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和 0.当直线过原点时， 它在 x轴上的截距和在 y轴上的截距都为 0. 【即学即练 2】(24-25 高二上·贵州黔东南·期末)已知直线 l的倾斜角为 45 ，且过点 (0, 1) ，则在直线 l上的 点是( ) A． ( 1,0) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 2) 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 �−�1 �2−�1 = �−�1 �2−�1 ，我们把它叫做直线的两点式方程， 简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为 0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【即学即练 3】(24-25 高二上·福建龙岩·期末)已知∆ABC的三个顶点分别是  1,2A ，  5,4B ，  2,7C ，则边 AB上的中线所在直线方程为 ． 我们把方程 � � + � � = 1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与 x轴的交点(a,0)的横坐标 a叫做直线在 x 轴上的截距，此时直线在 y轴上的截距是 b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线 都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在 x轴和 y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【即学即练 4】(2025 高二·全国·专题练习)已知直线 l过点  1, 2 ，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则 直线 l的方程为( ) A． 1 0x y   B． 1 0x y   或 2 0x y  C． 3 0x y   D． 3 0x y   或 2 0x y  第 3 页 共 15 页 把关于 x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于 x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程 Ax＋By＋C＝0的系数 A，B，C满足下列条件时，直线 Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当 A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当 A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与 x轴相交，即直线与 y轴平行，与 x轴垂直； ③当 A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与 y轴相交，即直线与 x轴平行，与 y轴垂直； ④当 A＝0，B≠0，C＝0时，直线与 x轴重合； ⑤当 A≠0，B＝0，C＝0时，直线与 y轴重合． 【即学即练 4】(24-25 高二下·上海杨浦·期末)已知∆ABC的三个顶点 ( , ), (4, 1), (2,1)A m n B C . (1)求 BC边所在直线的一般式方程； (2)若∆ABC的面积等于 2，且点A在直线 : 5 0l x y   上，求点A的坐标. 题型 01 直线的点斜式方程 【典例 1-1】(24-25 高二上·广东广州·阶段练习)已知平面直角坐标系内两点 (1,2)A ， ( 2,3)B  ，则过点A且与 直线 AB垂直的直线 l的方程为( ) A．3 1 0x y   B．3 2 0x y   C．3 5 0x y   D．3 5 0y x   【典例 1-2】(2025·广西桂林·一模)已知直线 l的一个方向向量为  2,1a  ，则过点  1, 1A  且与 l垂直的直线 方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C．2 3 0x y   D． 2 1 0x y   第 4 页 共 15 页 【典例 1-3】(24-25 高二下·安徽·阶段练习)直线 l经过点  3,0 ，倾斜角是直线 1x   的倾斜角的 13，则直 线 l的方程为( ) A． 3 3 0x y   B． 3 0x y   C． 3 3 0x y   D． 3 3 0x y   【典例 1-4】(24-25 高二上·河北廊坊·期末)已知直线 l经过点  3,2 ，且与直线 2 4 0x y   平行，则直线 l的 方程为 ． 【变式 1-1】(24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习)经过点  1,1A 且与直线 2 1y x   垂直的直线方程为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 0x y   D．