第04讲 平面向量的线性运算（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制）

第04讲 平面向量的线性运算（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1：实数与向量相乘 2：向量的线性运算 题型巩固 一、实数与向量相乘 二、向量的相关概念 三、向量的线性运算 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点01：实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 知识点02：向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 题型巩固 题型一、实数与向量相乘 1．（2023·上海崇明·一模）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘 【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到． 【详解】解：根据题意知，，， 则，， 则，观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 （用向量的式子表示）． 【答案】 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题考查了平面向量的基本知识，涉及向量的模，向量的线性运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据向量方向相反以及向量的模的定义即可求解． 【详解】解：∵向量与单位向量方向相反，且， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【知识点】实数与向量相乘 【分析】作向量，向量即可． 【详解】解：如图，向量和向量即为所作． 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 题型二、向量的相关概念 4．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题主要考查了向量的知识．根据向量平行的定义，若两个非零向量方向相同，则它们平行．逐一分析各选项是否满足这一条件即可． 【详解】解：A.若，，根据平行的传递性，与必平行，本选项不符合题意； B.由和可知，与同向，与同向，因此与同向，本选项不符合题意； C.直接表明与方向相同或相反，本选项不符合题意； D.仅说明模长相等，但方向可能不同，无法确定平行，本选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型三、向量的线性运算 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算 【分析】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．首先由在中，D是边的中点，可求得，然后由三角形法则求得答案． 【详解】解：∵在中，D是边的中点， ∴ ∴ 故选：B． 7．（2025·上海静安·一模）如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题主要考查了平面向量，根据平行线分线段成比例得出，，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果． 【详解】解：∵．， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，点、分别是边、的中点．设，． (1)填空：向量______（用向量，的式子表示）． (2)在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1) (2)作图见解析 【知识点】向量的线性运算 【分析】（）首先利用平面向量三角形法则求得，然后由是边的中点即可求解； （）过点作交于点，、即为向量在向量，方向上的分向量； 本题考查了平面向量，掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是边的中点， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，向量和即为所求． 分层强化 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A．a B． C．﹣a D． 【答案】B 【详解】根据平面向量的加减运算的知识求解，即可求得答案． 解：=． 故选B． 2．以下说法错误的是（　   ） A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 【答案】C 【分析】A根据平行向量定义解题；B根据单位向量定义解题；C根据平行向量定义解题；D根据平行向量定义解题． 【详解】A.零向量与任一非零向量平行，故A.正确； B. 零向量与单位向量的模不相等, 故B.正确； C. 平行向量方向相同，平行向量方向可能相同也可能相反，故C错误.； D. 平行向量一定是共线向量，满足向量共线与平行的定义，故D.正确， 故选C． 【点睛】本题考查单位向量、平行向量与共线向量等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3．如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令=+，则=（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】根据向量的运算法则可得:=,故选B. 4．梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，若AD：BC=1：3，=，=（　　） A．﹣ B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】首先由AD：BC=1：3，=，求得的值，又由梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，根据梯形中位线的性质，即可得=（+），则可求得答案． 解：∵AD：BC=1：3，=， ∴=3， ∵梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线， ∴=（+）=2． 故选B． 5．在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是(   ) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD∥BC，AD=2BC，据梯形的定义得到选项. 【详解】解：∵ ， ∴， ∴AD∥BC，AD=2BC. ∴四边形ABCD为梯形. 【点睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义. 6．在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，AD=BC，=，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首先根据梯形的中位线的性质，求得EF=BC，又由=，即可求得的值． 解：∵AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点， ∴EF=（AD+BC）， ∵AD=BC， ∴EF=BC， ∵=， ∴． 故选C． 二、填空题 7．