第4章 三角函数与解三角形-(Word练习)【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习讲义全面覆盖三角函数与解三角形核心考点，按任意角概念、三角恒等变换、图象性质到解三角形应用的逻辑层次构建知识体系，通过教材回顾梳理基础，微点延伸突破易错点，类型题讲解提炼方法，真题演练对接高考，形成系统复习链。 讲义采用分层教学策略，设置小题快练夯实基础，微专题强化如“与ω有关的问题”突破难点，通过“角的变换”“五点法作图”等活动培养学生数学思维与直观想象，真题链接与考向分析帮助教师精准把握复习节奏，有效提升学生解题能力与应考技巧。

第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 【课程标准】　1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 教|材|回|顾 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：按旋转方向，角可以分成三类：________、负角和________． (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__________________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [微点清]　终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 1°＝rad； 1 rad＝________ 弧长公式 l＝________ 扇形面积公式 S＝lr＝________ [微点清]　角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 微|点|延|伸 1．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(r＝>0) 2．象限角与轴线角 3．一个结论 若α∈，则tan α>α>sin α. 小|题|快|练 1．(人A必一P184T2改编)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则tan α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 2．(人B必三P12练习AT4改编)教室里的钟表慢了30分钟，在同学们将它校正的过程中，时针所需要旋转的弧度数为(　　) A．－ B． C．－ D． 3．(多选题)(苏教必一P176习题7.1T2,3,5改编)下列说法正确的是(　　) A．与1 920°终边相同的角中，最小正角是120° B．三角形的内角必是第一或第二象限角 C．22°30′化成弧度是 D．终边落在直线y＝x上的角α的集合为{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z} 4．(人A必一P175T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是(　　) A．15° B．20° C．30° D．40° 5．(苏教必一P181T6改编)已知α∈(0,2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是(　　) A． B． C． D． 类型一 角的表示自练自悟 1.(多选题)下列四个命题中正确的是(　　) A．－是第二象限角 B．是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 3．若α是第一象限角，则－是(　　) A．第一象限角 B．第一或第四象限角 C．第二象限角 D．第二或第四象限角 4．如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为________． 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 类型二 弧制度及应用 【例1】　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 应用弧度制解决问题时的注意点 1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． 3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【训练】　(多选题)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 类型三 三角函数的定义及应用 考向❶：三角函数的定义 【例2】　(2025·哈尔滨模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α＝(　　) A．－ B．± C．－ D．± 定义法求三角函数值的2种情况 1．已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． 2．已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，再根据定义中的两个量，列方程求参数值． 考向❷：三角函数值的符号 【例3】　(1)若cos α·tan α<0，则角α的终边在(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 (2)设θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　) A．sin>0 B．cos>0 C．tan>0 D．sincos<0 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意角的终边在坐标轴上的情况． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ 1.已知角α(0°<α<360°)的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α＝(　　) A．130° B．140° C．220° D．230° 2．(2025·河南联考)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　) A．sin α＝－ B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝± D．tan α＝±1 3．(多选题)若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴且sin α·sin>0，则α的终边可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第二节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 【课程标准】　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x； 2．能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 教|材|回|顾 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：________________________. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α ______ ______ ______ ______ ______ 余弦 cos α ______ ______ ______ ______ ______ 正切 tan α ______ ______ ______ 口诀 奇变偶不变，符号看象限 微|点|延|伸 1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 小|题|快|练 1．(多选题)(人A必一P194练习T2改编)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos x C．cos＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x 2．(人A必一P185T6改编)若sin α＝，<α<π，则tan α＝(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 3．已知sin＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．已知cos α＝，－<α<0，则的值为________． 5．已知sin α·cos α＝，且<α<，则cos α－sin α＝________. 类型一 同角三角函数的基本关系 考向❶：公式的直接运用 【例1】　(1)已知cos α＝，且α是第四象限角，求sin α和tan α. (2)已知sin α＝，求tan α. 利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 考向❷：弦切互化 【例2】　(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ 形如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦化切． 考向❸：“sin α±cos α”与“sin αcos α”的转换 【例3】　(多选题)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．sin θ＝ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ 正弦、余弦“sin α±cos α，sin αcos α”的应用 sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝. 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 2．已知tan α＝2，则＝(　　) A． B． C．2 D．4 3．若sin α＋cos α＝，则tan α＋＝________. 类型二 诱导公式的应用 【例4】　(1)已知sin α＝，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知sin＝，则cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ (3)若f(x)＝sin＋1，且f(2 024)＝2，则f(2 025)＝________. 1．诱导公式的两个应用方向与原则：(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【训练】　(1)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． 第三节　三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【课程标准】　1.