19.2 菱形 暑假巩固 2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假巩固 一、添加一个条件是菱形 1.在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 2.在四边形中，，，加下列条件能使四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 3.如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：    ①只需要满足； ②只需要满足； ③只需要满足 则上述方案正确的是(　　) A.①②③ B.①③ C.③ D.②③ 4.如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是      ． 5.如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件：                 ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 6.如图，在中，点，分别是和的中点． (1)若，求证：四边形是矩形． (2)当等于多少度时，四边形是菱形，直接写出结论． 7.如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 二、用定义判定菱形 1.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 3.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 5.菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形． 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，交CD于点G，过点E作EF∥CD，过点G作FG∥EC，EF，FG交于点F．求证：四边形CEFG为菱形． 7.如图，在矩形中，是对角线． (1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状． 三、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 2.如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)    A. B. C. D. 3.在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　) A.10 B.8 C.6 D.4 4.如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为      ． 5.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则    ． 6.如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 7.如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的周长． 四、利用菱形的性质求线段的长 1.小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为a，则菱形的周长为（　　） A. B. C.a D. 2.菱形中， 若对角线， 则菱形的周长是(　　) A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为(　　) A. B.3 C. D.4 4.如图，已知菱形的面积是24，对角线长为6，于点E，则的长为       ．    5.如图，在菱形中，，对角线，若过点C作，垂足为E，则的长为      ． 6.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 7.菱形对角线与交于点O，若，过点A作于点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，求的长度． 五、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 2.如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是(　　) A.8 B. C. D. 3.如图，在菱形中，对角线相交于点，点在线段上，连接，若，，，则菱形的面积等于(　　)    A.12 B.24 C.48 D.96 4.如图，在边长为8的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为        ． 5.如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积是         ．    6.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若菱形的面积为8，请计算四边形的面积． 7.如图，四边形是菱形，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 六、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是(　　) A. B. C. D. 2.如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，，对角线，相交于点，以，为边作矩形，则的度数为(　　) A. B. C. D. 4.如图，菱形中，，则        ．    5.如图，在菱形中，，点在边上，以为边在菱形内部作等边三角形，若，则        ． 6.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． (1)求证：BE＝DF． (2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数． 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数． 七、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)    A. B. C. D. 2.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D，E，F分别在AB，AC，BC上，且AD＝AE，CD为EF的中垂线，CD与EF交于点O．求证：BF＝2AD． 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，点E为边CD上一点，且DE＝DA，过点E作EQ//DA交AB于点Q，连接DQ．点G在AQ上，点F在EQ上，连接CG，DG，DF，CF，满足CG＝CD，EF＝GQ． (1)求证：△DGQ≌△DFE； (2)求证：CF平分∠DCG． 八、菱形中的动点问题 1.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 2.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 3.如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是(　　) A.①③②③ B.③②①③ C.①③②① D.③②③① 4.如图，菱形的对角线，面积为，是等边三角形，若点在对角线上移动，则的最小值为      ． 5.如图，在菱形中，，，点P，E，F分别为线段上的动点，则的最小值是         ． 6.已知为等边三角形，点D为直线的一个动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F逆时针排列），使，连接．    (1)如图1，当点D在边上时，求证：①；②； (2)如图2，点D在的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出之间存在的数量关系，并说明理由． 7.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．猜想的形状是______三角形，并证明． 华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假巩固（参考答案） 一、添加一个条件是菱形 1.在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．添加，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； B．添加，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； C．添加，∵，∴，不能得出四边形是菱形，故该选项符合题意； D．添加，连接，如图，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 则是菱形， 故该选项不符合题意； 故选∶C． 2.在四边形中，，，加下列条件能使四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， A.∵， ∴平行四边形为矩形，故选项A不符合题意； B.由，不能判定四边形为菱形，故选项B不符合题意； C.∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D.∵， ∴平行四边形为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 3.如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：    ①只需要满足； ②只需要满足； ③只需要满足 则上述方案正确的是(　　) A.①②③ B.①③ C.③ D.②③ 【答案】B 【解析】在中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形，①符合要求； ②：平行四边形中存在， 根据②，无法确定平行四边形是菱形，②不符合要求； ③∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形，③符合要求； 故选：B． 