专题01 勾股定理重难点题型专训（2个知识点+13大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题01 勾股定理重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股数问题 题型九 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十 勾股定理与网格问题 题型十一 勾股定理与折叠问题 题型十二 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十三 用勾股定理构造图形解决问题 拓展训练一 勾股定理中的面积问题 拓展训练二 勾股定理中的折叠问题 拓展训练三 勾股定理中的最值问题 拓展训练四 勾股定理中的新定义问题 知识点一：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在中，斜边，则的值为 ． 知识点二、勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 3．（23-24八年级下·河南新乡·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【即时训练】 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是 ． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 1．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，此图取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是12，小正方形式面积是2，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（   ） A．144 B．28 C．22 D．20 2．（24-25八年级下·上海·期中）有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（24-25九年级下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，，点、分别为和的中点，，，则（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 1．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 ． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，于点D，，求的长． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，，若，则的面积为 ． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为 ． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，连接，，，以为边向外做正方形，求正方形的面积． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）如图，在中，，是的中点，于点．若，，则的长是 ． 3．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在中，于点D，．求： (1)的长； (2)的长． 【经典例题八 勾股数问题】 【例8】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 2．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 3．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【经典例题九 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例9】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 1．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）图甲是任意一个直角三角形，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形全等的三角形，放在边长为的正方形内． (1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以______为边长的正方形，②是以______为边长的正方形，③是以______为边长的正方形； (2)图乙中①的面积为______，②的面积为______，图丙中③的面积为______； (3)图乙中①②面积之和为______； (4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？ 【经典例题十 勾股定理与网格问题】 【例10】（2024·河北邯郸·二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．    3．（23-24七年级上·山东泰安·期末）问题情境：在一次综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A、B、C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点C、A，她借助此图求出了的面积． (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______； (2)的面积为______； (3)已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【经典例题十一 勾股定理与折叠问题】 【例11】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【经典例题十二 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例12】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 2．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【经典例题十三 用勾股定理构造图形解决问题】 【例13】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（   ）． A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草． 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=8cm，BC=17cm，在顶点C处有一只蜗牛M，以1cm/s的速度沿CA方向爬行，顶点A处有一只蚂蚁N，以4cm/s的速度沿AB方向爬行，两个小家伙同时出发，若它们都爬行3s，求此时MN的长． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题． 【拓展训练一 勾股定理中的面积问题】 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 4．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 【拓展训练二 勾股定理中的折叠问题】 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 6．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 8．（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1）如图1，已知是的中线，，把沿所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则等于　　　度． （2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【拓展训练三 勾股定理中的最值问题】 9．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，圆柱底面周长为，高为，在圆柱的侧面上点A和点C相对，表面嵌有一圈过点A和点C的金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 11．（24-25七年级下·山东青岛·期末）问题解决策略 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以 ， ，所以 ． 在中，因为，所以 ，即最小． （1）请完善小亮的说明过程． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“ ”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 （3）如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 12．（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 【拓展训练四 勾股定理中的新定义问题】 13．（24-25八年级下·安徽六安·期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，则中边的“中偏度值”为(    ) A．2 B．3 C． D． 14．（24-25七年级上·山东威海·期末）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，则的长为 ． 15．