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 教|材|回|顾 1．两角和与差的三角公式 (1)基本公式 ①sin(α±β)＝____________. ②cos(α±β)＝____________. ③tan(α±β)＝____________. (2)公式变形 ①asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，(辅助角公式) 其中cos φ＝________，sin φ＝________. 或asin x＋bcos x＝cos(x－θ)， 其中cos θ＝________，sin θ＝________. ②sin α±cos α＝sin. ③tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． ④＝tan. ⑤＝tan. 2．二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝________. ②cos 2α＝______＝______－1＝1－______. ③tan 2α＝________. (2)公式变形 ①降幂公式：cos2α＝______；sin2α＝______；tan2α＝. 升幂公式：cos 2α＝________＝________. ②半角公式：sin＝±；cos＝±；tan＝±＝＝. 小|题|快|练 1．sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝(　　) A． B． C．－ D．－ 2．已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　) A． B．7 C．－ D．－7 3．sin－cos的值为(　　) A．0 B．－ C．2 D． 4．cos 15°＋sin 15°＝________. 5．tan 21°＋tan 39°＋tan 21°·tan 39°＝________. 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 类型一 公式的基本应用 【例1】　已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B． C． D．－ 利用三角函数公式时应注意的问题 1．首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”． 2．应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用． 3．应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 【训练1】　(1)已知tan＝9，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β＝(　　) A． B． C． D． 类型二 公式的逆用 【例2】　(1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A． B． C． D． (2)－＝________. 三角函数公式的活用技巧 1．逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，角之间的关系，创造条件逆用公式． 2．注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式． 3．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 【训练2】　(1)求值： cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　) A． B． C．1 D． (2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________. 类型三 角的变换 【例3】　(1)已知cos＝－，α∈，则sin＝________. (2)(2025·临沂模拟)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝________. 1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． 2．当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 3．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等． 【训练3】　已知0<β<α<，且cos(α－β)＝，cos 2β＝，则cos(α＋β)＝(　　) A． B． C． D． 第2课时　简单的三角恒等变换 类型一 三角函数式求值 考向❶：给值求值 【例1】　(1)若cos＝，α∈(0，π)，则sin α的值为(　　) A． B． C． D． (2)若tan(α＋2β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(α＋5β)＝(　　) A． B． C． D． 给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来． 考向❷：给值求角 【例2】　(1)已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A． B． C． D． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________． 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； (2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❶ 1.已知cos＝，则sin＝(　　) A．－ B． C．－ D． 2．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，则α＋β的值为(　　) A． B． C．和 D． 3．已知sin(2α＋β)＝2sin β，且tan ＝1－tan2，则tan(α＋β)＝________. 类型二 三角恒等变换的综合应用 【例3】　设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)． (1)求函数y＝2的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质．解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意使用整体思想解决相关问题． 【训练】　(2025·哈尔滨模拟)已知<θ<，若a＝，b＝－cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 1．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 2．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． 4．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 5. (2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A． B． C． D． 3　三角函数的求值问题 一、教材题组·加固练■ 人教A版必修第一册 1 2 3 4 5 【选题说明】看似简单平常的习题，实质上却隐含着丰富的内容，很多三角函数求值的高考试题就是以这组题为源头，通过挖掘其所蕴含的知识链、方法链，逐步变换演绎而成. 【题1】　(一题多解)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π), 求tan β的值． 【题2】　已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan αtan β的值． 【题3】　已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，求cos(α－β)的值． 【题4】　(一题多解)已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，求sin的值． 【题5】　(一题多解)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan(2A＋2B)的值． 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　已知sin(α＋β)＝3m，tan β＝2tan α，则sin(α－β)＝(　　) A．－m B．m C．0 D．2m 【变式2】　已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，若tan α＝mtan β，则m的值为(　　) A．3　　　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 【变式3】　若sin α＋sin β＝，cos α－cos β＝，则(　　) A．cos(α＋β)＝－ B．cos(α＋β)＝ C．cos(α－β)＝－ D．cos(α－β)＝ 【变式4】　在△ABC中，sin(A＋B)＝，sin A cos B＝，则cos(2A－2B)＝________. 三、链接高考·体验练■ 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos α·sin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ 3．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________. 第四节　三角函数的图象与性质 【课程标准】　1.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性；2.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性与对称性. 教|材|回|顾 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，________，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，________，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R __________ 值域 ________ ________ ______ 周期性 T＝____ T＝____ T＝____ 奇偶性 ________ ________ ________ 递增 区间 ____________ ____________ __________ 递减 区间 ____________ ____________ 无 对称 中心 ________ __________ 对称轴 方程 ____________ ________ 无 3.