4.如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意知，可添加：． 则三角形是等腰三角形， 由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合， 即点D是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，点E，F分别是的中点， ∴， ∴平行四边形为菱形． 故答案为：、或（答案不唯一）． 5.如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件：                 ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 【答案】（答案不唯一） 【解析】添加条件． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 6.如图，在中，点，分别是和的中点． (1)若，求证：四边形是矩形． (2)当等于多少度时，四边形是菱形，直接写出结论． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是和的中点， ∴，， ∴， ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：当，四边形是菱形，理由如下： ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 7.如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴，， 在与中，， ∴； （2）解：添加． 理由：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 二、用定义判定菱形 1.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 【答案】C 【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选：C． 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 【答案】B 【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC平行且等于ED， ∴四边形ACDE为平行四边形， 当AC＝BC时，则DE＝EC， ∴平行四边形ACED是菱形． 故选B. 3.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； B.同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意； C.只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； D.的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 【答案】菱形 【解析】∵四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 设 ∴平行四边形是菱形， 故答案为：菱形． 5.菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形． 【答案】相等 【解析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，交CD于点G，过点E作EF∥CD，过点G作FG∥EC，EF，FG交于点F．求证：四边形CEFG为菱形． 【答案】证明：∵EF∥CD，FG∥EC， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAE＝∠BEA，∠EAB＝∠EGC， ∵AG平分∠DAB， ∴∠DAG＝∠BAG， ∴∠EGC＝∠GEC， ∴EC＝GC， ∴四边形EFGC是菱形. 7.如图，在矩形中，是对角线． (1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状． 【答案】解：（1）所作的图形如下： ； （2）四边形是菱形．理由如下， ∵四边形为矩形， ∴， 由翻折知，， 由作图知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 三、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 2.如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故选：． 3.在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　) A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】如图，连接，设交点为O， 由尺规作图得：是的角平分线，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ， 在中， ， ． 故选：B． 4.如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为      ． 【答案】10 【解析】根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 5.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则    ． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 6.如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】解：（1）四边形是菱形， 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， ∴． 7.如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，点E、点F分别在上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的周长为20． 四、利用菱形的性质求线段的长 1.小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为a，则菱形的周长为（　　） A. B. C.a D. 【答案】D 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形是周长， 故选：D． 2.菱形中， 若对角线， 则菱形的周长是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，交于点， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 菱形的周长为． 故选：B． 3.如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为(　　) A. B.3 C. D.4 【答案】A 【解析】四边形是菱形，， ，，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， 故选：A． 4.如图，已知菱形的面积是24，对角线长为6，于点E，则的长为       ．    【答案】 【解析】如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    5.如图，在菱形中，，对角线，若过点C作，垂足为E，则的长为      ． 【答案】 【解析】连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 6.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 【答案】解：（1）四边形为菱形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）四边形为菱形， ， ，点是中点， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ． 7.菱形对角线与交于点O，若，过点A作于点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】解：（1）∵菱形，， ∴，，， ∵，为菱形的对称轴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， （2）过N作于， ∵菱形， ∴平分， 又∵，， ∴， 设， ∵， ∴与均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∴， 得， ∴． 五、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2.如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是(　　) A.8 B. C. D. 【答案】C 【解析】菱形的周长为32， ， ， ，， 和都为等边三角形， ，， ，，，， ，，， ∴为等边三角形， 的面积． 故选：C． 3.如图，在菱形中，对角线相交于点，点在线段上，连接，若，，，则菱形的面积等于(　　)    A.12 B.24 C.48 D.96 【答案】B 【解析】∵， ∴， 设，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积等于． 故选：B． 4.如图，在边长为8的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为        ． 【答案】 【解析】连接交于O，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：． 5.如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积是         ．    