（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 16、（2025·湖南湘西·模拟预测）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． A基础训练 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在中，为斜边，则此三角形的周长为（    ） A．30 B．36 C．48 D．50 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在中，，底边上的高，，这个三角形的边长为（  ） A． B．， C． D．， 3．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 6．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，阴影部分是长方形，则阴影部分面积为 ． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 8．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，已知在中，，、分别是边上的中线和高，若，，则 ． 9．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，求的长． 10．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． B 提高训练 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 12．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点D作的角平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，交于点G，若，，则 ． 16．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，分别是和的角平分线，交于点D，于点H，若，，则的长是 ． 17．（24-25八年级下·吉林延边·阶段练习）在中，，，，，垂足为D． (1)求的长． (2)求的长． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求线段的长． C 培优训练 19．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，于点，点在直线上，且在点的左边，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，解答下列问题． (1)直接写出线段______，______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值． 20．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，于，点在边上从点出发，以的速度向终点运动，设点的运动时间为． (1)线段_________． (2)在线段上时，线段的长为__________（用含的代数式表示）． (3)求为何值时，为等腰三角形． (4)当点与顶点的连线与的腰垂直时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股数问题 题型九 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十 勾股定理与网格问题 题型十一 勾股定理与折叠问题 题型十二 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十三 用勾股定理构造图形解决问题 拓展训练一 勾股定理中的面积问题 拓展训练二 勾股定理中的折叠问题 拓展训练三 勾股定理中的最值问题 拓展训练四 勾股定理中的新定义问题 知识点一：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：，，、的对应边分别是、、， ． 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在中，斜边，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可得，进而可求出的值． 【详解】解：在中，根据勾股定理可得： ， ， 故答案为：． 知识点二、勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 3．（23-24八年级下·河南新乡·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理，符合题意； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理得， ∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意； D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意． 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理． 【详解】解：图1和图3：∵，， ∴， ∴， ∴，故图1和图3都可以验证勾股定理； 图2：图形的总面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴， ∴．故图2可以验证勾股定理； 图4不可以验证勾股定理． 综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键． 【即时训练】 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由三角形周长计算公式可推出，设，则，由勾股定理得，解方程可得，由线段垂直平分线的性质可得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解；∵的周长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：如图，根据题意，得， 设，则， 根据题意，得， ∴ 当取最大值，有最小值， 当时，最大，此时点B落在A处时，取得最小值， 解得：，即CE的长为． 故答案为：． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 1．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理,不符合题意； B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点．根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，， 在中，由勾股定理， ∴，即正方形的边长是7． 故选：C． 1．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，此图取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是12，小正方形式面积是2，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（   ） A．144 B．28 C．22 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 先用大正方形的面积得到三角形的斜边的平方为100，则，利用大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和可得到，由完全平方公式即可求得结果． 【详解】解：∵大正方形的面积是12， ∴直角三角形的斜边的平方12， ∵直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为， ∴， ∵大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形的面积之和，小正方形的面积是2， ∴，即， ∴=． 故选C． 2．（24-25八年级下·上海·期中）有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是 ． 【答案】3，2 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据大正方形与小正方形的面积得出关于、的等式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 小正方形的边长为， 小正方形面积是1， ， ， 大正方形面积是13，即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，2． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可； （2）当时，求出大正方形的边长即可求其面积． 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； 故答案为：； （2）解：当时，大正方形的边长， ∴大正方形的面积． 故答案为：17 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（24-25九年级下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，，点、分别为和的中点，，，则（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了中点的定义与勾股定理，解题关键是牢记勾股定理．