关于周期性 y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝. y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝. 微|点|延|伸 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z)． 小|题|快|练 1．(苏教必一P204T2改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A．x≠kπ＋，k∈Z} B．x≠＋，k∈Z} C．x≠kπ＋，k∈Z} D．x≠＋，k∈Z} 2．(苏教必一P224T7)下列各组函数中，在区间上都单调递增的函数为(　　) A．y＝sin x，y＝cos x B．y＝sin x，y＝tan x C．y＝cos x，y＝tan x D．y＝－sin x，y＝－cos x 3．(人A必一P199例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0,2π])的简图是(　　) 4．函数y＝3sin的最小正周期是π，则a＝________. 5．(人A必一P214T10改编)函数y＝cos，x∈的值域是________． 第1课时　三角函数的定义域、值域与单调性 类型一 三角函数的定义域自练自悟 1.函数y＝tan的定义域是(　　) A．{x B．{x C．{x D．{x 2．函数y＝的定义域为(　　) A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．R 3．函数y＝lg(2sin x＋1)的定义域为(　　) A．{x B．{x C．{x D．{x 4．函数y＝的定义域为________________________________. 三角函数的定义域的求法 1．求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式(或等式)； 2．求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴； 3．对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集． 注意　解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略. 类型二 三角函数的单调性及应用 考向❶：划分单调区间 【例1】　函数y＝sin的单调递减区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 求三角函数单调区间的方法 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 考向❷：比较大小 【例2】　(多选题)(2025·石家庄调研)下列不等式成立的是(　　) A．sin<sin B．cos 400°>cos(－50°) C．sin<sin D．sin 3<sin 2 三角函数值比较大小要把三角函数化为同名函数，而且自变量值化为同一单调区间内的值，有时也可以采用插值法，比如插入0，等特殊值． 考向❸：求参数的取值范围 【例3】　已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 根据三角函数的单调性求参数的方法 1．子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． 2．反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． 3．周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❸ 1.设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 2．(2025·济南模拟)若a＝sin 1，b＝lg(tan 1)，c＝，则(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a<c<b 3．若函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________. 类型三 三角函数的值域(最值) 【例4】　(1)(2024·天津高考)已知函数f(x)＝sin 3的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) A．－　　B．－　　C．0　　D． (2)函数y＝－2tan2x＋3tan x－1，x∈的值域为________． 求三角函数的值域(最值)的方法 1．形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)． 2．形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可设t＝sin x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)． 【训练】　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________． (2)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为________． 第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 类型一 三角函数的周期性 【例1】　求下列函数的最小正周期． (1)y＝2sin； (2)y＝3； (3)y＝|tan x|； (4)y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1. 求三角函数最小正周期的基本方法 1．通常将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再用周期公式求出； 2．利用图象的根本特征，作出图象，观察得出． 【训练1】　(1)下列函数中，是周期函数的为(　　) A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0 (2)若f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________. 类型二 三角函数的奇偶性 【例2】　(1)函数f(x)＝2sin2－1是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 (2)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________． 三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质：y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)． 【训练2】　(1)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为________． (2)(2024·湖北四调)设函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)对任意的x(x∈R)均满足f(－x)＝f(x)，则tan φ＝________. 类型三 三角函数的对称性 【例3】　已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是(　　) A．图象关于点对称 B．图象关于点对称 C．图象关于直线x＝对称 D．图象关于直线x＝对称 三角函数对称性应用技巧 1．求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式． 2．判断某一直线、某一点是否为函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断． 【训练3】　(1)函数y＝tan的图象的对称中心是________． (2)(2025·合肥质量检测)已知函数f(x)＝2sin(3x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴为直线x＝，当x∈[0，t]时，f(x)的最小值为－，则t的最大值为________． 1．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　) A． B． C． D． 2．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 3．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 5．(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 6．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 微专题强化六 三角函数中与ω有关的问题 专|题|梳|理 根据三角函数的相关性质求解参数的值或取值范围是三角函数中比较典型的一类问题，能有效考查学生对三角函数基本性质的掌握程度，难度可控，备受高考命题者的青睐，因此频频出现在高考试题中．这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围，或者最大、最小值有关问题上起着特殊作用．如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制，则更应该充分注意． 典|型|例|题 类型一 与单调性有关的问题 【例1】　(2025·贵阳一模)将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标都变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D．(0,1] 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型二 与值域(最值)有关的问题 【例2】　(2025·郑州质量检测)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上的值域为[－1,2]，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 类型三 与对称性有关的问题 【例3】　(1)已知函数f(x)＝2cos＋1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 三角函数图象两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 类型四 与零点有关的问题 【例4】　若函数g(x)＝cos在区间[0，π)内有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”取值． 第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用 【课程标准】　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 教|材|回|顾 1．