精品解析：重庆市南川区第一中学校2024-2025学年八年级下学期第一次定时作业数学试题（八中班）

2024-2025学年度数学第一次月考试卷 学校：______姓名：______班级：______考号：______ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握满足最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】A、是最简二次根式，故选项A符合题意； B、，故不是最简二次根式，故选项B不符合题意； C、，故不是最简二次根式，故选项C不符合题意； D、被开方数含分母，故不是最简二次根式，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 函数中，自变量x的取值范围是【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 【详解】根据题意得，x+3⩾0， 解得x⩾−3. 故选B. 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则和平方差公式是解此题的关键．根据二次根式的运算法则分别进行计算判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误，不合题意； B、，故选项B错误，不合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不合题意； 故选：C． 4. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 5. 已知在RtΔABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知AB为直角边，由勾股定理可以求的. 【详解】AB=，所以答案选择C项. 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，熟悉掌握概念是解决本题的关键. 6. 的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故A符合题意； B、∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 7. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】原式先计算出，确定出，即可估算出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键． 8. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多； 清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间； 排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0． 纵观各选项，只有D选项图象符合． 故选D． 9. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则BN的长是（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，找出翻折变换中对应相等的线段和角是解题的关键，注意勾股定理和方程思想的准确运用． 根据翻折变换的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵在正方形中，， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴． 故选：D 10. 算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，. 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 【详解】解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ ∵， ∴ 解得，或（舍去） 故③正确， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的乘方，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 先进行无理数的乘方和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 如图，中，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，理解并掌握勾股定理是解题关键．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【详解】∵， ∴c2－a2－b2=0，且a－b=0． 由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2， ∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形． 又由a－b=0得a=b， ∴△ABC为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 14. 已知一次函数的图象经过，，若，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质是解此题的关键．根据一次函数的解析式得出随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 15. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数． 【详解】解：如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3， 根据勾股定理得：AB==， ∴AP=AB=， ∴OP=AP-OA=-1， 则P表示的实数为1-． 故答案为：1-． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 16. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 17. 若关于的一次函数的图象经过第二象限，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一次函数图象经过第二象限可以判断出，从而得出的取值范围，其次根据分式方程有解，用表示，并根据不是增根判断出，最后根据为整数，为非负整数，求出可取的值，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数经过第二象限， ∴，即． ∵分式方程有解， ∴且， ∵取整数，为非负整数， ∴当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意． ∴满足条件的整数之和是：． 故答案为：． 【点睛】本题既考查了一次函数常数项与图象的关系，又考查了解分式方程．是本题容易忽略的地方，做题时一定要考虑全面． 18. 已知一个三位数M，如果满足百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍，则称M为“四喜数”，最小的“四喜数”为______，若“四喜数”M的前两位数字组成的两位数与M的个位上的数字的和记为；交换M的百位数字和十位数字，将这两位数字组成的新两位数与M的个位数字的和记为．当能被4整除时，符合条件的M的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算、列代数式、有理数的整除特性等知识点，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键． 设这个三位数，根据“四喜数”的定义即可确定最小的“四喜数”； 设“四喜数”的百位为a，十位为b，个位为c，即；进而得到、，代入可得，然后取得a、b、c的值即可解答. 【详解】解：设这个三位数， ∵三位数M的百数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍， ∴， ∴当时，，M有最小值， 设“四喜数”的百位为a，十位为b，个位为c ∴， ∴，， ∴， ∴当时，， ∴当 能被4整除时，符合条件的M的最大值为． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的混合运算，根据相关运算法则先化简再代入求值即可． 【详解】解： = = ， 当时，原式． 21. 在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 【答案】 ①；②两直线平行内错角相等；③；④对角线的距离 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，先以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点，再分别以M、N为圆心大于为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点F，根据平行四边形的性质和平行线的性质，证明即可得出答案． 【详解】略 22. 如图，四边形中，，，，， （1）求四边形的面积； （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由勾股定理得到，因此，得到是直角三角形，求出，的面积即可求出四边形的面积； （2）由是等腰直角三角形，得到，而，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：连接， ，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 的面积，的面积， 四边形的面积的面积的面积． 