专题02三角形的边【单元重难点常考题型讲练系列】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题02 三角形的边【3大考点8大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的边】 【解题知识必备】 1.三角形三边之间的关系： （1）三角形两边的和大于第三边。在△ABC 中，， ， 。 （2）三角形两边的差小于第三边。在△ABC 中，，， 理论依据：两点之间，线段最短. 2.判断三条线段能否组成三角形： （1）如果三条线段中任意两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形； （2）如果三条线段中有两条线段之和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形。 3.三角形的稳定性： （1）三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫作三角形的稳定性. （2）三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 如房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 构成三角形的条件 【题型02】 确定第三边的取值范围 【题型03】 运用三角形三边的关系化简 【题型04】 运用三角形三边的关系求值 【题型05】 运用三角形三边的关系证明线段的不等关系 【题型06】 三角形的稳定性 【题型07】 三角形三边关系的应用 【题型08】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形的三边关系】 方法与技巧： 1.三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意两条边； 2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段就可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【题型01】 构成三角形的条件 【例1】（2024-2025八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2024-2025八年级上·山东滨州·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 【变式1-2】（2024-2025八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【题型02】 确定第三边的取值范围 【例2】（2024-2025七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（2024-2025八年级上·湖北黄冈·阶段练习）等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． （1）若6是最短边长．求的取值范围； （2）若为整数，求三角形周长的最大值． 【题型03】 运用三角形三边的关系化简 【例3】（2024-2025八年级上·云南曲靖·期中）已知一个三角形的三边长分别为2，4，m． 化简：． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·山东济宁·阶段练习）设a，b，c是的三边， (1)化简 (2)若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 【题型04】 运用三角形三边的关系求值 【例4】（2024-2025七年级下·河北保定·期中）等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（2024-2025八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm． (1)请用含x的式子表示第三条边的长度． (2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长． 【题型05】 运用三角形三边的关系证明线段的不等关系 【例5】（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点． 求证： (1)BD＋CD＜AB＋AC； (2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 【核心考点板块2 三角形的稳定性】 方法与技巧： 1.三角形具有稳定性： 2.四边形不具有稳定性。 【题型06】 三角形的稳定性 【例6】（2023-2024八年级上·全国·期中）不是利用三角形稳定性的是（ ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．起重机的三角形钢架 D．学校的伸缩门 【变式6-1】（2024-2025八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【核心考点板块3 三角形三边关系的应用】 方法与技巧： 熟练运用三角形三边的关系解决实际问题。 【题型07】 三角形三边关系的应用 【例7】（2024-2025七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式7-1】（2024-2025八年级上·山东临沂·期末）如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断．（多选，填写序号） 【变式7-3】（2024-2025八年级上·全国·期中）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 【题型08】 直通中考真题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（   ） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 4．（2023·湖南·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 5．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（   ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 7．（2022·浙江衢州·中考真题）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 9．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 10．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 11．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 12．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形的边【3大考点8大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的边】 【解题知识必备】 1.三角形三边之间的关系： （1）三角形两边的和大于第三边。在△ABC 中，， ， 。 （2）三角形两边的差小于第三边。在△ABC 中，，， 理论依据：两点之间，线段最短. 2.判断三条线段能否组成三角形： （1）如果三条线段中任意两条线段之和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形； （2）如果三条线段中有两条线段之和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形。 3.三角形的稳定性： （1）三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫作三角形的稳定性. （2）三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 如房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 构成三角形的条件 【题型02】 确定第三边的取值范围 【题型03】 运用三角形三边的关系化简 【题型04】 运用三角形三边的关系求值 【题型05】 运用三角形三边的关系证明线段的不等关系 【题型06】 三角形的稳定性 【题型07】 三角形三边关系的应用 【题型08】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形的三边关系】 方法与技巧： 1.三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意两条边； 2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段就可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【题型01】 构成三角形的条件 【例1】（2024-2025八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可． 【解答】解：四条木棒的所有组合：5，7，9和5，9，13和5，7，13和7，9，13； 只有5，7，9和5，9，13和7，9，13能组成三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·山东滨州·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【解答】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为5，6，10的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 【解答】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 故选：C． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【解答】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 【题型02】 确定第三边的取值范围 【例2】（2024-2025七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【解答】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．   【解答】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·湖北黄冈·阶段练习）等腰三角形周长是，腰长为，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的三边关系，求不等式组的解集，由题意可得等腰三角形的底边长为，然后根据三角形的三边关系可得关于的不等式组，解不等式组即可求出答案． 【解答】解：等腰三角形的周长为，腰长为，则底边长为， 根据三边关系可得，，解得，； ，解得，， 的取值范围是． 故答案为：． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． （1）若6是最短边长．求的取值范围； （2）若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； （2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【解答】解：（1）解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 【题型03】 运用三角形三边的关系化简 【例3】（2024-2025八年级上·云南曲靖·期中）已知一个三角形的三边长分别为2，4，m． 化简：． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简．先由三角形的三边关系得到，进而可对绝对值进行化简． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，4，m， ∴， 即， ∴，，， ∴ ． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再去绝对值计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出是解决此题的关键． 【解答】解：一个三角形的三边长分别为2，x，7， ， ， 故选：． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【解答】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·山东济宁·阶段练习）设a，b，c是的三边， (1)化简 (2)若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系得出，，再利用绝对值的性质化简即可； （2）根据非负数的性质得出，，再解绝对值方程，求出a值，根据三角形三边关系取舍，最后即可判断的形状． 【解答】（1）解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴且， ∴，， ∵a为方程的解， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 当时，，能构成三角形； ∴， ∴是等腰三角形． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，等腰三角形的定义，非负数的性质，解题的关键是利用三角形三边关系得出式子的符号． 【题型04】 运用三角形三边的关系求值 【例4】（2024-2025七年级下·河北保定·期中）等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得，，进而根据三角形的三边关系得是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍． 【解答】解：①若的边为底边，则腰长为：， ， ∴此时能构成三角形， ∴另两边的长度分别是，； ②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：， ，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰． 综上，另两边的长度分别是，． 故答案为：，． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【解答】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm． (1)请用含x的式子表示第三条边的长度． (2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长． 【答案】(1)cm (2)7cm，17cm，17cm 【分析】（1）依据三角形的第一条边为，第二条边是第一条边的3倍少，即可用含的式子表示第三条边的长度． （2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长． 【解答】（1）解：∵三角形的第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm， ∴第二条边长为cm． ∴第三条边长为cm． （2）解：若x＝3x-4，则x＝2，此时三边长分别为2cm，2cm和37cm， 根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形； 若x＝45-4x，则x＝9，此时三边长分别为9cm，9cm和23cm， 根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形； 若3x-4＝45-4x，则x＝7，此时三边长分别为7cm，17cm，17cm， 根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形． ∴这个等腰三角形的三边长分别为7cm，17cm，17cm． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断． 【题型05】 运用三角形三边的关系证明线段的不等关系 【例5】（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． （2）由（1）得，，在和中，利用三角形三边关系可得，利用等量关系即可求证结论． 【解答】（1）证明：∵在和中，，， ∴，即． （2）由（1）得，， 同理可得，， ∴， 即． 【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【解答】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【解答】解：证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点． 求证： (1)BD＋CD＜AB＋AC； (2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a<b，b<c，则a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC ； （2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即可． 【解答】（1）证明：延长BD交AC于E， 在△ABE中，有AB+AE＞BE， ∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE， 在△EDC中，有DE+CE＞CD， ∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD， ∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD， ∴BD＋CD＜AB＋AC； （2）解：由（1）同理可得： BD＋CD＜AB＋AC①， AD＋CD＜AB＋BC②， BD＋AD＜BC＋AC③， ①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC）， ∴AD+BD+CD<AB+BC+AC． 【点评】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键． 【核心考点板块2 三角形的稳定性】 方法与技巧： 1.三角形具有稳定性： 2.四边形不具有稳定性。 【题型06】 三角形的稳定性 【例6】（2023-2024八年级上·全国·期中）不是利用三角形稳定性的是（ ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．起重机的三角形钢架 D．学校的伸缩门 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握稳定性的应用是解题的关键．根据稳定性的应用判断即可得到答案． 【解答】解：自行车的三角形车架，利用了三角形稳定性，故选项A不符合题意； 三角形房架，利用了三角形稳定性，故选项B不符合题意； 起重机的三角形钢架，利用了三角形稳定性，故选项C不符合题意； 学校的伸缩门，不是利用三角形稳定性，故选项D符合题意； 故选D． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C． 故选：C． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【解答】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【解答】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 【核心考点板块3 三角形三边关系的应用】 方法与技巧： 熟练运用三角形三边的关系解决实际问题。 【题型07】 三角形三边关系的应用 【例7】（2024-2025七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【解答】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是米， 故选：． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·山东临沂·期末）如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．确定第三边的取值范围是解题的关键．由题意知，，即，然后判断作答即可． 【解答】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 处剪断．（多选，填写序号） 【答案】②或③ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【解答】解：当4为腰时，则底为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·全国·期中）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长和三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为， ∵， ∴a是这个三角形最长的边， 由三角形三边的关系，得，而， ∴， 解得，， ∵a、b、c为整数， ∴a最大可取6． 故答案为：6． 【题型08】 直通中考真题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【解答】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【解答】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（   ） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得． 【解答】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意； D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边． 4．（2023·湖南·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可． 【解答】解：， ∴1，3，4不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ， ∴2，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ， ∴4，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ， ∴3，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 5．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【解答】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是， 只有选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键． 6．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（   ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【解答】解：三角形具有稳定性，长方形、正方形、平行四边形不具有稳定性， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 7．（2022·浙江衢州·中考真题）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围． 【解答】解：∵， ∴， 即：， ∴c的长度可能为3． 故选：A 【点评】本题考查三角形的三边和关系，属于基础题，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围是解题的关键． 8．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【解答】解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【解答】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 10．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【解答】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 11．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【解答】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 12．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可） 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【解答】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 学科网（北京）股份有限公司 $$