化简： ． 【答案】 【分析】根据平面向量的加法法则计算即可； 【详解】解：， 故答案为． 【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于掌握运算法则. 8．向量在方向上的分量分别则＝ 【答案】 【分析】根据向量的分量的概念及向量分解式的写法即可得到答案． 【详解】∵向量在，方向上的分量分别，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量分量的定义及向量分解式的写法是解题的关键． 9．已知向量与方向相反，长度为6，则 【答案】－6 【分析】根据平面向量的方向性即可得出结论． 【详解】∵向量与方向相反，长度为6， ∴，故填：6． 【点睛】本题考查向量的方向性和表示方法，较为简单． 10．化简：= ． 【答案】. 【详解】试题解析：原式 故答案为 11．△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是 . 【答案】=. 【分析】利用等腰三角形的定义可知两腰相等． 【详解】两腰上的向量与的关系是=. 故答案为是=. 【点睛】此题考查向量的模，解题关键在于掌握等腰三角形的定义. 12．已知向量与单位向量方向相反，且，那么= （用向量的式子表示） 【答案】-3． 【详解】试题分析：由向量与单位向量方向相反，且||＝3，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．∵向量与单位向量方向相反，且||＝3， ∴=-3． 故答案为-3． 考点：平面向量． 13．一架飞机向北飞行300 km，然后改变方向向西飞行300 km，则飞机两次位移的和为 . 【答案】 【分析】根据向量加法的三角形法则，进行计算即可. 【详解】如下图，由于每次飞行的位移是向量，所以可以用向量加法的三角形法则考虑.由向量加法三角形法则知合位移的大小|s|= |s|=300 (km). 故答案为300 (km). 【点睛】此题考查向量加法的三角形法则，解题关键在于熟记向量加法和减法法则. 14．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为 【答案】 【分析】观察本题，得++= ++，进一步化为；通过ABCD为正方形化简原式为 ，再由边长为1，即可得出答案. 【详解】|++|=| ++|==2||= 【点睛】此题考查向量的加法，解题关键在于需结合向量加法运算及其几何意义进行求解. 15．G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于D，设=，＝，试用、表示向量= ． 【答案】 【分析】由G是△ABC的重心可得以及；再结合向量性质，从而计算完成求解． 【详解】∵G是△ABC的重心 ∴ ∴ ∵G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于D ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形重心和向量的知识；求解的关键是熟练掌握三角形重心的性质，结合向量计算，从而完成求解． 16．如果、、满足关系式，那么 （用向量、表示）. 【答案】 【分析】把看成关于的方程即可解决问题. 【详解】∵， ∴， ∴， 故填：. 【点睛】此题考查平面向量，可以转化为关于的方程来解决问题. 17．如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量 （结果用、表示）． 【答案】+． 【分析】首先由AM是△ABC的中线，即可求得的长，又由=+，即可求得答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线，， ∴== ∵， ∴=+=+． 故答案为+． 18．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 【分析】先利用平行四边形的性质求出各边之间的关系，再利用向量混合运算法则一一求出即可. 【详解】由平行四边形ABCD可知：AD=BC，OC=AC， 因为点F是AB的中点，BC=3BE， 所以BA=2BF，BC=3BE. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ， . 【点睛】本题考查向量的混合运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用． 三、解答题 19．计算： ． 【答案】 【分析】根据向量的计算法则与实数运算基本相同，先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握向量的运算法则是解答的关键． 20．，是已知向量，且，不平行，是未知向量，且，则表示、、的有向线段能构成三角形吗？ 【答案】能构成三角形 【分析】先化简，用，表示出，然后把、、三个向量相加，判断是否能等于，即可说明. 【详解】解： ， 则，则表示、、的有向线段能构成三角形. 【点睛】本题考查了平面向量的知识，熟练掌握平面向量的知识及三角形法则是解决本题的关键. 21．如图，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，，并求的模长．    【答案】作图见解析；的模长为3． 【分析】如图1：过点A作=，连接OC，则即为所求；如图2，作=，过点A作=，连接DC，则即为所求； 首先连接AB，由，易得△OAB是等边三角形，△OAC是等腰三角形，然后由三角函数的性质，求得答案． 【详解】解：如图1：过点A作=， 连接OC， 则=， 即为所求； 如图2，作=， 过点A作=， 连接DC， 则=， 即为所求； 连接AB， 则=﹣， ∵， ∴OA=OB=AB=， ∴∠AOB=60°， ∵， ∴AC∥OB，AC=OB， ∴∠C=∠COB， ∵OA=OB， ∴OA=OC， ∴∠C=∠AOC， ∴∠AOC=∠COB=∠AOB=30°， ∴OD⊥AB， ∴OD=OA•cos∠AOD=×，CD=AC•cos∠C==×， ∴OC=3， ∴的模长为3．    【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量等知识，解题的关键是理解向量的定义以及向量和差定义，属于中考常考题型． 22．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【答案】（1）；；（2）作图见解析． 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量在方向上的分向量． 【详解】解：（1）∵EF是的中位线，． ∴==， ∵， ∴ （2）如图，过点E作EM∥AC， 则与即为向量在、方向上的分向量．    【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． 23．已知：如图，四边形的边，的中点分别为、．求证：． 【答案】见解析 【分析】四边形的边，的中点分别为、，说明，，再根据向量运算法则，可以证明. 【详解】连结，． E,F分别为AD,BC的中点 ,. ，    ① ，    ② ①＋②，得． 【点睛】本题考查向量的加法运算和减法运算. 24．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD上． （1）填空：=　　　；=　　　； （2）求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）． 【答案】（1）；；（2）作图见解析． 【分析】（1）根据，﹣，等量代换后运算即可； （2）将转化为，将△ADE向右补全为平行四边形，则AF即是所求向量． 