2 3 0x y   【变式 1-2】(24-25 高二下·安徽·阶段练习)若直线 l经过点 (2,0)且与直线 1 2 y x 垂直，则 l的方程为( ) A． 2 4 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 2 0x y   D． 2 2 0x y   【变式 1-3】(24-25 高二下·河南·阶段练习)若直线 l的方向向量为  3, 3 ，且经过点  3, 3 ，则直线 l的方 程为( ) A． 3 0x y  B． 3 6 0x y   C． 3 0x y  D． 3 6 0x y   【变式 1-4】(24-25 高二下·陕西商洛·阶段练习)直线 l过点 ( 3,0) ，且与直线 2 3y x  垂直，则直线 l的方程 为( ) A． 2 3 0x y   B． 2 3 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 3 0x y   【变式 1-5】(24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习)经过点  1,2 且与直线 2 3 0x y   垂直的直线方程为( ) A． 2 5 0x y   B． 2 4 0x y   C． 2 5 0x y   D． 2 4 0x y   题型 02 直线的斜截式方程 【典例 2-1】(24-25 高二上·广东深圳·期中)已知直线 l的倾斜角为120，在 y轴上的截距是 3，则直线 l的方 程为( ) A． 3 3y x  B． 1 3 2 y x   C． 3 3y x   D． 3 3y x   【典例 2-2】(24-25 高二上·福建福州·期中)(多选)以下关于直线的表述正确的是( ) A．斜率为 2 ，在 y轴上的截距为 3 的直线方程为 2 3y x   B．经过点  1,1 且在 x轴和 y轴上截距相等的直线方程为 2 0x y   C．点斜式方程 0 0( )y y k x x   可用于表示过点 0 0( , )x y 且不与 x轴垂直的直线 第 5 页 共 15 页 D．已知直线 1 0kx y   和以  3,1M  ，  3,2N 为端点的线段相交，则实数 k的取值范围为 2 1 3 k   【变式 2-1】(24-25 高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为60，且过点  0,1P ，则直线的方程为( ) A． 3 1 3 y x  B． 3 1 3 y x  C． 3 1y x  D． 3 1y x  【变式 2-2】(19-20 高二·全国·课后作业)已知直线倾斜角为 60o，在 y轴上的截距为 2 ，则此直线方程为( ) A． 3 2y x  B． 3 2y x   C． 3 2y x   D． 3 2y x  【变式 2-3】(24-25 高二上·湖北十堰·阶段练习)如图所示，直线 1 :l y ax b   与 2 :l y bx a  ( 0, )ab a b  的 图象可能是( ) A． B． C． D． 题型 03 直线的两点式方程 【典例 3-1】(24-25 高二上·全国·课后作业)经过点  1,3 ，  2,4 的直线方程为( ) A． 3 10 0x y   B．3 10 0x y   C． 3 10 0x y   D．3 10 0x y   【典例 3-2】(24-25 高二上·河南郑州·期末)一条光线从点  6,4P 射出，与 x轴相交于点  4,0Q ，经 x轴反 射，求反射光线所在的直线方程 . 【变式 3-1】(24-25 高二上·重庆·期末)过  2,0A 、  0,3B 两点的直线方程是( ) A． 1 2 3 x y   B． 13 2 yx   C． 2 3 y x D． 3 2 y x 【变式 3-2】(24-25 高二上·安徽合肥·期末)一条光线从点  4,2P 射出，经过直线 y x 反射后过点  1, 6Q  ， 则反射光线所在直线的方程为 . 【变式 3-3】(24-25 高二上·贵州毕节·阶段练习)已知直线 l经过  2,3 ，  1, 2 两点，则( ) A．直线 l的一个点斜式为  53 2 3 y x    B．直线 l的一个两点式为 3 2 2 3 1 2 y x      C．直线 l的倾斜角为锐角 D．直线 l的一个方向向量为  1,1 第 6 页 共 15 页 【变式 3-4】(24-25 高二下·上海崇明·期末)求经过点  1,2M  ，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点  1,3A ；(2)与直线 2 5 0x y   平行． 题型 04 直线的截距式方程 【典例 4-1】(24-25 高二上·安徽亳州·阶段练习)若直线 l过点 (4, 2) 且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直 线 l的方程为 . 【典例 4-2】(24-25 高二上·河南三门峡·期末)经过点  1, 2P   ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 为 ． 【典例 4-2】(24-25 高二上·湖南永州·阶段练习)直线3 4 0x y k   在两坐标轴上的截距之和为 2，则实数 k  ( ) A． 