微练(85) 离散型随机变量及其分布列与数字特征-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

离散型随机变量及其分布列与数字特征 微练(八十五) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 素养提升 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．设抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　) A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5 “放回5个红球”表示前五次抽到黑球，第六次抽到红球，故ξ＝6.故选C. 2．已知P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，随机变量Y＝2X－1，则P(Y≥3)＝(　　) A． B． C． D． 由题意可知P(Y≥3)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.故选B. 3．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则X的均值E(X)等于(　　) A． B．2 C． D．3 由题意得＋a＋＝1，解得a＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选A. 4．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3，所以＝a×＋3，解得a＝2.故选B. 5．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为(　　) A． B． C． D． 记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15，P(X＝0)＝2×＝，P(X＝5)＝C×××＋2×＝，P(X＝10)＝C×××＋2×＝，P(X＝15)＝2×＝，所以E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.故选B. 6．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益X/亿元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益Y/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是(　　) A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小 C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高 由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高．故选A. 二、多项选择题 7．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则(　　) A．X的所有可能取值是3,4,5 B．X最有可能的取值是5 C．X取值是3的概率为 D．X的数学期望是 记 “一个未使用过的乒乓球”为A, “一个已使用过的乒乓球”为B，任取3个球的所有可能是1A2B,2A1B,3A，A使用后成为B，故X的所有可能取值是3,4,5，故A正确；P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以X最有可能的取值是4，故B错误，C正确；E(X)＝3×＋4×＋5×＝，故D错误．故选AC. 8．已知某商场某种商品的单件销售利润为X，X的可能取值为0，a,2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变量X的分布列为 X 0 a 2 P b 则下列结论正确的是(　　) A．b＝ B．若该商场销售5件该商品，其中有3件销售利润为0的概率为 C．D(X)min＝ D．当D(X)最小时，E(X)＝ 对A，由题意知，＋b＋＝1，所以b＝，故选项A正确．对B，该商场销售5件该商品，其中有3件销售利润为0的概率为C32＝，故选项B正确．对C，随机变量X的期望E(X)＝0×＋a＋2×＝(a＋1)，D(X)＝2×＋2×＋2×＝×(2a2－2a＋5)＝×，因为0<a<2，所以当a＝时，D(X)最小，且 D(X)min＝，故选项C正确．对D，由C知，当D(X)最小时，a＝，所以E(X)＝×＝，故选项D错误．故选ABC. 三、填空题 9．某射击选手射击环数的分布列为 X 7 8 9 10 P 0.3 0.3 a b 若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________． 由分布列的性质，得P(X≥9)＝a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 40% 10．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________. 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝C×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. 0.4 11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为 p(0<p<1)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值范围为________． 由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，解得p>或p<，又p∈(0,1)，所以p∈. 四、解答题 12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求： (1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率； “所选3人中女生人数X≤1”的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝. (2)X的均值与方差． 因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的人数，所以X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 13．(2025·辽宁模拟)民航招飞是指普通高校飞行技术专业(本科)通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生A，B，C这三人报名民航招飞． (1)求A，B，C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率； 因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1，且能否通过相互独立，所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为P＝×××1＝.故A，B，C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率P0＝C2×＝. (2)根据A，B，C这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，，设随机变量X为A，B，C这三人中能被招飞院校录取的人数，求X的分布列和数学期望． 因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为P＝，且预估A，B，C能被招飞院校录取的概率分别为，，，所以A能被招飞院校录取的概率为P1＝×＝，B能被招飞院校录取的概率为P2＝×＝， C能被招飞院校录取的概率为P3＝×＝，由题知，X的可能取值为0,1,2,3，所以P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋×××2＝，P(X＝2)＝×××2＋××＝，P(X＝3)＝××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 14．(2024·北京高考)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元． 假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； 解法一：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知索赔次数为2,3,4，所以P(A)＝＝＝. 解法二：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算，则P(A)＝1－＝. (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． (ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)； (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明) (ⅰ)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，则P(X＝0.4)＝＝0.8，P(X＝－0.4)＝＝0.1，P(X＝－1.2)＝＝0.06，P(X＝－2.0)＝＝0.03，P(X＝－2.6)＝＝0.01，故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122. (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大．证明如下： 设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则 对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384， 对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32， 对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12， 对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92， 对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52， 故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2.所以E(X)<E(Y)． $$