微练(87) 概率与统计的综合问题-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

概率与统计的综合问题 微练(八十七) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 9 1 2 3 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 11 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 12 1 2 3 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1．(2025·长沙适应性考试)某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表： 优质品 非优质品 更新前 24 16 更新后 48 12 (1)依据小概率值α＝0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率； 零假设为H0：设备更新与提高产品的优质率独立，即设备更新后不能提高产品优质率． 由题中列联表可得χ2＝≈4.762>3.841，依据小概率值α＝0.050的独立性检验，我们可以推断H0不成立，因此可以认为设备更新后能提高产品优质率． (2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率．质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败． ①求经核查认定设备更新失败的概率p； ②根据p的大小解释核查方案是否合理． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋D． α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 根据题意，设备更新后产品的优质率为0.8.可以认为从更新后的生产线中抽出的5件产品是否为优质品是相互独立的． ①设X表示这5件产品中优质品的件数，则X～B(5,0.8)，可得p＝P(X≤2)＝C×0.25＋C×0.8×0.24＋C×0.82×0.23＝0.057 92. ②实际上设备更新后提高了优质率．当这5件产品中的优质品件数不超过2时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的． 2.(2025·东北三省四市联考)入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的“小土豆”们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在某APP平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在该APP平台10天销售优惠券的情况. 第t天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y/千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：＝i＝2.2，iyi＝118.73，＝385. (1)由于优惠券购买火爆，该APP平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； 剔除第10天的数据，可得＝＝2.4，＝＝5，则iyi＝118.73－10×0.4＝114.73，＝ 385－102＝285，所以＝＝＝，可得＝2.4－×5＝，所以＝t＋. (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用2张优惠券，且顾客选择套餐后才能购买套餐可用数量的优惠券．记该APP平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn及Pn的最大值与最小值． 附：在经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－. 由题意知P1＝，P2＝×＋＝，当n≥3时，Pn＝Pn－1＋Pn－2，所以Pn＋Pn－1＝Pn－1＋Pn－2(n≥3)，又P2＋P1＝＋×＝1，所以当n≥2时，是各项都为1的常数列，即Pn＋Pn－1＝1(n≥2)，所以Pn－＝－(n≥2)．又P1－＝－＝－，所以数列是首项为－、公比为－的等比数列，故Pn－＝－n－1，所以Pn＝ －n－1＋＝＋n.当n为偶数时，Pn＝＋·n>，Pn随n的增大而减小，最大值为P2＝.当n为奇数时，Pn＝－·n<，Pn随n的增大而增大，最小值为P1＝.综上可得，数列{Pn}的最大值为，最小值为. 3.某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行A，B，C三项工序，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少两项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有一项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A，B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A，B，C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p(0<p<1)． (1)记某产品被确定为“不合格”的概率为f(p)，求f的值； 依题意，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为Cp2(1－p)＋Cp3，首次检验有且只有一项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为Cp(1－p)2[1－(1－p)2]．因为f(p)＝Cp2(1－p)＋Cp3＋Cp·(1－p)2[1－(1－p)2]＝－3p5＋12p4－17p3＋9p2，所以f＝. (2)若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用(包含检验费用与其他费用)为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由. 设每个产品检验的费用为X元，则X的可能取值为120,200，依题意，P(X＝200)＝Cp(1－p)2，P(X＝120)＝1－Cp(1－p)2，则E(X)＝200Cp(1－p)2＋120[1－Cp(1－p)2]＝120＋240p(1－p)2，p∈(0,1)．设函数g(x)＝120 ＋240x(1－x)2，x∈(0,1)，求导得g′(x)＝240(3x－1)(x－1)，当0<x<时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减．因此g(x)≤g＝，即E(X)≤，则该企业检验总费用的期望最大值为2＋500××10－4＝(万元)，因为<10，所以预测该企业检验总费用不会超过预算． $$