1 B． 24 C． 2 D．2 【变式 4-1】(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)若直线的截距式方程 1 x y a b   化为斜截式方程为 2y x b   ，化 为一般式方程为  8 0 0bx ay a    ，则 a b  ( ) A． 2 B． 2 C．6 D．8 【变式4-2】(多选)(22-23高二上·江苏徐州·阶段练习)已知直线 : 2 0l ax y a    在 x轴和 y轴上的截距相等， 则 a的值可能是( ) A．1 B． 1 C．2 D． 2 【变式 4-3】(25-26 高二上·全国·课后作业)直线 y kx b  经过点  1,8 ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 k的所有可能取值之和为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 【变式 4-4】(24-25 高二上·广东清远·期中)已知直线 1 2: 2 3 0, : 2 3 8 0l x y l x y      ． 第 7 页 共 15 页 (1)求经过点 (1, 4)A 且与直线 2l 垂直的直线方程； (2)求经过直线 1l 与 2l 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 题型 05 直线的一般式方程 【典例 5-1】(24-25 高二上·广西河池·期末)已知三角形三顶点  3,1A ，  0, 2B  ，  1,0C  ，求： (1)直线 AB的一般式方程;(2) AB边上的高所在直线的一般式方程. 【典例 5-2】(多选)(24-25 高一下·重庆·期末)已知直线 : 2 3l y kx k   ，则下列说法正确的是( ) A．直线 l恒过定点  2, 3  B．若直线 l在 x轴上的截距为1，则 1k  C．若直线 l与直线 2 1 0x y   垂直，则 1 2 k   D．若 3k  ，则直线 l的倾斜角 的取值范围为 π ,π 3     【变式 5-1】(24-25 高二上·新疆乌鲁木齐·期末)已知直线 l的方程 3 1 0x y   ，则直线 l的倾斜角为( ) A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 第 8 页 共 15 页 【变式 5-2】(24-25 高二下·湖南郴州·开学考试)已知直线 l： 6 0x ay   的倾斜角为60，则实数 a  ( ) A． 3 B． 3 3  C． 3 D． 3 3 【变式 5-3】(24-25 高二上·江西赣州·期末)对于直线 : 3 3 4 0l x y   ，下列选项正确的是( ) A．直线 l倾斜角为 π3 B．直线 l经过第四象限 C．直线 l在 y轴上的截距为 4 3  D．直线 l的一个方向向量为  3, 3 题型 06 动直线过定点问题 【典例 6-1】(24-25 高二上·四川自贡·期末)已知b是 a、c的等差中项，直线 0ax by c+ + = 恒过定点A，则定 点A的坐标为 . 【典例 6-2】(24-25 高三上·云南昆明·期末)若 , ,m n p成等差数列，则直线 : 0l mx ny p   过定点 . 【典例 6-3】(多选)(24-25 高二上·安徽马鞍山·期末)下列说法正确的是( ) A．直线  2 4y ax a a   R 必过定点  2,4 ． B．截距相等的直线都可以用方程  x y a a  R 表示 C．直线 3 1 3 y x   的倾斜角为120  D．过点  2 3 ， 且垂直于直线 1 3 2 2 y x  的直线方程为 2 1 0x y   【变式 6-1】(24-25 高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线    1 2 3 1:    a y a xl ． (1)求直线 l所过定点；(2)若直线 l不经过第四象限，求实数 a的取值范围； (3)若直线 l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 l的方程． 第 9 页 共 15 页 【变式 6-2】(24-25 高二下·上海宝山·期末)已知直线  : 3 1 0, Rl kx y k k     . (1)证明：对任意实数 k，直线 l都经过一个定点； (2)若直线 l在 x轴、 y轴上截距相等，求直线 l的方程. 【变式 6-3】(24-25 高一下·浙江宁波·期末)已知直线 l：    2 2 5 6 6 0a y a x a      . (1)若直线 l垂直于直线 1l ： 3 0x y   ，求 a的值；(2)求证：直线 l经过定点； (3)当 11a   时，求点  1,4P 关于直线 l的对称点 P的坐标. 题型 07 直线与坐标轴围成的三角形面积 【典例 7-1】(24-25 高二下·湖南·阶段练习)已知直线 l经过点  1,2P ，与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两 点，O为坐标原点，则 OAB△ 的面积的最小值为( ) A． 2 B．3 C． 