19.2 菱形 暑假巩固练习 2024--2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假巩固 一、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 2.如图，在中，是角平分线，交于，交于，若，那么四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 4.如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为    °． 5.如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为         ． 6.如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 7.如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，． (1)实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)应用与求解：若，求的长． 二、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的对角线交于点O，交的延长线于点E，，，则的面积为(　　) A.60 B.48 C.42 D.24 2.如图，菱形的边长为4，，则菱形的面积为（　　） A.6 B. C. D.12 3.如图，在菱形中，对角线，，则的面积为(　　) A. B. C. D. 4.菱形的周长为 ，一条对角线长为4，则菱形的面积是        ． 5.如图，菱形中，若，，则菱形的面积是        ． 6.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若菱形的面积为8，请计算四边形的面积． 7.如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，．    (1)求的长． (2)求的面积． 三、添加一个条件是菱形 1.如图，的对角线，相交于点，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是(　　)    A. B. C. D. 2.如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是　　 A. B. C. D. 3.如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（　　） A.当时，四边形是菱形 B.当时，四边形是菱形 C.当时，四边形是矩形 D.当时，四边形是菱形 4.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是       ．（填写序号） 5.如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有         （只填写序号）．    6.数学课上，王老师出示了一道例题：如图，在平行四边形中，为对角线的中点，过点的直线分别交，于，两点，连接，．求证：四边形是菱形．全班同学经过分组讨论后认为：四边形一定是平行四边形，要想证明该四边形是菱形还应当添加一个条件．小明认为：应当添加．小刚认为：应当添加．请你从小明和小刚添加的条件中选一个完成该题的证明．    (1)添加的条件是_______； (2)写出证明过程. 7.如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 四、菱形中的动点问题 1.如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A.1 B.1.3 C.1.5 D.2 2.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 3.如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A. B. C.5 D. 4.菱形的边长为，，点、分别是、上的动点，的最小值为               ． 5.如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是           ． 6.在中，，点D为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且时，求证：． 7.如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，． (1)求证：； (2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． 五、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A.3 B.4 C.5 D.7 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，，则菱形的周长为(　　) A.8 B.16 C. D. 3.如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接，当时，线段的长为(　　) A.2 B. C.4 D. 4.如图，在菱形中，，对角线，若过点C作，垂足为E，则的长为      ． 5.如图，在菱形中，，点E，F分别在上，与关于直线对称，点B的对称点是G，且点G在边上，若，，则的长为      ． 6.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 7.如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，E是延长线上一点，且，，，求的长度． 六、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)    A. B. C. D. 2.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 6.如图，在平行四边形中，E是对角线上的一点，过点C作，连接． (1)求证：； (2)连接，若，在不添加其它辅助线的情况下，请直接写出图中与线段相等的线段． 7.已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是平行四边形外一点，连接和，且． (1)如图1，若，，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点，和交于点，求证：． 七、用定义判定菱形 1.如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（　　）    A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 3.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 5.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为______________． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF． （1）求证：BE＝DF； （2）作∠AEB的平分线交AB于点G，若EG∥AC，求证：四边形AECF是菱形． 7.已知四边形是平行四边形，． (1)利用尺规作图作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形．（补全下列证明过程） 证明：四边形为平行四边形， ， ___________． 平分， ， ___________． ， 又 ， ___________． 又 ， 四边形为平行四边形， 又___________． 四边形是菱形． 八、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 2.如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是(　　) A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，，是菱形的一条对角线，则的度数是(　　)    A. B. C. D. 4.如图，已知四边形是菱形，对角线、交于点，，以点为圆心，CO为半径作圆弧交线段于点，连结，则      ．    5.如图，菱形中，，则        ．    6.如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 7.如图，BD是菱形ABCD的对角线，． (1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E、交AD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接BF，求的度数． 华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假巩固（参考答案） 一、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 2.如图，在中，是角平分线，交于，交于，若，那么四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形周长为, 故选：． 3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作于R，于S，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ∴， 故选：C． 4.如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为    °． 【答案】30 【解析】由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 5.如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为         ． 