微练(39) 解三角形应用举例-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦解三角形应用专题，依据高考评价体系梳理实际测量、面积计算等核心考点，通过考点权重分析明确实际应用题占比，归纳距离测量、高度估算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“基础过关+素养提升”分层训练，结合真题解析培养数学眼光与推理能力，如距离测量问题中通过构建三角形模型、运用正弦定理转化边角关系的突破方法，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导学情实现高效备考。

解三角形应用举例 微练(三十九) 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 素养提升 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1. 如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是(　　) A．25 m B．50 m C．25 m D．50 m 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝＝25(m)．故选A. 2．一艘船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是(　　) A．5海里/时 B．5海里/时 C．10海里/时 D．10海里/时 如图所示，由题意知∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，可得CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，AB＝ACcos 60°＝5，所以这艘船的速度为＝10(海里/时)．故选C. 3. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.故选B. 4．位于灯塔A处正西方向相距(5－5)n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距5n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(　　) A．30° B．60° C．75° D．45° 依题意，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，如图，则AB＝5－5，AC＝5，∠ACD＝45°.在Rt△ADC中，AD＝DC＝5.在Rt△BDC中，BD＝5，DC＝5，所以tan∠BCD＝＝.又因为0°<∠BCD<90°，所以∠BCD＝60°，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西60°.故选B. 5. 小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是(　　) ①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1. A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 根据题意，由正弦定理可以求出△P1P2D的三个角和三条边．选①，在△DCP1中，＝，故CD＝，故①可以求出CD；③与①条件等价．选②，在△P1P2C中，＝，故P1C＝，在△P1CD中，利用余弦定理求解CD即可．故选D. 6．(2025·南京模拟)我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行4米绳索用尽(绳索与地面接触)，则绳索长为(　　) A．3米 B．4米 C．5米 D．16米 如图所示，AB＝4，CD＝4，∠ACB＝75°，所以∠CAB＝90°－75°＝15°.所以BC＝ABtan∠CAB＝4tan 15°＝4tan(45°－30°)＝4×＝4×＝8－4.所以BD＝BC＋CD＝8.所以AD＝＝＝4.所以绳索长 为4米．故选B. 二、多项选择题 7．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向上，距离为12n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离为8n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是(　　) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C．灯塔C在D处的西偏南60°方向上 D．D处在灯塔B的北偏西30°方向上 如图，在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°， ∠DAB＝75°，则∠B＝45°，又AB＝12，由正弦 定理得AD＝＝＝24，所以 A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确；在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°，又AC＝8，解得CD＝8.所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B错误；因为AC＝CD＝8， 所以∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°方向上，故C正确；灯塔B在D处的南偏东60°方向上，D处在灯塔B的北偏西60°方向上，故D错误．故选AC. 8．(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，一定可以计算出旗杆高度的方案有(　　) A．在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间的距离 B．在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离 D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β 设旗杆CD的高度为x，对于A，当A，B， 旗杆底部三点不共线时，如图①，已知AB的长 度，∠CAD＝α，∠CBD＝β，无法求出x，故A 错误；对于B，如图②，设旗杆对面的某建筑物 为AB，则BD＝＝，可求出x的值，故 B正确；对于C，如图③，＝tan α，可求出x 的值，故C正确；对于D，如图④或图⑤，－＝5或＋＝5，可求出x的值，故D正确．综上，选BCD. 三、填空题 9．甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝________. 如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝ 180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝ ＝，所以sin∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<60°， 所以∠BAC＝30°，所以θ＝60°－30°＝30°. 30° 10．(2025·辽宁联考)《海岛算经》是魏晋时期数 学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松 树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的 解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度． 如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B(点A，B在建筑物的同一侧，且点A，B，C，D位于同一个平面内)，测得AB＝20 m，在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，67°，在点B处测得点D的仰角为33.5°，则塔高CD约为________ m. 24 如图，延长DC与BA的延长线交于点E，则∠DAE＝67°，∠CAE＝30°，∠DBA＝33.5°，所以∠ADB＝67°－33.5°＝33.5°，∠ACE＝90°－30°＝60°，所以AD＝AB＝20.在△ACD中，∠CAD＝67°－30°＝37°，∠ACD＝180°－60°＝120°，由正弦定理，得CD＝ ≈＝24(m)，即塔高CD 约为24 m. 11. 如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为________ km(精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891)． 5.8 在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，即49＝25＋BD2－2×5×BD×，整理可得BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8或BD＝－3(舍去)．在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.由正弦定理＝可得，BC＝＝≈≈5.8(km)． 四、解答题 12．为了测量隧道口A，B间的距离，开车从A点出发，沿正西方向行驶400米到达D点，然后从D点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口B点处，测得B，D间的距离为1 000米． (1)若隧道口B在点D的北偏东θ方向上，求cos θ的值； 在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠CDB＝，由题可知，∠CDB<90°，所以cos∠CDB＝，即cos θ＝. (2)求隧道口A，B间的距离． 由(1)可知，cos∠ADB＝sin∠CDB＝.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2·BD·ADcos∠ADB＝1 0002＋(400)2－2×1 000×400×＝1 000 000，所以AB＝1 000，故隧道口A，B间的距离为1 000米． 13．如图，某研究性学习小组同学为测量当地防洪纪念塔AB的高度及塔顶A相对取景点D与F的张角∠DAF(其中B，C，D，F在同一水平面上，纪念塔AB垂直水平面于点B，且B，C，D三点共线)，小组同学在C，D，F测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，30°.已知∠FCB＝60°，CD＝ (－1)米． (1)求防洪纪念塔AB的高度； 设AB＝x米，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝＝x.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，则BC＝x米，而CD＝(－1)米，即x－x＝(－1)，解得x＝，所以防洪纪念塔AB的高度是米． (2)求cos∠DAF. 连接DF，如图，由(1)及已知有BF＝BD＝BC，在△BCF中，由余弦定理得BF2＝CF2＋BC2－2CF·BCcos∠FCB，即CF2－CF·BC－2BC2＝0，则CF＝2BC＝45.在△CDF中，∠DCF＝120°，由余弦定理得DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠DCF＝(2－)＋452＋(－1)＝×452.在△ADF中，AD＝AF＝2AB＝45，由余弦定理得 cos∠DAF＝＝＝. 14．(2024·昆明二诊)早期天文学家常采用“三角 法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球 E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均 为圆，三个星体的位置如图所示．地球在E0位置时， 测出∠SE0M＝；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.7)(　　) A．2.1R B．2.2R C．2.3R D．2.4R 连接E1E0，由题知∠SE0M＝，∠SE1M＝，∠E1SE0＝，所以∠E1ME0＝.SE1＝SE0＝R，则△SE1E0为等边三角形，E1E0＝R.在△E1ME0中，由正弦定理＝，即＝，解得ME0＝R.在△SE0M中，由余弦定理SM2＝SE＋ME－2SE0·ME0·cos∠SE0M，即SM2＝R2＋2－2R·R·，得SM2＝R2≈4.2R2，所以SM≈≈2.05R，接近2.1R，故选A. 15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°，则最大高度CH为________米．(已知声音的传播速度为340米/秒) 140 设BC＝x，由条件可知AC＝x＋×340＝x＋40.在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420(米)．在Rt△ACH中，CH＝AC·tan∠HAC＝420×＝140(米)． $$