先利用中点定义求出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点，，， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1））证明：平分， ∴， 又∵，， ∴， ， ； （2）解：， ． 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴． 解得，即的长为． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作于E，先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 在中，，由勾股定理得 ， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴D到的距离为3， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中线与面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股定理算出，结合栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．得出是的中线，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分． ∴是的中线， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，于点D，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题． 【详解】解：于点D，， ， ． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，由勾股定理可得，进而即可求解，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：在中，∵，， ∴， ∴， 故选：． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，，若，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积．掌握勾股定理是解本题的关键． 先根据勾股定理求出的长，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，代入数据计算即可． 【详解】解：，， ， 的面积为：， 故答案为：30． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，根据将沿射线方向平移，得到，得， ， 根据勾股定理求出，再运用梯形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将沿射线方向平移，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 阴影部分的面积为 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，连接，，，以为边向外做正方形，求正方形的面积． 【答案】正方形的面积为12.5． 【分析】本题考查的是勾股定理、正方形面积公式.熟记勾股定理是解题的关键． 由已知条件的和均为直角三角形，由两次勾股定理得出，得正方形面积． 【详解】解：∵，， 和均为直角三角形， ， ， ∴正方形的面积为12.5． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可． 【详解】解：在中，， ， 由题意得， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数． 依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴点所表示的数是， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点D所表示的数为，点E所表示的数为 【分析】（1）可看作是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，再结合正方形的性质画图即可． （2）由题意可得，由数轴的定义可知点E所表示的数为． （3）由题意画出数轴，在数轴上取点A，使点A表示的数为2，作直角三角形，使，则，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交数轴于点D，E，则点D所表示的数为，点E所表示的数为． 本题考查了无理数与勾股定理，数轴与实数，勾股定理与网格，在数轴上表示实数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，正方形即为所求． （2）∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， 即， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点E所表示的数为 故答案为：． （3）如图，点D所表示的数为，点E所表示的数为． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，角平分线的尺规作图，由勾股定理可得；过点D作于E，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质可得，利用等面积法可求出，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，过点D作于E， 由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 1．（24-25八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）如图，在中，，是的中点，于点．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边中线，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．由勾股定理求出，再结合斜边中线求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， 在中，，是的中点， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在中，于点D，．求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，． 根据勾股定理可知：， ； （2）解：∵， ． ． 【经典例题八 勾股数问题】 【例8】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵不是正整数， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵，且是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 故选：． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股数的定义，根据勾股数的定义，满足三个正整数且两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即可． 【详解】解：A． 0.3，0.4，0.5：非正整数，不符合勾股数条件，排除． B． 6，8，10：均为正整数，验证得，满足勾股数定义． C． ，，1：含分数，非正整数，排除． D． ，，（即9，16，25）：验证得，不满足条件． 综上，正确答案为B． 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 3．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)正确，见解析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 【经典例题九 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例9】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三边关系是解答本题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵如图，中，， ∴, ∵， ∴． 故选：D． 1．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，，得到，结合，，求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结合是解决本题的关键．根据勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形面积之和，依照此可求出正方形C的面积． 【详解】解：设中间正方形为E， 由勾股定理可知：，， ∴， 正方形、、的面积依次为、、， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）图甲是任意一个直角三角形，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形全等的三角形，放在边长为的正方形内． (1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以______为边长的正方形，②是以______为边长的正方形，③是以______为边长的正方形； (2)图乙中①的面积为______，②的面积为______，图丙中③的面积为______； (3)图乙中①②面积之和为______； (4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？ 