【答案】48 【解析】连接、过点A作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点E， ， ， ， 同理：， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ∴，，，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：48． 6.如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：如图所示：    四边形是平行四边形， ，， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ，， ∴四边形是平行四边形， 垂直平分，即， ∴四边形是菱形， ， ， 菱形中，对角线平分， ． 7.如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，． (1)实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)应用与求解：若，求的长． 【答案】解：（1）如图所示：以点O为圆心，长为半径作弧，与线段的交点即为点F，连接，． （2）由（1）知， 中，E为的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，， 四边形是菱形， ，即， ， ， ． 二、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的对角线交于点O，交的延长线于点E，，，则的面积为(　　) A.60 B.48 C.42 D.24 【答案】B 【解析】四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：B． 2.如图，菱形的边长为4，，则菱形的面积为（　　） A.6 B. C. D.12 【答案】C 【解析】如图，连接，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵菱形的边长为4，即， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 3.如图，在菱形中，对角线，，则的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴的面积为． 故选B． 4.菱形的周长为 ，一条对角线长为4，则菱形的面积是        ． 【答案】4 【解析】作菱形，，则， 一条对角线长为4， 令，则， 由勾股定理得， ， ， 故答案为：4． 5.如图，菱形中，若，，则菱形的面积是        ． 【答案】 【解析】连接，交与点O， ∵四边形ABCD是菱形， ，， ， 在中，， 根据勾股定理，得∶， ∴， ∴菱形的面积是：， 故答案为：． 6.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若菱形的面积为8，请计算四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形, ∴， ∴四边形的面积 ． 7.如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，．    (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】解：（1）在菱形中，， ，． ， ，且， ． （2）在中，， ，， ， ， ， ．． 三、添加一个条件是菱形 1.如图，的对角线，相交于点，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴，即， ∴是菱形， 故选项A正确，但不符合题意； ∵， ∴是菱形， 故选项B正确，但不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴是矩形， 故选项C错误，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是菱形， 故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 2.如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】可以添加的条件是， 理由：四边形是平行四边形， ，， 、分别为边、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 连接交于， ，， ， 四边形是菱形， 故选：D． 3.如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（　　） A.当时，四边形是菱形 B.当时，四边形是菱形 C.当时，四边形是矩形 D.当时，四边形是菱形 【答案】D 【解析】．∵， ∴平行四边形是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故结论正确，不符合题意； ．当时，四边形不一定是菱形， 故结论错误，符合题意； 故选：． 4.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是       ．（填写序号） 【答案】② 【解析】∵平分， ∴ 若，则有： ∴ ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， 故答案为②． 5.如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有         （只填写序号）．    【答案】①②③④ 【解析】①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 6.数学课上，王老师出示了一道例题：如图，在平行四边形中，为对角线的中点，过点的直线分别交，于，两点，连接，．求证：四边形是菱形．全班同学经过分组讨论后认为：四边形一定是平行四边形，要想证明该四边形是菱形还应当添加一个条件．小明认为：应当添加．小刚认为：应当添加．请你从小明和小刚添加的条件中选一个完成该题的证明．    (1)添加的条件是_______； (2)写出证明过程. 【答案】解：（1）添加的条件是； 故答案为：； （2）证明如下：①添加， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． ②添加， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 7.如图，中，，是边，的点，，添加下列条件之一使成为菱形．①；②；③．    (1)添加的条件是：______．（填序号） (2)添加条件后，请证明为菱形． 【答案】解：（1）添加能使成为菱形． 故答案为：①； （2），，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 四、菱形中的动点问题 1.如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A.1 B.1.3 C.1.5 D.2 【答案】D 【解析】如图，延长至点M，使，连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． ∵． ∴． 故选：D． 2.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 3.如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A. B. C.5 D. 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形，与交于点， ∴，， ，，，， ∵，， ，， ， 取的中点，连接，，则， ∵为的中点，为的中点， ∴，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当、、三点在同一直线上时取等号， 故选：C． 4.菱形的边长为，，点、分别是、上的动点，的最小值为               ． 【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（当点、、共线时取“”）， ∴的最小值为的长， ∵菱形的边长为，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 5.如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是           ． 【答案】①③④ 【解析】连接，过点分别作于点，于点，如图所示， 四边形为菱形， ，． ， ， ，， ①和④正确． ，， 为等边三角形， ． ，， ，． ， ． ， ． 为定值． ②不正确． ，， 是等边三角形． ，， ， ，， ． ． ③正确． 故答案为：①③④ 6.在中，，点D为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且时，求证：． 【答案】解：（1）四边形是菱形， ， ， ， ， ≌， ． （2）四边形是菱形， ， ， ， ， ≌， ， ，， ∴由勾股定理，得， ， ． 7.如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，． (1)求证：； (2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴. 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 理由如下： 由（1）知， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在菱形中，，M为的中点， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 五、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A.3 B.4 C.5 D.7 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形， ，，， ，， ，， 绕着点C旋转得到， ，，， ， ． 故选：C． 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，，则菱形的周长为(　　) A.8 B.16 C. D. 【答案】D 【解析】点，的坐标分别为，， ，， ， 菱形的周长等于， 故选：D． 