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x ____ ____ ____ ____ ____ ωx＋φ ____ ____ ____ ____ ____ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 方法一　　　　　　　方法二 　[微点清]　两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度． 3．简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝ ＝ ______ φ 微|点|延|伸 1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. 2．变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 3．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝. 小|题|快|练 1．(人A必一P254T10改编)函数y＝5sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．5，， B．5，， C．5，，－ D．5，，－ 2．(人A必一P239T2(2)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3．若将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______________． 4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________. 5．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________． 类型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的作图及图象变换 【例1】　(1)已知函数f(x)＝2sin. ①作出f(x)在[0，π]上的图象； ②函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ (2)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用的两种方法 1．五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 2．图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 【训练1】　(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　) A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 C．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 (2)用“五点法”作出y＝2sin在内的图象． 类型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例2】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 请你用三种不同的方法进行解答． 根据三角函数的图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑： 1．根据最大值或最小值求出A的值． 2．根据最小正周期求出ω的值． 3．求φ的常用方法：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法，确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．③平移法，由y＝Asin ωx平移得到y＝Asin(ωx＋φ)． 【训练2】　(1)(2025·云南曲靖质监)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的部分图象，如图所示，则g＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f(x)的图象关于点中心对称，则f(φ)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 类型三 三角函数图象与性质的综合应用 【例3】　(多选题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)在区间上单调递增 B．f(x)图象的一条对称轴方程为x＝ C．f(x)图象的一个对称中心为点 D．f(x)在区间上的值域为[1，] (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合进行解题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． 【训练3】　(多选题)将函数f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若是g(x)的一个单调递增区间，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在上单调递增 C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为 D．方程f(x)＝－在上有5个实数根 类型四 三角函数的实际应用 【例4】　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin(ωt＋φ)＋K.则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为(　　) A． s B． s C．10 s D． s 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 【训练4】　如图，某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋5近似刻画，据此可估计当天12 h的水深为(　　) A． m B．4 m C． m D． m 第六节　正弦定理和余弦定理 【课程标准】　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 教|材|回|顾 1．余弦定理 (1)定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2accos B，c2＝________________. (2)运用方法 适用情形：三边a，b，c，任一内角A(知三求一)． 列方程：a2＝b2＋c2－2bccos A或cos A＝________. (3)变形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A等． 2．正弦定理 (1)定理：在△ABC中，＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆半径． (2)运用方法 适用情形：两角A，B及其对边a，b(知三求一)． 列方程：＝. (3)变形：a＝________，sin A＝________，a∶b∶c＝______________等． 3．三角形面积公式 (1)正弦定理推论 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝________. (2)其他常用公式方法 S＝底×高；S＝×C×r(C为周长，r为内切圆半径)等． 微|点|延|伸 1．三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．三角形中，大边对大角，大角的正弦值也较大，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B． 3．在△ABC中，A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos ，cos＝sin . 4．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角；③若b2＋c2<a2，则角A为钝角． 5．在锐角三角形ABC中，必有sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A． 小|题|快|练 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． 2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　) A．2 B．1 C． D． 3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________． 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，b＝，B＝60°，则C＝________. 第1课时　正弦定理、余弦定理 类型一 正弦定理、余弦定理解三角形 【例1】　(1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．60°或120° (2)(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 【训练1】　(1)(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有(　　) A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．若sin 2A＝sin 2B，则a＝b C．若sin A>sin B，则A>B D．＝ (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________. 类型二 判断三角形的形状 【例2】　在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为________． 判断三角形形状的两种思路 1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． 2．化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 【训练2】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 类型三 三角形面积问题 【例3】　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 【规范解答】　(1)由余弦定理，得cos C＝＝，又0<C<π，所以C＝. 思维点1：由余弦定理得C＝，从而可求B． 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝. (2)由(1)，得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝，所以a＝c. 