微练(40) 以三角函数为载体的新定义问题-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数与新定义综合问题，依据高考评价体系梳理核心考点，分析函数关系判定、取值范围求解、周期性与对称性应用等高频考点权重，归纳新定义函数、三角函数性质综合等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于新定义问题解析与三角函数性质深度融合，通过换元法求值域、周期性推导等典型题型突破，培养学生数学思维和数学语言表达能力。如利用二次函数配方求三角函数复合函数范围，帮助学生掌握解题技巧，助力教师精准指导复习，提升学生高考冲刺得分率。

微练(四十) 以三角函数为载体的新定义问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 10 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 11 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 13 1．对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2使得f(x1)－g(x2)＝k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k)． (1)若f(x)＝cos x，x∈[0，π]，g(x)＝sin x，x∈[0，π]，判断f(x)与g(x)是否具有关系M(－2)，并说明理由； f(x)与g(x)具有关系M(－2)，理由如下：当x∈[0，π]时，f(x)＝cos x∈[－1,1]，g(x)＝sin x∈[0,1]，当x1＝π时，f(x)＝f(π)＝－1，当x2＝时，g(x)＝g＝1，此时f(π)－g＝－2，则f(x)与g(x)具有关系M(－2)． (2)若f(x)＝2sin x与g(x)＝2cos2x＋sin x－1具有关系M(k)，求k的取值范围； f(x)＝2sin x∈[－2,2]，g(x)＝2cos2x＋sin x－1＝cos 2x＋sin x＝1－2sin2x＋sin x＝－22＋，因为sin x∈[－1,1]，则当sin x＝－1时，－22＋＝－2，则g(x)∈，所以[f(x1)－g(x2)]∈，则k∈. (3)已知a>0，h(x)为定义在R上的奇函数，且满足： ①在[0,2a]上，当且仅当x＝时，h(x)取得最大值1； ②对任意x∈R，有h(a＋x)＝－h(a－x)． 判断f(x)＝sin 2πx＋h(x)与g(x)＝h(x)－cos 2πx是否具有关系M(4)，并说明理由. 不具有M(4)关系，理由如下：因为在[0,2a]上，当且仅当x＝时，h(x)取得最大值1；又f(x)为定义在R上的奇函数，故在[－2a,0]上，当且仅当 x＝－时，f(x)取得最小值－1，由对任意x∈R，有h(a＋x)＋h(a－x)＝0，所以y＝f(x)关于点(a,0)对称，又h(a＋x)＝－h(a－x)＝h(x－a)，所以h(x)的周期为2a，故h(x)的值域为[－1,1]，sin 2πx∈[－1,1]，cos 2πx∈[－1,1]，当h(x1)＝1时，x1＝＋2na，n∈Z；sin 2πx1＝1时，x1＝＋k，k∈Z，若＋2na＝＋k，则a＝，k，n∈Z，此时有f(x1)＝sin 2πx1＋h(x1)＝2；当h(x2)＝－1时，x2＝－＋2ma，m∈Z；cos 2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z， 若－＋2ma＝t，则a＝，t，m∈Z时，有g(x2)＝h(x2)－cos 2πx2＝－2；由于a＝≠，所以sin 2πx1＋h(x1)＋cos 2πx2－h(x2)<4，故不存在x1∈R，x2∈R，使得sin 2πx1＋h(x1)＋cos 2πx2－h(x2)＝4，所以f(x)＝sin 2πx＋h(x)与g(x)＝h(x)－cos 2πx不具有关系M(4)． 2.对于定义域为R的函数y＝g(x)，若存在常数T>0，使得y＝sin(g(x))是以T为周期的周期函数，则称y＝g(x)为“正弦周期函数”，且称T为其“正弦周期”． (1)判断函数y＝x＋cos是否为“正弦周期函数”，并说明理由； g(x)＝x＋cos，则g(x＋4π)＝x＋4π＋cos＝x＋cos＋4π，故sin(g(x＋4π))＝sin＝sin＝sin(g(x))，所以y＝x＋cos是正弦周期函数． (2)已知y＝g(x)是定义在R上的严格增函数，值域为R，且y＝g(x)是以T为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若g(0)＝，g(T)＝，且存在x0∈(0，T)，使得g(x0)＝，求g(2T)的值； 存在x0∈(0，T)，使得g(x0)＝，故sin(g(x0))＝sin＝1，因为y＝g(x)是以T为“正弦周期”的“正弦周期函数”，所以sin(g(x0＋T))＝sin(g(x0))＝1，又g(T)＝，sin(g(T))＝1，所以sin(g(x0＋T))＝sin(g(T))＝1， 又sin(g(2T))＝sin(g(T))，则sin(g(x0＋T))＝sin(g(2T))＝1，故g(x0＋T)＝2mπ＋，g(2T)＝2tπ＋，m，t∈Z，因为x0∈(0，T)，所以x0＋T∈(T,2T)，且y＝g(x)严格增，由于g(0)＝，g(T)＝，g(x0)＝，故2mπ＋>，2tπ＋>2mπ＋，解得m>2，t>m，则整数m≥3，t≥4，下证t＝4.若不然，t≥5，则g(2T)＝2tπ＋≥，由y＝g(x)的值域为R知，存在x1，x2∈(T,2T)， x1≠x2，使得g(x1)＝，g(x2)＝，则sin(g(x1))＝sin(g(x2))＝sin(g(x1－T))＝sin(g(x2－T))＝1,0<x1－T<x2－T<T，由y＝g(x)严格单调递增可知＝g(0)<g(x1－T)<g(x2－T)<g(T)＝，又sin(g(x1－T))＝sin(g(x2－T))＝1，故x1－T＝x2－T＝x0，这与x1≠x2矛盾. 故t＝4，综上所述，g(2T)＝. (3)已知y＝h(x)是以T为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在a>0和A>0，使得对任意x∈R，都有h(x＋a)＝Ah(x)，证明：y＝h(x)是周期函数. 解法一：若A＝1，则由h(x＋a)＝h(x)可知y＝h(x)为周期函数．若0<A<1，则对任意x0∈R，存在正整数n，使得|Anh(x0)|≤1且|Anh(x0＋T)|≤1.因为y＝h(x)是以T为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且h(x＋a)＝Ah(x)，所以sin(Anh(x0＋T))＝sin(h(x0＋na＋T))＝sin(h(x0＋na))＝sin(Anh(x0))，故h(x0＋T)＝h(x0)，所以h(x＋T)＝h(x)，若A>1，则同理可证(取n为负整数即可)．综上，得证． 解法二：假设y＝h(x)不是周期函数，则h(x＋T)＝h(x)与h(x＋a)＝h(x)均不恒成立．显然A≠1.因为h(x＋T)＝h(x)不恒成立，所以存在x0∈R，使得h(x0＋T)≠h(x0)，因为A∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以存在n∈Z，使得|Anh(x0)|<1且|Anh(x0＋T)|<1，其中若A>1，取n为负整数；若0<A<1，取n为正整数．因为y＝h(x)是以T为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且h(x＋a)＝Ah(x)，由正弦周期性得sin(Anh(x0＋T))＝sin(h(x0＋na＋T))＝sin(h(x0＋na))＝sin(Anh(x0))，即sin(Anh(x0＋T))＝sin(Anh(x0))，所以h(x0＋T)＝h(x0)，矛盾，假设不成立，综上，y＝h(x)是周期函数． $$