【答案】(1)a，b，c (2)，， (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理，解题的关键在于根据图形得出各正方形的边长，进而得出各正方形面积，再通过两个组合正方形的面积相等的关系进行列式分析． （1）根据图形求解即可； （2）结合（1）根据正方形面积公式求解，即可解题； （3）将（2）中①、②的面积加起来即可； （4）根据图形推出图乙个直角三角形的面积图丙个直角三角形的面积，即可得到图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积之间的关系． 【详解】（1）解：由图知，①是以为边长的正方形， ②是以为边长的正方形， ③是以为边长的正方形； 故答案为：a，b，； （2）解：由题知，图乙中①的面积为，②的面积为，图丙中③的面积为； 故答案为：，，； （3）解：图乙中①②面积之和为； 故答案为：； （4）解：，理由如下： 图乙、图丙是边长为的正方形， 图乙、图丙面积相等， 图乙个直角三角形的面积图丙个直角三角形的面积， ， ． 【经典例题十 勾股定理与网格问题】 【例10】（2024·河北邯郸·二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 1．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形．根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，，      ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是 ．    【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理，运用勾股定理求出，两式相减即可得出结论． 【详解】解：在中，， 在中， ∴ ， 故答案为：12． 3．（23-24七年级上·山东泰安·期末）问题情境：在一次综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A、B、C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点C、A，她借助此图求出了的面积． (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______； (2)的面积为______； (3)已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，注意计算的准确性． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据即可求解； （3）分别构造的矩形的对角线即可画出，根据“割补法”即可求出的面积． 【详解】（1）解：由勾股定理可得： ，， 故答案为：，， （2）解：∵， ∴ 故答案为： （3）解：即为所求： 由图可知： ∴ 【经典例题十一 勾股定理与折叠问题】 【例11】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设， 则， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：D． 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据折叠的性质可证，得，设，则，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折的性质和勾股定理的应用．设，则，由翻折的性质可知，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由翻折的性质可知：， ∵点D是的中点， ∴． 在中，由勾股定理可知：， 即， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 【经典例题十二 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例12】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 2．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十三 用勾股定理构造图形解决问题】 【例13】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用秋千静止与推送后的状态找出直角三角形是解题的关键．由秋千绳索、水平移动距离和秋千垂直移动距离构成了直角三角形，通过设未知数，从而得到的代数式，最后利用勾股定理建立方程来求解秋千绳索的长度． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中， ，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故选：C． 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草． 【答案】6 【分析】利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可. 【详解】由勾股定理可得：“捷径”长度= ， ∴7+24-25=6m ， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=8cm，BC=17cm，在顶点C处有一只蜗牛M，以1cm/s的速度沿CA方向爬行，顶点A处有一只蚂蚁N，以4cm/s的速度沿AB方向爬行，两个小家伙同时出发，若它们都爬行3s，求此时MN的长． 【答案】13cm 【分析】先求出AM、AN的长，然后再运用勾股定理解答即可． 【详解】解: 由根据题意得：CM=3 ，AN=12 ∵AC=8， ∴AM=AC-CM=8-3=5 在Rt△AMN中，根据勾股定理，得 ∴MN=13cm． 【点睛】本题主要考查了动点问题、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题． 【答案】水池里水的深度是4米，芦苇长为米 【分析】根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】．解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由题意得，x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， x+1=13， 米，米， 答：水池里水的深度是4米，芦苇长为米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键． 【拓展训练一 勾股定理中的面积问题】 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意可知，大正方形的面积为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出，即可求出小正方形的面积． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， 又∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方； 连接，构造直角三角形，利用勾股定理即可进行解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：25． 4．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，过点作于点，如图所示： 在中，，，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【拓展训练二 勾股定理中的折叠问题】 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠性质得，，， 当时，设， 得， ， ， 在中，， ∴， ， ； 当时， ， 是的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ， 当或时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 8．（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1）如图1，已知是的中线，，把沿所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则等于　　　度． （2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】（1）45 （2）的长为 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键是利用折叠转化线段和角度的等量关系，结合中线或直角三角形的性质建立等式求解． （1）利用中线性质得折叠性质得、，推出且，判定 为等腰直角三角形，进而得的度数． （2）先由勾股定理求的长，利用折叠性质得、设表示在中用勾股定理列方程求解 x． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴（三角形中线平分对边）． ∵沿折叠后点C落在E处， ∴（折叠性质：对应边相等，对应角相等）． ∴，且（等量代换）． ∴中，，即 是等腰直角三角形． ∴（等腰直角三角形的底角为． 故答案为：． （2）解：在中，， 由勾股定理得：． 直角边沿折叠后与重合， ∴（折叠性质）． ∴． 设则． 在 中，，由勾股定理得： 即． 展开得： 化简得：解得 答：的长为 【拓展训练三 勾股定理中的最值问题】 9．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，圆柱底面周长为，高为，在圆柱的侧面上点A和点C相对，表面嵌有一圈过点A和点C的金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．    ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 10．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为的长即可解答． 【详解】解：如图所示：连接． ∵，D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 11．（24-25七年级下·山东青岛·期末）问题解决策略 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以 ， ，所以 ． 在中，因为，所以 ，即最小． （1）请完善小亮的说明过程． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“ ”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 （3）如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【拓展应用】 （4）如图5，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】（1），，，；（2）两点之间，线段最短；（3）作图见解析；（4） 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值． （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． （3）通过作两点关于两直线的对称点，将折线路径转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，依据周堆成性质保证路径长度相等． （4）利用等腰三角形三线合一性质确定对称点位置，将转化为垂线段长度，结合勾股定理计算最小值，依据垂线段最短原理． 【详解】解：（1）∵直线是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 在中，，（三角形两边之和大于第三边） ∴， 故答案为：，，，； （2）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，B'两点的线中，线段最短）． 故答案为：两点之间，线段最短； （3）如图，即为最短路径； （4）如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当B，P，Q共线时，的值最小， ∴当时，的值最小， 令，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4（4）3 【分析】本题考查的是轴对称的应用，根据轴对称的性质解决问题是解题关键， （1）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求作； （2）作点A关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，则，则点P即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则，则点P即为所求，求出最大值即可； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）如下图点即为所求作； （2）如下图点即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则点P即为所求； 在中，，， 由对称性可知，， 则， 是等边三角形， ； 则的最大值为4； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求， 连接， 在中，，，， 是等边三角形，， ， ， 点为中点， ， ， 则的最小值为3． 【拓展训练四 勾股定理中的新定义问题】 13．（24-25八年级下·安徽六安·期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，则中边的“中偏度值”为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作于点，为的中线， 在中，，，， 在中， 为斜边上的中线，， 中边的“中偏度值”为： 故选：C． 14．（24-25七年级上·山东威海·期末）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理， 根据题意需分类讨论：①当为最长线段时，由勾股定理求出；②当 为最长线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：， , 设则， ①当为最长线段时， 可得，可得， 解得； ②当为最长线段时， 可得，可得， 解得； 故答案为：或． 15．（2025·河南南阳·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是对等垂美四边形，理由见解析 (3)3或 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键． （1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可； （2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论； （3）分是直角和为直角两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所作的对等垂美四边形； （2）是，理由如下： 解：连接，交于点，设与交于点， 由题意知，，，， ∴， 即 在和中， ∴ ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在四边形中，，， ∴四边形是对等垂美四边形 （3）解：当是直角时，点与点重合，如图， ∴点到的距离即为， ∵， ∴点到的距离为3； 当为直角时，如图， ∵，， ∴， 设点到的距离为， ∴，即， ∴， 综上，点到的距离为3或． 16、（2025·湖南湘西·模拟预测）我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”． (1)如图1，在中，，且，请你在图1中作出的一条“等分积周线”； (2)在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由． (3)如图2，四边形中，，垂直平分，垂足为F，交于点E，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”； (4)如图3，在中，，，请你不过的顶点，画出的一条“等分积周线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不能，理由见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质作出的中垂线所在的直线即可求解． （2）若直线平分的面积，那么，得出，则，进而可求解． （3）根据勾股定理得：，求得，，进而得出，，进而可求证结论． （4）在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，利用全等三角形的判定及性质可推出结论，，则可说明是的“等分积周线”． 【详解】（1）解：， 为等腰三角形， 则由等腰三角形的“三线合一”可得，作线段的中垂线， ， ，， 如图所示，所在的直线即为所求：    （2）解：不能， 理由：如图2，    若直线平分的面积，那么， ， ， ， ∴过点C不能画出一条“等分积周线”． （3）证明：连接、，设，如图：   垂直平分， ，，， ，，，， 和中，根据勾股定理可得出： ，即， 解得：， ，， ，， ， ， ， ， ∴直线为四边形的“等分积周线”． （4）解：如图4，在上取一点F，使得，在上取一点E，使得，作直线，则是的“等分积周线”，    理由：由作图可得：， 在上取一点G，使得，则有， ， ， 在和中 ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 是的“等分积周线”． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、应用与设计作图、全等三角形的判定及性质、勾股定理，根据题意正确分割出“等分积周线”是解题的关键． A基础训练 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在中，为斜边，则此三角形的周长为（    ） A．30 B．36 C．48 D．50 【答案】B 【分析】本题考查的是利用勾股定理求边长的问题，根据勾股定理来进行解答即可． 【详解】解：∵在中，为斜边， 设， ∴，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴此三角形的周长为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在中，，底边上的高，，这个三角形的边长为（  ） A． B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用及等腰三角形的性质，设，则，在中运用勾股定理列出有关的方程，继而即可求各边的长． 【详解】解．设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：． ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，由网格线的特征得是直角三角形，且，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由网格线的特征得是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，，，， ，则， ． 由折叠的性质得， ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可． 【详解】解：正方形的面积为：，正方形的面积为：； 在中，， 又 ∵， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，阴影部分是长方形，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．先根据勾股定理求出阴影长方形的长为，即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为， 即阴影长方形的长为， ∵阴影部分是长方形， ∴阴影部分面积是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 【答案】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度=（尺）， 答：芦苇长尺． 故答案为： 8．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，已知在中，，、分别是边上的中线和高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理在三角形中的应用，熟练掌握勾股定理解三角形是关键．利用勾股定理求出的长，然后根据是边的中线，求出的长，再利用求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出最终结果． 【详解】解：在中，， 是边的中线， ， 是的高线， ， ∴， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和直角三角形是解题关键．先根据等边三角形的判定与性质可得，，再根据角的和差可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， 又， 即的长是5． 10．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【答案】(1)3，4，5 (2)9，16，25 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察三个数的数量关系即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：3，4，5； （2）解：由图可知， ，，， 故答案为：9，16，25； （3）解：∵， ∴的关系是， 故答案为：． B 提高训练 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 12．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题的关键是得到．由翻折易得，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长． 【详解】解：由题意得； 设，则， ， ， 即， 解得：； 即． 故选：A． 13．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线性质，勾股定理，关键是掌握垂线段最短，勾股定理求出，当时，的值最小，然后根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】在中， ∵，， ∴， 当时，的值最小， ∵是的平分线，， ∴． ∴的最小值为6． 故选：D． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到的长，再判定是斜边边上的中线，得到的长，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴是直角三角形，且． ∵是边上的中线， ∴是斜边边上的中线， ∴， ∴． ∴． 故答案为：6． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点D作的角平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，交于点G，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．连接，证明，得，从而求得的长；由面积法求得的长，由勾股定理求得的长，最后即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴； ∵，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，分别是和的角平分线，交于点D，于点H，若，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点．过P作于E，求出，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x的值，即可得到的长． 【详解】解：过P作于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴， 故答案为：5． 17．（24-25八年级下·吉林延边·阶段练习）在中，，，，，垂足为D． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理计算即可得解； （2）由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，垂直平分线的性质可得，进而得到；根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，即可证明结论； （2）由线段的和差可得，．设，则．由勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，． 设，则． 在中，根据勾股定理得：． 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得， ∴． C 培优训练 19．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，于点，点在直线上，且在点的左边，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，解答下列问题． (1)直接写出线段______，______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)4；3 (2)当时，；当时， (3)或10 (4)或6或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点P的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点P在点D左侧，时，点P在点D右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分三种情况讨论：当点P到直线和的距离相等时，当点P到直线和的距离相等时，当点P到直线和的距离相等时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：∵，， ∴平分， ∴当点P与点D重合时，点P到直线和的距离相等， ∴此时； 当点P到直线和的距离相等时，过点P作于点H，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理：， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当点P到直线和的距离相等时，如上图所示，过点作于点E，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理：， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上分析可知：当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值或6或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 20．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，于，点在边上从点出发，以的速度向终点运动，设点的运动时间为． (1)线段_________． (2)在线段上时，线段的长为__________（用含的代数式表示）． (3)求为何值时，为等腰三角形． (4)当点与顶点的连线与的腰垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)6； (2)； (3)或5或8； (4)或． 【分析】（1）根据是等腰三角形，，得是中点，可先求出长度，再用勾股定理求出． （2）先求出长度，根据点的运动速度和时间求出长度，再用得到． （3）分三种情况讨论为等腰三角形，分别是、、，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理列方程求解． （4）分两种情况讨论与的腰垂直，分别是和，然后根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，点速度为，运动时间为 ∴ ∵在线段上 ∴ 故答案为：． （3）解：①当时, ∵，，， ∴是中点， ∴， ∵， ∴在线段上， 在中，， ∵，，， ∴， 解得； ②当时， ∵， ∴与重合， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ③当时 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值为或或． （4）解：①当时 ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵，，，， ∴， 解得； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵，，，， ∴， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$