专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 拓展训练一 网格中勾股定理的存在性问题 拓展训练二 勾股定理逆定理综合证明 知识点一：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，，则的面积等于 ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【即时训练】 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·江苏徐州·二模）把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是 ． 知识点二、勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 5．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（   ） A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】 （24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．7，24，25 C．3，3，5 D． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．： 2．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是 三角形． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，则的大小为 ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（24-25八年级上·河南周口·期末）若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点B相距千米，则新建后比原来少走的路程为（    ）千米    A． B．1 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则 ． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，求的长是多少？ 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，，且，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形，，，，，则 ．    【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，点D在中，，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．    2．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． (1)求证：． (2)求四边形的面积． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 3．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的．方方同学做了一个如图所示的风筝骨架，其中，，与相交于点． (1)请在下列两组判断中选择一组说明理由： 第一组判断：垂直平分； 第二组判断：平分． (2)设厘米，厘米，厘米，用一张轻薄的棉纸覆盖风筝骨架，至少需要多少平方厘米的棉纸？ 2．（2024·广东佛山·三模）综合与实践 【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的． 【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 【动手操作】  如图，三条线段a、b、c的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证： ① 作线段； ② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点； ③ 连接，得到． (1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）． 【问题解决】 (2)由三线段的长度比可知，（1）中的三边满足．请你证明：边长满足的是直角三角形． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，（在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线的长． 1．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题． (1)连接，并求的长； (2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点，到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 3．（24-25八年级下·云南大理·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 【拓展训练一 网格中勾股定理的存在性问题】 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，以点B为直角顶点，作直角三角形，面积为5； (2)在图②中，以为底边，作等腰三角形，面积为10． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数； (2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图甲中确定格点C，画出一个面积为3的直角三角形； (2)在图乙中确定格点D，画出一个等腰三角形． (3)在图乙中满足题（2）条件的格点D有________个． 4．（23-24九年级上·四川广元·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点； ①找格点，使且； ②直接写出的度数． (2)如图2，点、、均在格点上，依照（1）中方法在上作点，使． 【拓展训练二 勾股定理逆定理综合证明】 5．（24-25八年级下·江西抚州·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）如图1，在中，为内一点，且，求的度数； （2）如图2，在四边形中，，求证：． 7．（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． A基础训练 1．（24-25八年级下·广西·阶段练习）中，，，的对边分别为a，b，c，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，8 3．（24-25八年级下·四川广安·期末）小区在搭建一个直角三角形造型的休闲花架，用来摆放绿植美化环境，需要选适合长度的钢管做支架，哪组长度的钢管可以组成直角三角形支架（　　） A．2，4，6 B．3，5，6 C．5，12，13 D．4，5，7 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 9．（24-25八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． B 提高训练 11．（24-25八年级下·云南昆明·期末）在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C．，， D． 12．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 14．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为 ． 15．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ． 16．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 17．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）在中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积． (1)如图1，已知，则的面积是_________； (2)如图2，已知，求的面积； C 培优训练 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 20．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）根据以下信息，判断三角形的形状． (1)三角形的三边长，，满足，判断此三角形的形状． (2)如图，在中，于点，，，，判断的形状． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 拓展训练一 网格中勾股定理的存在性问题 拓展训练二 勾股定理逆定理综合证明 知识点一：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，，则的面积等于 ． 【答案】30 【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再利用面积公式求解． 【详解】解：，，，即， 为直角三角形， 直角边为，， 根据三角形的面积公式有： 故答案为：30． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【即时训练】 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴设三边分别为， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵ ∴，则， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴是最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2022·江苏徐州·二模）把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形． 