3.如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接，当时，线段的长为(　　) A.2 B. C.4 D. 【答案】D 【解析】如图，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4.如图，在菱形中，，对角线，若过点C作，垂足为E，则的长为      ． 【答案】 【解析】连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 5.如图，在菱形中，，点E，F分别在上，与关于直线对称，点B的对称点是G，且点G在边上，若，，则的长为      ． 【答案】 【解析】四边形是菱形，， ，， ，是等边三角形， 则边上的高， 即， ， ， ∵与关于直线对称， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为. 6.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，为对角线， ， ， ∴平行四边形是矩形． ． （2）解：四边形为菱形，且边长为4， ，，， ， 又， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 7.如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，E是延长线上一点，且，，，求的长度． 【答案】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 六、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴点O为的对称中心，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∴，故A正确； ∴四边形是菱形， ∴，故C正确； 与不一定相等，故D错误， 故选：D． 2.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】， ， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图2，    设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， ，，三点一定在同一直线上，故④正确， 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 3.四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，连接AC， ∵， ∴，． ∵四边形APCQ是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴AD=BC，，故A正确，不符合题意． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵， ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴，，故B、C正确，不符合题意． ∵当AP=BP时，， ∴D选项不一定成立，故该选项符合题意． 故选D． 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确， ∴，， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，故④错误； 综上分析可知：①②③正确； 故答案为：①②③． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 连接，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∴正确的有， 故答案为：． 6.如图，在平行四边形中，E是对角线上的一点，过点C作，连接． (1)求证：； (2)连接，若，在不添加其它辅助线的情况下，请直接写出图中与线段相等的线段． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ， 图中与线段相等的线段有：． 7.已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是平行四边形外一点，连接和，且． (1)如图1，若，，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点，和交于点，求证：． 【答案】证明：（1）∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， ， ， 在上取一点，连接，使， ， ， ． ∵， ∴， ， ， . 七、用定义判定菱形 1.如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（　　）    A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形 【答案】C 【解析】，， 四边形是平行四边形，， 是的角平分线， ， ， ， 平行四边形是菱形． 故选：C． 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 【答案】B 【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC平行且等于ED， ∴四边形ACDE为平行四边形， 当AC＝BC时，则DE＝EC， ∴平行四边形ACED是菱形． 故选B. 3.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； B.同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意； C.只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； D.的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 【答案】菱形 【解析】∵四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 设 ∴平行四边形是菱形， 故答案为：菱形． 5.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为______________． 【答案】菱形 【解析】由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD， ∵矩形的对角线相等， ∴AC＝BD， ∴EH＝HG， ∴平行四边形EFGH是菱形． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF． （1）求证：BE＝DF； （2）作∠AEB的平分线交AB于点G，若EG∥AC，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，AD＝BC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△FAO与△CEO中， ， ∴△FAO≌△CEO（ASA）， ∴AF＝CE， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， 即BE＝DF； （2）∵AF＝CE，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EG∥AC， ∴∠GEB＝∠ACE，∠GEA＝∠EAC， ∵∠AEB的平分线交AB于点G， ∴∠GEB＝∠GEA， ∴∠ACE＝∠EAC， ∴AE＝EC， ∴▱AECF是菱形． 7.已知四边形是平行四边形，． (1)利用尺规作图作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形．（补全下列证明过程） 证明：四边形为平行四边形， ， ___________． 平分， ， ___________． ， 又 ， ___________． 又 ， 四边形为平行四边形， 又___________． 四边形是菱形． 【答案】解：（1）作图如下： （2）四边形为平行四边形， ， ． 平分， ， ． ， 又 ， ． 又 ， 四边形为平行四边形， 又 ． 四边形是菱形． 八、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 2.如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在菱形中，，点在对角线上， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3.如图，在菱形中，，是菱形的一条对角线，则的度数是(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 4.如图，已知四边形是菱形，对角线、交于点，，以点为圆心，CO为半径作圆弧交线段于点，连结，则      ．    【答案】55° 【解析】四边形是菱形， 菱形的对角相等． 是菱形的一条对角线， ． 根据题意， ． 故答案为：． 5.如图，菱形中，，则        ．    【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 【答案】解：由题意，设，则， 四边形是菱形， ， ， 又， ， 解得， ， ． 7.如图，BD是菱形ABCD的对角线，． (1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E、交AD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接BF，求的度数． 【答案】解：（1）如图所示，直线EF 即为所求； （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC，DA∥CB， ∴∠ABC+∠A=180°， 又∵∠A=40°， ∴∠ABC=140°， ∴∠ABD=∠DBC=70°， ∵EF 垂直平分线段AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=40°， ∴∠DBF=∠ABD－∠FBA=70°－40°=30°． 学科网（北京）股份有限公司 $$