【详解】解：（1）∵，﹣， ∴；； （2）所作图形如下： ∴即为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的知识，注意掌握向量的加减运算法则及向量的平移，属于基础题． 25．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设 ，． （1）求向量（用向量 、 表示）； （2）求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】略 【分析】（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算； （2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量向量在、方向上的分向量． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∵，且 ∴； （2）解：如图， 所以，向量、即为所求的分向量． 【考点】*平面向量． 26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、B、C的坐标分别为（2,0）、（-1,3）、（-2，-2）. （1）在图中作向量； （2）在图中作向量； （3）填空： . 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）. 【分析】（1）根据平行四边形法则，即可画出向量； （2）根据平行四边形法则，即可画出向量； （3）根据平行四边形法则，首先求得 与 的和，然后求得结果． 【详解】(1)如图： (2)如图： (3) =. 故答案为 . 【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于掌握向量得加法法则. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面向量的线性运算（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1：实数与向量相乘 2：向量的线性运算 题型巩固 一、实数与向量相乘 二、向量的相关概念 三、向量的线性运算 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点01：实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 知识点02：向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 题型巩固 题型一、实数与向量相乘 1．（2023·上海崇明·一模）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 （用向量的式子表示）． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）已知非零向量，求作，．    题型二、向量的相关概念 4．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（   ） A．， B．， C． D． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 题型三、向量的线性运算 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，，那么等于（   ） A． B． C． D． 7．（2025·上海静安·一模）如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为 ． 8．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，点、分别是边、的中点．设，． (1)填空：向量______（用向量，的式子表示）． (2)在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 分层强化 一、单选题 1．计算的结果是（　　） A．a B． C．﹣a D． 2．以下说法错误的是（　   ） A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 3．如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令=+，则=（　　） A．1 B． C． D．2 4．梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，若AD：BC=1：3，=，=（　　） A．﹣ B．2 C．3 D． 5．在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是(   ) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 6．在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，AD=BC，=，那么等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．化简： ． 8．向量在方向上的分量分别则＝ 9．已知向量与方向相反，长度为6，则 10．化简：= ． 11．△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是 . 12．已知向量与单位向量方向相反，且，那么= （用向量的式子表示） 13．一架飞机向北飞行300 km，然后改变方向向西飞行300 km，则飞机两次位移的和为 . 14．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为 15．G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于D，设=，＝，试用、表示向量= ． 16．如果、、满足关系式，那么 （用向量、表示）. 17．如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量 （结果用、表示）． 18．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 三、解答题 19．计算： ． 20．，是已知向量，且，不平行，是未知向量，且，则表示、、的有向线段能构成三角形吗？ 21．如图，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，，并求的模长．    22．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      23．已知：如图，四边形的边，的中点分别为、．求证：． 24．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD上． （1）填空：=　　　；=　　　； （2）求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）． 25．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设 ，． （1）求向量（用向量 、 表示）； （2）求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、B、C的坐标分别为（2,0）、（-1,3）、（-2，-2）. （1）在图中作向量； （2）在图中作向量； （3）填空： . 学科网（北京）股份有限公司 $$