【详解】解：12-3-5=4（cm）， ∵32+42=52， ∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 知识点二、勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 5．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（   ） A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 【答案】84、85 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．观察所给数组的规律，继而可得出答案． 【详解】解：由勾股数组：，，…中， ，，， ，，，… 可得当勾为13时，股为，弦为； 故答案为：，． 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】 （24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．7，24，25 C．3，3，5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵，∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．： 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质和判定方法，包括三角形内角和定理、勾股定理及其逆定理的应用．解题的关键在于能够准确地应用这些定理来判断给定条件是否能确定一个三角形为直角三角形．根据直角三角形的判定条件（勾股定理、角的关系）逐一分析各选项． 【详解】解：A. 由及三角形内角和，得，故，能判定为直角三角形； B. 将等式变形为，符合勾股定理，说明，能判定为直角三角形； C. 设三边为，验证得，满足勾股定理，说明为直角三角形； D. 由，计算得各角分别为，无角，故不能判定为直角三角形； 故选：D 2．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长． 首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 2．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，则的大小为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．勾股定理求出三条边的长，再利用勾股定理逆定理得到，即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 【答案】和相等且垂直．理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，连接，再结合勾股定理及其逆定理可得答案． 【详解】解：和相等且垂直．理由如下： 如图，连接，由勾股定理可得 ，，， ∴，且， ∴是以为直角的等腰直角三角形， 即，且， ∴和的关系是相等且垂直． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（24-25八年级上·河南周口·期末）若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再利用等面积法求解即可. 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 作于D，如图， 则， ∴； 故选：C.    【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，正确判定是直角三角形是关键. 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点B相距千米，则新建后比原来少走的路程为（    ）千米    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：千米，千米，千米， ，， ， 是直角三角形，， ∴， （千米）， 故新建后比原来少走的路程为（千米）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据翻折性质得出，，然后借助三角形的面积公式列出关于线段CO的关系式，问题即可解决． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵，，，， ∴， ∴， 根据翻折的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，求的长是多少？ 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的运用，等面积法求高，掌握勾股定理，等面积法的计算是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形， ∵， ∴是的高， ∵， ∴， ∴的长为． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 1．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，，从而易求的度数． 【详解】解：如图，连接AC， ，， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定为直角三角形，，过点作交于点，则，如图所示，根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：在中， ∵，即， ∴为直角三角形， ∴， 过点作交于点，则，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理及平行线性质，熟练掌握勾股定理的逆定理判断出直角，根据题意作出恰当辅助线，准确利用平行性质得到角度关系是解决问题的关键． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形，，，，，则 ．    【答案】/135度 【分析】由等腰直角三角形得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判断，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是证明是直角三角形． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故选：A． 1．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，点D在中，，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】24 【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， ∵，， ， 是直角三角形，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长． 2．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）某运动会以环保、舒适、温馨为出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，经测量，，，． (1)求证：． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理得到，再运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由此即可求解； （2）根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：由（1），可得，， ∴ ． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ． 【答案】南偏东 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 【答案】6 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 【详解】解：标记点如下图： 要使得这根电线杆便与地面垂直，即， 则只需保证， 由题意可知： ∴， ∴当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为时，这根电线杆便与地面垂直了． 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． (1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是村庄到河边最近的道路，计算见解析 (2)新路比原路少 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路． （2）∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： 若三个正整数a、b、c满足，则称a、b、c为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】A．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B．， 是“勾股数”，故本选项符合题意； C．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：B． 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的．方方同学做了一个如图所示的风筝骨架，其中，，与相交于点． (1)请在下列两组判断中选择一组说明理由： 第一组判断：垂直平分； 第二组判断：平分． (2)设厘米，厘米，厘米，用一张轻薄的棉纸覆盖风筝骨架，至少需要多少平方厘米的棉纸？ 【答案】(1)证明见解析； (2)至少需要1200平方厘米的棉纸． 