4 D．8 【典例 7-2】(24-25高二上·甘肃白银·期末)过点  1,3 且斜率为2的直线 l与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A． 25 2 B． 25 4 C． 5 2 D． 5 4 第 10 页 共 15 页 【变式 7-1】(24-25 高二上·江苏苏州·期中)在平面直角坐标系 xOy中，且过点  1, 9  的直线 l与坐标轴交于 A、B两点，∆AOB的面积记为 S. (1)当直线 l在 y轴上的截距为 2，求 S的值；(2)当 3 2 S  ，求直线 l在 x轴上的截距. 【变式 7-2】(24-25 高二上·甘肃庆阳·阶段练习)直线 l过点  3,4 ，且在两坐标轴上的截距之和为 12． (1)求直线 l的方程(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【变式 7-3】(2025 高二·全国·专题练习)已知直线 l的斜率为 3 2  ，且与坐标轴围成的图形面积是 12，求直线 l的方程． 第 11 页 共 15 页 题型 08 直线方程的应用 【典例 8-1】(多选)(24-25 高一下·江苏南京·期末)下列说法错误的是( ) A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程  Rx y a a   表示 B．方程  2 0 Rmx y m    表示的直线斜率一定存在 C．经过点  1,2P ，倾斜角为 的直线方程为  2 tan 1y x   D．经过两点  1 1 1,P x y ，   2 2 2 1 2,P x y x x 的直线方程为  2 11 1 2 1 y yy y x x x x      【典例 8-2】(多选)(24-25 高二上·山东泰安·期末)下列结论正确的是( ) A．过  1 1,x y 、  2 2,x y 两点的直线方程为 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x      B．点  0,2 关于直线 1y x  的对称点为  1,1 C．若直线 l过  3,1 ，且在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的3倍，则 l的方程为 3 6 0x y   D．直线 3 1 0x y   的倾斜角为 π 6 【变式 8-1】(24-25 高二下·上海杨浦·期中)若直线 0Ax By C   经过第一、二、四象限，则( ) A． 0AB  且 0BC  B． 0AB  且 0BC  C． 0AB  且 0BC  D． 0AB  且 0BC  【变式 8-2】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 : 1 3 0( R)l kx y k k      过定点Q，则下列说法 正确的是( ) A．直线 l过定点 (3,1)Q B．若直线 l不经过第四象限，则 k的取值范围为 [0, ) C．若直线 l在 x轴上的截距为－3，则 1 6 k  D．若直线 l分别交 x，y轴正半轴于 A，B，则当 AQ QB   取得最小值时，直线 l的方程为 x  4 0y   【变式 8-3】(多选)(24-25 高二上·新疆乌鲁木齐·期末)下列说法正确的是( ) A．若直线 y kx b  经过第一､二､四象限，则点  ,k b 在第三象限 B．直线 3 2y ax a   过定点  3,2 C．斜率为 2 ，在 y轴上的截距为3的直线的方程为 2 3y x   D．过点  2, 1 且斜率为 3 的直线的点斜式方程为  1 3 2y x    【变式 8-4】(多选)(24-25 高二上·江苏淮安·阶段练习)下列结论正确的是( ) A．直线 l过点 ( 1, 4)P  ，倾斜角为 90°，则其方程是 1x   第 12 页 共 15 页 B．方程 2 1 yk x    与方程  2 1y k x   可表示同一直线 C．直线 l过点 ( 1, 4)P  ，斜率为 0，则其方程是 4y  D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 1.(24-25 高二上·浙江嘉兴·期末)经过点  1,2P 且倾斜角为 π 2 的直线方程是( ) A． 1x  B． 2x  C． 1y  D． 2y  2.(24-25 高二下·河南商丘·开学考试)过点  1, 2 且方向向量为  2, 3a    的直线 l的方程为( ) A．3 2 1 0x y   B．3 2 7 0x y   C．3 2 1 0x y   D．3 2 4 0x y   3.(24-25 高二上·河北邯郸·期末)已知直线 l过原点 O，将直线 l绕点 O顺时针旋转 π 6 后，恰与 y轴重合，则 直线 l的方程为( ) A． 3 3 y x B． 3y x C． 3 3 y x  D． 3y x  4.(24-25 高二下·甘肃嘉峪关·开学考试)数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同 一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知∆ABC 的顶点  1,0B  ，  0,2C ， AB AC ，则∆ABC的欧拉线方程为( ) A． 