思维点2：由正弦定理得到a与c的关系． 所以△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋，得c＝2. 思维点3：由面积公式可列关于c的方程，从而求c. 本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4第22题．主要考查正、余弦定理在解三角形问题中的应用．第(1)问直接采用余弦定理求出C．第(2)问利用正弦定理求出a，c之间的关系．考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养． 【训练3】　(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 第2课时　正弦定理与余弦定理的应用 类型一 多边形中的解三角形问题 【例1】　(2025·九江一模)在△ABC中，AC＝，D为∠ABC的平分线上一点，且与点B分别位于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD＝2. (1)求△DAC的面积； (2)若∠ABC＝120°，求BD的长． 多边形背景解三角形问题的求解思路 1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； 2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 【训练1】　在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1. (1)若AB＝，求BC； (2)若AB＝2BC，求cos∠BDC． 类型二 解三角形中的最值(范围)问题 考向❶：利用基本不等式求解 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝4，求b的取值范围． 利用正、余弦定理转化为边的关系，结合基本不等式求解． 【训练2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则4a＋c的最小值为(　　) A．16 B．18 C．20 D．14 考向❷：转化为三角函数求解 【例3】　已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或有其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 【训练3】　(2025·嘉兴统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，a＝3. (1)若BC边上的高等于1，求cos A； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 三角形中的3大定理 定理(一)　射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A． 【应用体验】　 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccos B＋bcos C＝asin A，S＝(b2＋a2－c2)，则B＝(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 定理(二)　角平分线定理 在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，D在BC上，则有＝. 【应用体验】　 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC的平分线交BC于点D，且满足＝，∠BAC＝60°，a＝7，则c＝________. 4．在△ABC中，A＝2B，AC＝9，BC＝12，CD平分∠ACB交AB于点D，则BD的长度为________． 定理(三)　中线定理 在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝(AB2＋AC2)－BC2. 【应用体验】　 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且acos C－2bcos B＋ccos A＝0，则△ABC的面积为(　　) A．2 B． C． D． 第七节　解三角形应用举例 【课程标准】　能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 教|材|回|顾 1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图①)． 2．方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． 4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 小|题|快|练 1．(人A必二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(　　) A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向 C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向 2．(人A必二P50例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．(30＋30) m B．(15＋30) m C．(30＋15) m D．(15＋15) m 3．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km. 4．如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________ m. 类型一 距离问题 【例1】　如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C到D的距离为(　　) A．20海里 B．8海里 C．23海里 D．24海里 距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当． 【训练1】　一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为(　　) A． B． C． D． 类型二 高度问题 【例2】　小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝10 m；②B处的仰角60°；③C处的仰角45°；④cos∠BAC＝；⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　) A．9 m B．10 m C．10 m D．10 m 求解高度问题的3个注意事项 1．在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【训练2】　(2025·西安模拟)中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名遐迩．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度MN约为(　　) A．64 m B．74 m C．52 m D．91 m 类型三 角度问题 【例3】　已知在岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘救援艇．岛A处的一艘故障船正以10海里/时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？ 角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 【训练3】　如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(　　) A． B．－2 C．－1 D．－1 1．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A． B． C． D． 2．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 3．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 4．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. 5．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 新定义 1.以三角函数为载体的新定义问题 类型一 定义新性质 【例1】　(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝，则(　　) A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D．tanh(x＋y)＝ 对新定义的题型要注意以下几点： (1)读懂定义所给的主要信息，筛选出重要的关键点． (2)利用好定义所给的表达式以及相关的条件． (3)含有参数时要注意分类讨论. 类型二 定义新概念 【例2】　(2024·黑龙江大庆三模)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点； ②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为△ABC的费马点，且cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1. (1)求C； (2)若c＝4，求|MA|·|MB|＋|MB|·|MC|＋|MC|·|MA|的最大值； (3)若|MA|＋|MB|＝t|MC|，求实数t的最小值． 新定义问题的解法 根据题干所给定义，转化成所学知识，从而解决问题．在本题中，给出了当△ABC的三个内角均小于120°时，确定费马点的方法，即“满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点”，由(1)知△ABC为直角三角形，再结合点M是Rt△ABC的费马点知∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°，从而解决(2)(3)两个小题. 类型三 定义新运算 【例3】　(2024·安徽二模)已知集合M是满足下列运算的函数f(x)的全体：存在实数T，对任意的x∈R，有f(x＋T)＋f(x－T)＝Tf(x)． (1)试问函数f(x)＝x2是否属于集合M？并说明理由； (2)若函数f(x)＝x－sin ωx∈M，求正数ω的取值集合； (3)若函数f(x)＝ekx∈M，证明：|ke－ke－|≤1. 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征(包括单调性、特殊位置的函数值符号、隐零点的探索、参数的分类讨论等)，需要学生对多种基本方法、基本思想、基本能力进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的． 学科网（北京）股份有限公司 $$