【小问2详解】 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，关键是应用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 23. 阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． （1）模仿材料中的计算方法，化简：______． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子______． （3）利用根式裂项求解：． 【答案】（1） （2） （3）2022 【解析】 【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可； （2）根据题中材料进行总结，即可得出答案； （3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：． 【小问2详解】 解：； 故答案为：． 【小问3详解】 解：原式 ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 24. 如图1，已知矩形中，，点分别是边中点，动点从点出发，沿路线运动到点停止，设点运动路程为，面积为． （1） 求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）在图2中画出该函数的图像，根据函数图像可知，该函数的性质是____________（写一条即可）； （3）结合函数图像，直接写出面积大于3时的取值范围． 【答案】（1） （2） 结合（1）中函数解析式，可画出函数图像如下所示： 根据函数图像可知，当时，随的增大而增大． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、矩形的性质，理解题意，正确确定关于的函数关系式是解题关键． （1）分点在线段上、点在线段上以及点在线段上三种情况，结合三角形面积公式，分别确定关于的函数关系式及自变量取值范围即可； （2）结合函数解析式画出函数图像即可；结合函数图像写出函数的性质即可； （3）合函数图像确定当时的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵点分别是边中点， ∴， 当点在线段上时，则有， 此时，则， ∴，即； 当点在线段上时，则有， 此时，即； 当点在线段上时，则有， 此时，则， ∴，即， 综上所述，关于的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数图像可知，当时，或， ∴面积大于3时的取值范围为． 25. 如图，一艘渔船自西向东航行，航行到处看到小岛位于船的北偏东方向海里处，经过一段时间后，渔船到达点，此时看到小岛位于船的北偏西方向上． （1）求该渔船从航行到的航程（保留根号）； （2）若小岛周围海里内有暗礁，该渔船在航行过程中是否有触礁危险？如有触礁危险，请求出该航线上有危险的航段长；如没有危险，请说明理由． 【答案】（1）海里 （2）有触礁危险，海里 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，先在中，利用含度角的直角三角形的性质求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得该渔船在航行过程中有触礁危险，然后过点作海里，交于点和点，则该渔船在航段内有危险，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 在中，，海里， （海里），（海里）， 在中，， （海里）， 海里， 该渔船从航行到的航程为海里； 【小问2详解】 小岛周围海里内有暗礁，海里， 该渔船在航行过程中有触礁危险， 过点作海里，交于点和点，则该渔船在航段内有危险，如图： 在中，（海里）， ，， （海里）， 该航线上有危险的航段长为海里． 【点睛】本题考查了方向角问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 26. 如图．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴和轴于点和点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是直线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，根据三角形的面积求点的坐标，位似图形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作于点，交于点，设点，则，，表示出相关线段的长度，然后利用面积公式列出关于绝对值的方程，最后进行求解即可； （3）根据同高的三角形，面积比就等于底的比，得出，继而得出，设坐标，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由可得，， ∵点为线段的中点， ∴， 当函数值为0时，即， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交于点， 设点，则，， 此时，， ∴， 整理得， 解得或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示， ∵与的高相等，且， ∴, 假设，则有， ， 即， 解得或， ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度数学第一次月考试卷 学校：______姓名：______班级：______考号：______ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中，自变量x的取值范围是【 】 A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在RtΔABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 7. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则BN的长是（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 5 10. 算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，. 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．） 11. 计算：______． 12. 如图，中，，则____________． 13. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ． 14. 已知一次函数的图象经过，，若，则______（填“”“”或“”）． 15. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 16. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 17. 若关于的一次函数的图象经过第二象限，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 18. 已知一个三位数M，如果满足百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍，则称M为“四喜数”，最小的“四喜数”为______，若“四喜数”M的前两位数字组成的两位数与M的个位上的数字的和记为；交换M的百位数字和十位数字，将这两位数字组成的新两位数与M的个位数字的和记为．当能被4整除时，符合条件的M的最大值为______. 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中 21. 在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线于点E，过点B作的垂线，垂足为F，试证明线段与相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答： 用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴____________①，． ．（____________②） ， ∴____________③． ． ． 于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等． 22. 如图，四边形中，，，，， （1）求四边形的面积； （2）求的大小． 23. 阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． （1）模仿材料中的计算方法，化简：______． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子______． （3）利用根式裂项求解：． 24. 如图1，已知矩形中，，点分别是边中点，动点从点出发，沿路线运动到点停止，设点运动路程为，面积为． （1） 求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）在图2中画出该函数的图像，根据函数图像可知，该函数的性质是____________（写一条即可）； （3）结合函数图像，直接写出面积大于3时的取值范围． 25. 如图，一艘渔船自西向东航行，航行到处看到小岛位于船的北偏东方向海里处，经过一段时间后，渔船到达点，此时看到小岛位于船的北偏西方向上． （1）求该渔船从航行到的航程（保留根号）； （2）若小岛周围海里内有暗礁，该渔船在航行过程中是否有触礁危险？如有触礁危险，请求出该航线上有危险的航段长；如没有危险，请说明理由． 26. 如图．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴和轴于点和点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是直线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $