专题03 三角形的中线、角平分线、高【单元重难点常考题型讲练系列】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题03 三角形的中线、角平分线、高【4大考点12大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的中线、角平分线、高】 【解题知识必备】 1.三角形的中线 （1）在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线。 几何语言表述：如图1，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （2）一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点。 （3）三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。三角形的重心在三角形内部。如图2 图1 图2 2.三角形的角平分线 （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫作三角形的角平分线。 表示方法：如图3，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （2）一个三角形有三条角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点，此交点在三角形的内部。 图3 图4 3.三角形的高 （1） 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫作三角形的高线（简称高）. 表示方法：如图5，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； 图5 图6 （2）三角形的三条高的特点 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 根据三角形的中线求长度 【题型02】 根据三角形的中线求面积 【题型03】 重心的概念 【题型04】 三角形角平分线的定义 【题型05】 与角平分线有关的求值 【题型06】 与角平分线有关的证明 【题型07】 画三角形的高 【题型08】 与三角形高有关的计算问题 【题型09】 利用等面积法求值 【题型10】 三角形的中线、角平分线、高线的概念辨析 【题型11】 三角形的中线、角平分线、高线的综合计算 【题型12】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形的中线】 方法与技巧： 1.熟练掌握三角形中线的定义； 2.三角形中线模型：三角形一条中线分得的两个三角形面积相等（等底等高）；如上图1，是的中线，得出; 【题型01】 根据三角形的中线求长度 【例1】（2024-2025七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【变式1-1】．（2024-2025八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2024-2025八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【变式1-3】（2023-2024七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知的周长为，是边上的中线． （1）如图，当时，求的长． （2）若，能否求出的长？为什么？ 【题型02】 根据三角形的中线求面积 【例2】（2024-2025八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式2-2】（2024-2025七年级下·江西景德镇·期末）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【题型03】 重心的概念 【例3】（2023-2024八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ） A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【变式3-1】（2024-2025七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【变式3-3】（2023-2024九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心． （1）________； （2）若，求长． 【核心考点板块2 三角形的角平分线】 方法与技巧： 1.熟练掌握三角形角平分线的定义； 2.三角形的内心：如上图4，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫作三角形的内心； 3.角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。 【题型04】 三角形角平分线的定义 【例4】（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【变式4-1】（2024-2025八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（ ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【变式4-2】（2023-2024八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【变式4-3】（2022-2023八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【题型05】 与角平分线有关的求值 【例5】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2022-2023八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·重庆·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2022-2023八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． (1)试确定、、之间的数量关系； (2)若，求的周长． 【题型06】 与角平分线有关的证明 【例6】（2024-2025八年级上·贵州黔南·期中）在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点作． 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在（2）条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【核心考点板块3 三角形的高线】 方法与技巧： 1.熟练掌握三角形高的定义； 2.三角形的垂心：三角形三条高线交于一点，这个交点叫作三角形的垂心；如上图6， 3.等高的两个三角形的面积比等于底的比。 【题型07】 画三角形的高 【例7】（2024-2025八年级上·广西柳州·期末）画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，的边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式7-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有（   ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-3】（2024-2025七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． （1）画出的边上的高，垂足为D； （2）求的面积． 【题型08】 与三角形高有关的计算问题 【例8】（2024-2025八年级上·辽宁盘锦·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【变式8-2】（2024-2025八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°） 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【题型09】 利用等面积法求值 【例9】（2024-2025八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【变式9-1】（2024-2025七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【变式9-3】（2023-2024七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【核心考点板块4 三角形的中线、角平分线、高线的综合】 方法与技巧： 1.三角形有三条中线，有三条角平分线，有三条高线，它们都是线段． 2.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【题型10】 三角形的中线、角平分线、高线的概念辨析 【例10】（2024-2025七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【变式10-1】（2024-2025八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024-2025七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 【题型11】 三角形的中线、角平分线、高线的综合计算 【例11】（2024-2025八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【变式11-1】（2024-2025八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【变式11-2】（2023-2024八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【变式11-3】（2023-2024八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为26，，求的长； (2)若的面积为12，，求的面积． 【题型12】 直通中考真题 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 4．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（    ） A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线 C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 6．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形的中线、角平分线、高【4大考点12大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的中线、角平分线、高】 【解题知识必备】 1.三角形的中线 （1）在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线。 几何语言表述：如图1，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （2）一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点。 （3）三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。三角形的重心在三角形内部。如图2 图1 图2 2.三角形的角平分线 （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫作三角形的角平分线。 表示方法：如图3，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （2）一个三角形有三条角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点，此交点在三角形的内部。 图3 图4 3.三角形的高 （1） 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫作三角形的高线（简称高）. 