微练(36) 函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习
2025-09-10
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教辅
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用专题，依据高考评价体系梳理图像性质、参数确定、实际应用等核心考点，通过基础过关与素养提升分层训练，明确图像变换、最值求解等高频题型占比，体现备考针对性。
课件亮点在于融合高考真题训练与核心素养培养，如通过“五点法”求参数φ的典型题解析，培养学生用数学眼光观察图像特征、用数学思维推理参数关系的能力，特设易错点分析如相位变换方向判断，帮助学生掌握答题技巧，助力高考冲刺，为教师提供系统复习指导。
内容正文：
函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用
微练(三十六)
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一、单项选择题
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D项，当x∈时，－≤2x－≤－，在此区间上函数不会出现最高点，排除C项．故选A.
2．由y＝sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两种方法：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．( )
A．， B．， C．， D．，
3．某艺术展览馆在开馆时间段(9：00－16：00)的参观人数(单位：千)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数关系f(t)＝Asin＋5(A>0,9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为( )
A．1万 B．9千 C．8千 D．7千
下午两点整即t＝14，当t＝14时，f(t)＝7，即Asin＋5＝7，所以A＝4.因为当9≤t≤16时，t－∈，所以当t－＝时，f(t)取得最大值，且最大值为4＋5＝9.故选B.
4．设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A． B．
C． D．
解法一：由题图知，f＝0，所以－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T＜2π＜2T，所以＜2π＜，所以1＜|ω|＜2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，所以T＝＝.故选C.
解法二：由题图知，f＝0且f(－π)＜0，f(0)＞0，所以－ω＋＝－(ω＞0)，解得ω＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝.故选C.
5．将函数y＝sin(2x＋φ)图象上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度得到曲线C．若曲线C关于y轴对称，则φ的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．
将函数y＝sin(2x＋φ)图象上各点横坐标缩短到原来的，得到的图象对应函数y＝sin(4x＋φ)，再向左平移个单位长度得到曲线C，则曲线C对应
的函数解析式为y＝sin＝sin，又曲线C关于y轴对称，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ－，又|φ|<，所以φ＝－.故选B.
6．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若不等式f(x)≤对∀x∈R成立，且f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
由已知得＝＝1，又0<φ<π，故＋φ＝，得φ＝，因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以＋＝＋kπ，k∈Z，则ω＝2＋8k>0，k∈Z，所以当k＝0时，ω的最小值为2.故选B.
二、多项选择题
7．设函数f(x)＝sin的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )
A．是曲线E的一个对称中心
B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为
C．将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线E重合
令x＝－，得f＝－1，为最小值，故f(x)的图象关于直线x＝－对称，故A错误；若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为＝×＝，故B正确；将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象，故C错误；将曲线y＝sin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，与曲线E重合，故D正确．故选BD.
8．(2025·潍坊模拟)函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1(0<ω<1)的图象如图所示，则( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．y＝f是奇函数
C．y＝fcos x的图象关于直线x＝对称
D．若y＝f(tx)(t>0)在[0，π]上有且仅有2个零点，则t∈
f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.由题图知x＝时f(x)取得最大值，所以sin＝1，得＋＝＋2kπ，k∈Z，ω＝＋3k，k∈Z，因为0<ω<1，所以ω＝，f(x)＝2sin.对于A，f(x)的最小正周期T＝＝2π，故A正确；对于B，f＝2sin＝2sin＝2cos 2x，所以y＝f是偶函数，故B错误；对于C，fcos x＝
2sincos x＝(sin x＋cos x)cos x＝sin xcos x＋cos2x＝＝sin＋，当x＝时，2x＋＝，所以y＝fcos x的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D，f(tx)＝2sin，当x∈[0，π]时，tx＋∈，结合y＝sin x的图象知，若y＝f(tx)(t>0)在[0，π]上有且仅有2个零点，则tπ＋∈[2π，3π)，得t∈，故D正确．综上，选ACD.
三、填空题
9．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f(x)的解析式是__________________；函数f(x)在区间上的值域是
_________________．
f(x)＝sin
由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，再把所得图象向右平移个单位长度，可得f(x)＝sin＝sin的图象．当x∈时，2x－∈，则sin∈.
10．(2025·重庆调研)已知f(x)＝2asin ωx·cos ωx＋bcos 2ωx(ω>0)的部分图象如图所示，当x∈时，f(x)的最大值为________．
由题意可知f(x)＝asin 2ωx＋bcos 2ωx＝sin(2ωx＋φ)，其中ω>0，tan φ＝，由题图可知＝2，＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1，则f(x)＝2sin(2x＋φ)，又函数f(x)的图象过点，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2sin＝2sin.令t＝2x＋，因为x∈，
所以t∈，所以当t＝，即x＝0时，f(x)取得最大值，且最大值为.
11．已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是______________．
因为x∈，所以2x－∈，所以2sin∈，且当x＝时，f＝1，所以其函数图象如图所示．因为
y＝f(x)与y＝t只有一个交点，即关于x的方程f(x)＝
t(t∈R)在区间上有唯一解，结合函数图象可知
－1≤t<1或t＝2.
[－1,1)∪{2}
四、解答题
12．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
由题意知T＝＝π，解得ω＝2，又f＝cos＝cos＝－sin φ＝，－<φ<0，解得φ＝－.
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.
ωx＋φ
x
f(x)
由(1)知，f(x)＝cos，填表如下：
ωx＋φ
－
0
π
x
0
π
f(x)
1
0
－1
0
图象如图：
13．(2025·岳阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的最小正周期及解析式；
由题图可知y＝f(x)的最大值为1，最小值为－1，故A＝1.又＝－＝＝，所以ω＝2，将点代入y＝f(x)，f＝sin＝－1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，故f(x)的最小正周期为π，f(x)＝sin.
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度
得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间
上的最大值和最小值．
由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝sin＝sin，因为x∈，所以2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，g(x)min＝－；当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝1.故函数g(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.
14．函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得y＝cos＝cos＝－sin 2x的图象，即f(x)＝－sin 2x的图象，画出函数y＝f(x)与y＝x－的图象如图，可得它们有3个交点，故选C.
15．(多选题)函数f(x)＝Asin (2x＋φ)的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(0)＝
B．a＋b＝
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)在区间上有极小值
由题图可得A＝2，由f(a)＝f(b)＝0得b－a＝(T为f(x)的最小正周期)，又T＝＝π，所以b－a＝.因为x1，x2∈[a，b]，f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝a＋b.由题图可得，f＝2sin(x1＋x2＋φ)＝2sin(a＋b＋φ)＝2，所以a＋b＋φ＝，即a＋b＝－φ.因为f(x1＋x2)＝，所以f(a＋b)＝，所以2sin(2a＋2b＋φ)＝，所以sin(2a＋2b＋φ)＝sin(π－2φ＋φ)＝sin(π－φ)＝
sin φ＝，又|φ|≤，所以φ＝，f(x)＝2sin，则f(0)＝2sin＝，故A正确；a＋b＝－φ＝－＝，故B错误；当x∈时，2x＋∈，函数f(x)单调递增，故C正确；当x∈时，2x＋∈(π，2π)，f(x)有极小值，故D正确．故选ACD.
16．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则φ＝________.
如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和矩形EFGH的面积之和，即S＝S矩形ABCD＋ S矩形EFGH＝2S矩形ABCD.因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象，所以S矩形ABCD＝θ×1＝θ.又因为图中阴影部分的面积为，所以2θ＝，解得θ＝.又由图象可得＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
因为f＝sin＝1，可得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.
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