【答案】 【解析】∵A，B两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是菱形，且点C，D在坐标轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若菱形的面积为8，请计算四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形, ∴， ∴四边形的面积 ． 7.如图，四边形是菱形，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，，    ，， ， 在和中， ， ； （2）解：设菱形的边长为， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ，即， 解得， 菱形的边长是5． ∴菱形的面积为. 六、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在菱形中，，点在对角线上， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2.如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 3.如图，在菱形中，，对角线，相交于点，以，为边作矩形，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 4.如图，菱形中，，则        ．    【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，在菱形中，，点在边上，以为边在菱形内部作等边三角形，若，则        ． 【答案】 【解析】在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形，     ∴， ∵以为边在菱形的内部作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 6.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． (1)求证：BE＝DF． (2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数． 【答案】（1）证明：∵ AE⊥BC， AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= AD，∠B=∠D， 在△ABE和△ADF中， ∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB= AD， ∴△ABE≌△ADF (AAS)， ∴BE= DF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AD// BC， ∴∠BAD+∠B= 180° ， ∵∠BAD= 110°， ∴∠B= 70°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB= 90°， ∴∠BAE= 20°， ∴∠DAF= 20° ， ∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF= 110°- 20°- 20°= 70°. 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数． 【答案】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°， ∴∠BAD=60°， ∵对角线AC、BD交于点O， ∴∠BAC=∠CAD=30°，∠DOA=90°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠OAF=15°， ∴∠AFO的度数为：90°-15°=75°． 七、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴点O为的对称中心，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∴，故A正确； ∴四边形是菱形， ∴，故C正确； 与不一定相等，故D错误， 故选：D． 2.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】， ， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图2，    设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， ，，三点一定在同一直线上，故④正确， 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 3.如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由作法知，是的平分线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形为菱形， ∴， 但不一定成立， 即选项A、B、C正确， 故选：D． 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确， ∴，， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，故④错误； 综上分析可知：①②③正确； 故答案为：①②③． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 连接，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∴正确的有， 故答案为：． 6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D，E，F分别在AB，AC，BC上，且AD＝AE，CD为EF的中垂线，CD与EF交于点O．求证：BF＝2AD． 【答案】证明：连接DE，DF，如图所示： 设AD＝x，则AE＝x， ∵AD＝AE，∠A＝90°， ∴， ∵AD＝AE，AB=AC， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∵CD垂直平分EF， ∴EO=FO，CE=CF， ∴（AAS）， ∴DE=CF， ∴四边形DECF为平行四边形， ∵CE=CF， ∴四边形DECF是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴BF=2AD． 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，点E为边CD上一点，且DE＝DA，过点E作EQ//DA交AB于点Q，连接DQ．点G在AQ上，点F在EQ上，连接CG，DG，DF，CF，满足CG＝CD，EF＝GQ． (1)求证：△DGQ≌△DFE； (2)求证：CF平分∠DCG． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵EQ∥AD， ∴四边形ADEQ是平行四边形， ∵AD＝ED， ∴四边形ADEQ是菱形， ∴AD＝ED＝EQ＝AQ， ∵∠A＝60°， ∴△ADQ、△DEQ是等边三角形， ∴∠DQA＝∠EDQ＝∠DEQ＝60°，DQ＝AD＝DE， 在△DGQ和△DFE中， ， ∴△DGQ≌△DFE（SAS）； （2）连接GF， ∵△DGQ≌△DFE， ∴∠QDG＝∠EDF，DF＝DG， ∴∠QDG+∠FDQ＝∠EDF+∠FDQ＝∠EDQ＝60°，即∠GDF＝60°， ∴△GDF是等边三角形， ∴DF＝GF， 在△CDF和△CGF中，， ∴△CDF≌△CGF（SSS）， ∴∠DCF＝∠GCF． 八、菱形中的动点问题 1.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 2.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】作点F关于的对称点G，连接，作于，作交于， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点G在上，，， ∵， ∴最小值为：， 故选B． 3.如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是(　　) A.①③②③ B.③②①③ C.①③②① D.③②③① 【答案】A 【解析】∵，故菱形由两个等边三角形组合而成， 当点P与点B重合时，此时为等腰三角形，①符合， 当时，此时为直角三角形，③符合； 当点P到达点C处时，此时为等边三角形，②符合； 当P为中点时，为直角三角形，③符合； 故选：A． 4.如图，菱形的对角线，面积为，是等边三角形，若点在对角线上移动，则的最小值为      ． 【答案】 【解析】连接交于，连接，如图： 四边形是菱形， ，关于对称， ， ， 当在上时，最小，最小值为的长度， 四边形是菱形， ，， ，， ， 是等边三角形， ， 最小值为， 故答案为：． 5.如图，在菱形中，，，点P，E，F分别为线段上的动点，则的最小值是         ． 【答案】 【解析】作出关于的对称点，再过作，交于点，此时最小，此时，过点作，于， ∵四边形是菱形， ∵， ， ， ， 由勾股定理可得，， ， ， ， 最小为， 故答案为：． 6.已知为等边三角形，点D为直线的一个动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F逆时针排列），使，连接．    (1)如图1，当点D在边上时，求证：①；②； (2)如图2，点D在的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）①∵为等边三角形， ∴．        ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②∵， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为：，理由如下： 同理（1）可证， ∴； 又∵， ∴． 7.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．猜想的形状是______三角形，并证明． 【答案】解：的形状是等边三角形； 证明如下：连接． 四边形是菱形， ，， ，都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$