表示方法：如图5，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； 图5 图6 （2）三角形的三条高的特点 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 根据三角形的中线求长度 【题型02】 根据三角形的中线求面积 【题型03】 重心的概念 【题型04】 三角形角平分线的定义 【题型05】 与角平分线有关的求值 【题型06】 与角平分线有关的证明 【题型07】 画三角形的高 【题型08】 与三角形高有关的计算问题 【题型09】 利用等面积法求值 【题型10】 三角形的中线、角平分线、高线的概念辨析 【题型11】 三角形的中线、角平分线、高线的综合计算 【题型12】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形的中线】 方法与技巧： 1.熟练掌握三角形中线的定义； 2.三角形中线模型：三角形一条中线分得的两个三角形面积相等（等底等高）；如上图1，是的中线，得出; 【题型01】 根据三角形的中线求长度 【例1】（2024-2025七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【解答】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 【变式1-1】．（2024-2025八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【解答】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【答案】12 【分析】根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案． 【解答】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ∴． ∵， ∴ 故答案为：12． 【点评】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识． 【变式1-3】（2023-2024七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知的周长为，是边上的中线． （1）如图，当时，求的长． （2）若，能否求出的长？为什么？ 【答案】（1）；（2）不能，理由见详解 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【解答】解：（1）解：，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）解：不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出的长． 【题型02】 根据三角形的中线求面积 【例2】（2024-2025八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键．连接，由与等高，，可得到．又因为与等底等高，故可得，从而，又与等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【解答】连接， ，的面积为3 ， ，的面积为， ， ， 与等底等高， ， 图中阴影部分的面积为9， 故选：C． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【解答】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（2024-2025七年级下·江西景德镇·期末）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【解答】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴ ∵E是的中点， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：8． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ． 证明：过点A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴． 【拓展探究】 （1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____； （2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值； 【问题解决】 （3）现在有一块四边形土地，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积． （要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．） 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积； （1）根据即可求解； （2）取中点E，连接，则，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，则，从而均分了四边形． 【解答】解：（1）∵点D是边上的中点， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）取中点E，连接，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，取中点E，连接， 则， ∴， 即， ∴四边形被平均分． 【题型03】 重心的概念 【例3】（2023-2024八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ） A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【答案】A 【分析】连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可． 【解答】解：连接， 是等边三角形，是的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长， 当、、在同一直线上时， 的周长最小， 为中线， 点为的重心， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心的定义，三角形的中线，三角形的面积；根据题意可得，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【解答】解：因为点O是的重心， 所以点、分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故选：C． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【解答】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 【变式3-3】（2023-2024九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心． （1）________； （2）若，求长． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【解答】解：（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心， ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 【核心考点板块2 三角形的角平分线】 方法与技巧： 1.熟练掌握三角形角平分线的定义； 2.三角形的内心：如上图4，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫作三角形的内心； 3.角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。 【题型04】 三角形角平分线的定义 【例4】（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（ ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【解答】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 【变式4-2】（2023-2024八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【解答】解：∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点评】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 【变式4-3】（2022-2023八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【答案】 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【解答】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点评】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 【题型05】 与角平分线有关的求值 【例5】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【解答】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【变式5-1】（2022-2023八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【解答】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·重庆·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【解答】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是和平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴, 故选：A． 【变式5-3】（2022-2023八年级上·北京海淀·期中）如图，中，和的平分线交于点F，过点F作，交于点E，交于点D． (1)试确定、、之间的数量关系； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为a 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得，，进而得到，，即可推出． （2）利用（1）中结论，通过等量代换可得． 【解答】（1）解：由题意知，平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）知， ∴， 即的周长为a． 【点评】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键． 【题型06】 与角平分线有关的证明 【例6】（2024-2025八年级上·贵州黔南·期中）在中，，于，是的平分线，交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形的角平分线，余角性质，由，可得，，进而由角平分线的定义和余角性质可得，再根据对顶角相等即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和得出，由角平分线的定义得出，从而得出，即可得证． 【解答】证明：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵． ∴． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案； （2）设，则，由三角形内角和得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证． 【解答】（1）解：，， ， 是角平分线， ， ； （2）证明：设，则， ， 是角平分线， ， 又， ， ， ， ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，，，，求的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点作． 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在（2）条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1），过程见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，平行公理及推论，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定进行证明即可； （2）过点作，根据平行的性质进行计算即可； （3）在（2）条件下，根据的平分线和的平分线交于点，即可求出答案． 