【分析】本题主要考查了垂直平分线和勾股定理，解题关键是正确计算． （1）证垂直平分即可； （2）先得，再得△的面积，即可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：，， ，都在的垂直平分线上， 垂直平分； ， 平分． （2）解：由厘米，厘米，厘米， ∵， ∴， ∴△的面积（平方厘米）， 同理可得△的面积（平方厘米）， ∴四边形的面积（平方厘米）， 答：至少需要1200平方厘米的棉纸． 2．（2024·广东佛山·三模）综合与实践 【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的． 【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 【动手操作】  如图，三条线段a、b、c的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证： ① 作线段； ② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点； ③ 连接，得到． (1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）． 【问题解决】 (2)由三线段的长度比可知，（1）中的三边满足．请你证明：边长满足的是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，勾股定理的逆定理的证明： （1）按照所给步骤作图即可； （2）构造，使得，，，利用证明，推出，即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：如图，作，使得，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 边长满足 的是直角三角形． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)120米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理计算判断即可； （2）利用直角三角形的性质和面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质和面积公式，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 米，米，米， ， ， ， 即是直角三角形． （2）， ， （米）， 故洞穴到点D的距离是120米． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，（在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)千米 【分析】（）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是从村庄到河边的最近路； （2）解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的路线的长为千米． 1．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题． (1)连接，并求的长； (2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积． 【答案】(1) (2)应镀氧化膜的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）如图：连接，直接根据勾股定理求解即可； （2）先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据以及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵在中，，，， ． （2）解：， 是直角三角形， ， 应镀氧化膜的面积为． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点，到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短． （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理求出，根据垂线段最短即可证明． 【详解】（1）解：∵管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点， ∴米，， ∴米； （2）解：正确．理由如下： ∵米，米， ∴米， ∵，米， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是这些分叉管道中最省材料的． 3．（24-25八年级下·云南大理·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，发现是一组常见的勾股数，故易证是直角三角形； （2）由（1）易得是直角三角形，再根据勾股定理列出关于直角三角形的三边关系式，结合，可以将关系式转为是关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形． （2）解：是直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 解得， 故的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键找到一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方是解本题的关键． 【拓展训练一 网格中勾股定理的存在性问题】 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，以点B为直角顶点，作直角三角形，面积为5； (2)在图②中，以为底边，作等腰三角形，面积为10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形等知识． （1）根据题意利用勾股定理及其逆定理，进行作图即可； （2）根据题意利用勾股定理及其逆定理，进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，直角三角形即为所求， （2）如图，等腰三角形即为所求， 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数； (2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，涉及无理数，勾股定理及其逆定理： （1）结合有理数的定义即可作图； （2）根据无理数的定义，结合勾股定理及其逆定理即可作图． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，即为所作： 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图甲中确定格点C，画出一个面积为3的直角三角形； (2)在图乙中确定格点D，画出一个等腰三角形． (3)在图乙中满足题（2）条件的格点D有________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】(1)由题意，得，根据面积为3的直角三角形，只需或画图即可． (2)根据等腰三角形的判定和性质画图即可． (3)根据等腰三角形的判定和性质，结合勾股定理解答即可． 本题考查了网格上的无刻度直尺作图，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵所画三角形是面积为3的直角三角形， ∴或．画图如下： 则或即为所求． （2）解：根据勾股定理，得，， 画如下： 则即为所求． （3）解：根据题意，得， 分为底和腰两种情况，画图如下： 故符合题意的点D有8个． 故答案为：8． 4．（23-24九年级上·四川广元·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点； ①找格点，使且； ②直接写出的度数． (2)如图2，点、、均在格点上，依照（1）中方法在上作点，使． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识． （1）①利用把向上平移1格即可； ②由图形可得是等腰直角三角形，再利用平行线即可求解； （2）构造等腰直角三角形，再利用平移解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图1中，直线即为所求； ②连接， 由图可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中，即为所求． 【拓展训练二 勾股定理逆定理综合证明】 5．（24-25八年级下·江西抚州·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 6．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）如图1，在中，为内一点，且，求的度数； （2）如图2，在四边形中，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理逆定理、等边三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形成为解题的关键． （1）如图1：作，连接，根据全等三角形的性质可得、，进而得到是等腰直角三角形，则、；再说明为直角三角形可得，最后根据角的和差即可解答； （2）如图2，连接，，易得是等边三角形可得；将绕C旋转到，连接，证明为等边三角形可得，进而得到，然后根据勾股定理以及等量代换即可证明结论． 【详解】解：（1）如图1：作，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴ （2）如图2，连接，， ∴是等边三角形， ∴， 将绕C旋转到，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 7．（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 【答案】【初步探索】，； 【拓展延伸】见解析； 【知识应用】或． 