2 4 3 0x y   B． 2 4 3 0x y   C． 4 2 3 0  x y D． 2 4 3 0x y   5.(24-25 高二上·山西·期末)过点  4, 3P 且与直线 4 5 13 0x y   垂直的直线 l的方程是( ) A． 4 5 31 0x y   B． 4 5 1 0x y   C．5 4 32 0x y   D．5 4 8 0x y   6.(24-25 高二上·河南开封·期末)∆ABC中，  5,0A  ，  3,2B ，C点在 y轴上，若 AB边上的中线 CD也是 AB 边上的高，则直线 CD的方程为( ) A． 4 3 0x y   B． 4 3 0x y   C． 4 5 0x y   D． 4 5 0x y   7.(24-25 高一下·江苏镇江·期中)直线 4 3 12 0x y   与 x轴、 y轴分别交于 ,A B两点，则 BAO (O为坐标原 点)的平分线所在直线的方程为( ) A． 2 6 0x y   B． 2 3 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 6 0x y   或 2 3 0x y   第 13 页 共 15 页 8.(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线 l过点 (0,4)，且与直线 3 4 0x y   及 x轴围成等腰三角形，则 l的 方程为( ) A． 3 4 0x y   或 3 3 12 0x y   B． 3 3 12 0x y   或3 3 4 3 0x y   C． 3 3 0x y   D． 3 3 0x y   9.(24-25 高二上·江苏连云港·期中)设直线 l过两点  3, 3 和  9, 3 ，则( ) A．直线 l的斜率为 3 B．直线 l的倾斜角为150 C．直线 l在 x轴上的截距为6 D．直线 l在 y轴上的截距为3 2 10.(24-25 高二上·辽宁鞍山·阶段练习)下列说法正确的是( ) A．直线 3 1 0x y   的倾斜角为120 B．方程 2 1 yk x    与方程 2 ( 1)y k x   可表示同一直线 C．经过点 (2,1)P ，且在 x， y轴上截距互为相反数的直线方程为 1 0x y   D．过两点  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y 的直线都可用方程        2 1 1 2 1 1x x y y y y x x     表示 11.(24-25 高二上·上海·期中)下列说法中，正确的有( ) A．直线 3 2y x  在 y轴上的截距是 2 B．直线 2 5 0x y   经过第一、二、三象限 C．过点  1,2P 且在 x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 3 0x y   D．过点  5,0 ，且倾斜角为 90°的直线方程为 5 0x   12.(24-25 高二上·广东深圳·期末)直线3 4 5 0x y   的一个单位方向向量为 ． 13.(24-25 高二上·北京平谷·期末)经过点  1, 0P ，且与直线 : 2 1l y x  平行的直线方程是 . 14.(24-25 高二上·吉林长春·期末)已知直线 l的斜率小于0，且 l经过点  6,8P ，并与坐标轴交于 ,A B两点，  4,0C ，当∆ABC的面积取得最小值时，直线 l的斜率为 . 15.(24-25 高二下·湖南株洲·开学考试)分别求符合下列条件的直线 l的方程 第 14 页 共 15 页 (1)过点 (2,1)A 且倾斜角为120 (2)过点 (1, 4)P 且与直线 2 1 0x y   平行 (3)过点 (2,1)P 且在两坐标轴上的截距相等 16.(2025 高二·全国·专题练习)已知 ABCV 的三个顶点分别为  0,4A ，  2,6B  ，  8,0C  ，求： (1)边 AB和 AC所在直线的方程；(2) AC边上的中线所在直线的方程； (3) AC边上的垂直平分线所在直线的方程；(4) AC边上的高所在直线的方程． 17.(24-25 高二上·江苏扬州·期末)已知菱形 ABCD中，  4,3A  ，  2, 3C  ， BC边所在直线过点  3,1P ，求： (1) AD边所在直线的方程；(2)点D的坐标． 第 15 页 共 15 页 18.(24-25高二上·宁夏吴忠·期中)已知直线    1 2 3 1:    a y a xl ． (1)求直线 l所过定点；(2)若直线 l不经过第四象限，求实数 a的取值范围； (3)若直线 l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 l的方程． 19.(24-25 高二上·广东东莞·期中)直线 l的方程为  1 3 1 0a x y a     ， aR . (1)若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求 l的方程； (2)若直线 l分别交 x轴、 y轴的正半轴于点A、 B，点O是坐标原点．若∆AOB的面积为16，求 a的值.