【解答】解（1）如图①，过点作， ， ， ， ， ， ， 即； （2）过点作， ， ， ， ， ； （3） 的平分线和的平分线交于点， ， ， 过点作， ， ， ， ， ． 【核心考点板块3 三角形的高线】 方法与技巧： 1.熟练掌握三角形高的定义； 2.三角形的垂心：三角形三条高线交于一点，这个交点叫作三角形的垂心；如上图6， 3.等高的两个三角形的面积比等于底的比。 【题型07】 画三角形的高 【例7】（2024-2025八年级上·广西柳州·期末）画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【解答】解：根据三角形高的定义可知，边上的高是从点C向作垂线，顶点C与垂足形成的线段，即如下所示： 故选：D． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，的边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解； 【解答】解：由三角形的高的定义可知：线段是的边上的高， 故选：A ． 【变式7-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有（   ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它对边所作垂线段即是三角形的高，三角形共有三条高，它们交于一点．根据三角形高的概念求解即可．过的一个顶点且垂直于对边的线段是三角形的高． 【解答】解：根据三角形高的定义，上的高是，上的高是，上的高是．共3条， 故选：D． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． （1）画出的边上的高，垂足为D； （2）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【解答】解：（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 【题型08】 与三角形高有关的计算问题 【例8】（2024-2025八年级上·辽宁盘锦·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 【答案】90°或50° 【分析】分高AD在△ABC的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【解答】当高AD在△ABC的内部时，如图1， ∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°； 当高AD在△ABC的外部时，如图2， ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°﹣20°=50°， 综上，∠BAC的度数为90°或50°． 【点评】本题考查了三角形的高，分三角形的高在三角形的外部还是内部时解答的关键． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，高的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质即可得到答案．根据题意画出图形进行计算即可． 【解答】解：① ， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，乙同学正确， ② ， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，丙同学正确． 故选B． 【变式8-2】（2024-2025八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°） 【答案】或 【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键； 分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可． 【解答】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O， 则，， ∴， ∴； 当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O， 则，， ∴； 故答案为：或． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【解答】（1）解：如图，过点A作， 则 ． （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 【题型09】 利用等面积法求值 【例9】（2024-2025八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法，求出的值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式9-1】（2024-2025七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【解答】解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式9-2】（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【解答】解：作于点， 如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 【变式9-3】（2023-2024七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【解答】解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 【核心考点板块4 三角形的中线、角平分线、高线的综合】 方法与技巧： 1.三角形有三条中线，有三条角平分线，有三条高线，它们都是线段． 2.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【题型10】 三角形的中线、角平分线、高线的概念辨析 【例10】（2024-2025七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【解答】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式10-1】（2024-2025八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【解答】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 【变式10-2】（2024-2025七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且，，分别是的高线，中线和角平分线，且与相交于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项A；利用角平分线的定义判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【解答】解：A、∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论A正确，故该选项不符合题意； B、∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴结论B正确，故该选项不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴， 即， ∴结论C正确，故该选项不符合题意； D、∵，但不一定小于， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【解答】解： 是的中线， ， 故④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， 故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出， 故⑤错误； F不一定是的中点， 不能得出， 故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑦错误； ，， ， ， 故⑥正确； 综上可知，正确的有②③④⑥， 故答案为：②③④⑥． 【题型11】 三角形的中线、角平分线、高线的综合计算 【例11】（2024-2025八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【答案】 【分析】该题主要考查了三角形的面积，中线，高线，解题的关键是理解题意． 根据的面积是24，算出，再根据中线得出，根据，即可算出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵是边上的高线，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又 ， ∴， ∴． 【变式11-1】（2024-2025八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【解答】解：如图，连接，， ， D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式11-2】（2023-2024八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义， 由高线可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 【解答】解：∵是高， ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式11-3】（2023-2024八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为26，，求的长； (2)若的面积为12，，求的面积． 【答案】(1)6 (2)30 【分析】本题考查三角形中线的定义和角平分线的性质定理； （1）首先根据中线的性质得到，然后根据的周长为26，即可求出AB的长； （2）首先根据三角形的面积公式求出的长度，然后根据角平分线的性质定理即可求解． 【解答】（1）是的边上的中线，， ． 又的周长为， ． （2）如图，过点作于点． 是的角平分线，， ． 又的面积为12，， ， ， ． 【题型12】 直通中考真题 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【解答】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【解答】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 3.（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【解答】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 4．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（    ） A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线 C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线 【答案】B 【分析】根据高线的定义注意判断即可． 【解答】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴A错误，不符合题意； ∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴B正确，符合题意； ∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴C错误，不符合题意； ∵线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴D错误，不符合题意； 故选B． 【点评】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 【解答】解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【解答】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$