【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而可证，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可证； 【拓展延伸】由【初步探索】可知，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可得中结论仍然成立； 【知识应用】连接由【拓展延伸】可知，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，利用勾股定理的逆定理可知，然后再根据点和的位置分两种情况讨论即可． 【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长交于点， 和都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ，， 在中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【拓展延伸】解：中的结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，交于点 ， 由【初步探索】可知， ，， 在中， ， ， ， ； 【知识应用】解:如下图所示，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在内，点在外时，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， ， 又， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得：， 综上所述：或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． A基础训练 1．（24-25八年级下·广西·阶段练习）中，，，的对边分别为a，b，c，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．根据勾股定理的逆定理判断A、B即可；根据三角形内角和定理判断C、D即可． 【详解】解：A、， ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； B、设，，， ， ∴， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、， ， ， ， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，， ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对选项中的各个数进行计算判断，即可解题． 【详解】解：A、， 3，4，5能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、， 2，6，7不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、， 1，3，4不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、， 3，6，8不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·四川广安·期末）小区在搭建一个直角三角形造型的休闲花架，用来摆放绿植美化环境，需要选适合长度的钢管做支架，哪组长度的钢管可以组成直角三角形支架（　　） A．2，4，6 B．3，5，6 C．5，12，13 D．4，5，7 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴能组成直角三角形， 故C符合题意； D、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 5．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴画框的两边垂直， 故答案为：合格． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．设出正方形的边长，利用中点及线段比例关系表示出相关线段长度，再通过勾股定理分别求出三角形三边的平方，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，从而得出角的度数． 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 9．（24-25八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：米，米，米， ， ， ； （2）解：， ， （米）， （米）． B 提高训练 11．（24-25八年级下·云南昆明·期末）在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】A．∵， ∴ ∴是直角三角形，则A不符合题意； B．∵ ， ∴， 所以是直角三角形，则B不符合题意； C．∵， ∴ ∴不是直角三角形，则C符合题意； D．∵， ∴， ∴是直角三角形，则D不符合题意． 故选：C． 12．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 13．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 14．（2025八年级下·内蒙古·专题练习）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的作图和角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． 先证明为直角三角形，，过点作，垂足为D，证明，得到，设，即，在中，，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：，，， 为直角三角形，， 如图，过点作，垂足为D， 由尺规作图可知平分， ， ， ， 设，即 在中， ， 解得：， ， 故选：． 15．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接，在直角中，根据勾股定理可以求得，在中，可得，根据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，四边形的面积为和面积之和． 【详解】解：连接， 在直角中，，， ∴， 又∵，∴为直角三角形， ∴的面积为，的面积为， ∴四边形的面积为和面积之和，即． 故答案为：． 16．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，，可得是的中垂线，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， 点是的中点， ， 将沿翻折后， ，， 是的中垂线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列出方程可求解． 17．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用； （1）直角三角形中，利用勾股定理解出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 18．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）在中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积． (1)如图1，已知，则的面积是_________； (2)如图2，已知，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的性质； （1）利用勾股定理证明，再求解面积即可； （2）如图，过作于，先证明，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积； （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． C 培优训练 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线为等腰三角形的对称轴，即等腰三角形的中线可以把等腰三角形分成两个相同的部分，据此可得答案； （2）方法一：作的四等分点E、D、F，连接，折痕为；方案二：作的中点E、F，连接，折痕为； （3）①由三角形中线平分三角形面积可得，，则可证明，再证明，可得，即；②延长到M，使得，连接，证明，得到；由（1）可得，可证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得，他用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故选：B； （2）解：如图，作的四等分点E、D、F，连接， 则，折痕为， ∴ 如图，分别作的中点E、F，连接，折痕为， 则； （3）解：①∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即； ②延长到M，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）根据以下信息，判断三角形的形状． (1)三角形的三边长，，满足，判断此三角形的形状． (2)如图，在中，于点，，，，判断的形状． 【答案】(1)等腰三角形 (2)直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用、勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先利用因式分解可得，再根据可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理可得，，则可得，再利用勾股定理的逆定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴，即， ∴此三角形是等腰三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$