微练(33) 三角函数的定义域、值域与单调性-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习
2025-09-10
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教辅
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦三角函数的定义域、值域与单调性核心考点，依据高考评价体系梳理了定义域求解、值域最值、单调性判断三大考查维度，通过2025年温州模拟、长沙联考等真题分析，明确了复合函数定义域（如含对数、根式的三角函数）占30%、区间值域（如给定区间的正弦余弦函数最值）占40%的高频考点分布，归纳了选择、填空、解答等常考题型。
课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”的备考策略，如第9题利用换元法将余弦函数转化为二次函数求最值，第5题通过图像法分析方程根的个数，培养学生的运算能力和推理意识。特设“易错陷阱警示”（如忽略正切函数定义域限制），帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习教学。
内容正文：
微练(三十三)
三角函数的定义域、值域与单调性
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一、单项选择题
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
由函数y＝lg(tan 2x)有意义得tan 2x>0，所以kπ<2x<kπ＋，k∈Z，所以<x<＋，k∈Z，所以函数y＝lg(tan 2x)的定义域是(k∈Z)．故选D.
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
由题意，得2sin x－1≥0，x∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B.
3．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－ C． D．0
由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.
4．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则下列结论正确的是( )
A．sin α<sin β B．cos α<sin β
C．cos α<cos β D．cos α>cos β
因为α，β是锐角三角形的两个内角，所以α＋β>，所以0<－β<α<.所以cos α<cos＝sin β.故选B.
5．(2025·温州模拟)已知函数f(x)＝cos x，若关于x的方程f(x)＝a在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
如图，作出函数y＝cos x，x∈的图象及直线y＝a，由图可知当a∈时，直线y＝a与曲线y＝cos x，x∈有两个交点，即关于x的方程f(x)＝a在区间上有两个不同
的根．故选C.
6．(2025·长沙联考)已知函数f(x)＝(sin x－cos x)cos x，若f(x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
f(x)＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－·＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，令t＝2x－，则y＝sin t－，因为x∈，所以t∈，又因为f(x)在区间上是单调函数，则y＝sin t－在区间上是单调函数，所以－π<2θ－≤－，即－<2θ≤－，解得－<θ≤－.故选C.
二、多项选择题
7．下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝tan 2x
C．y＝cos 2x D．y＝sin 2x
对于A，y＝|cos x|的周期为π，在上单调递增，符合要求；对于B，y＝tan 2x的周期为，在和上单调递增，不符合要求；对
于C，y＝cos 2x的周期为π，在上单调递增，符合要求；对于D，y＝sin 2x的周期为π，在上不单调，不符合要求．故选AC.
8．已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，所以f(x)在上
单调递减，故B不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；因为y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)可以取到最大值2，故D正确．故选AD.
三、填空题
9．(2025·衡水调研)函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为________．
f(x)＝2cos x－cos 2x＝－2cos2x＋2cos x＋1，设t＝cos x，t∈[－1,1]，g(t)＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，则当t＝时，g(t)max＝，所以函数f(x)＝2cos x－cos 2x的最大值为.
10．函数f(x)＝sin xsin－1(x∈(0，π))的最大值是________，单调
递增区间是____________________．
f(x)＝sin xsin－1＝sin x－1＝sin2x＋sin xcos x－1＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin－，因为0<x<π，所以
－
和
0<2x<2π，所以－<2x－<π，所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值－.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.又x∈(0，π)，所以f(x)的单调递增区间是和.
11．已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________(用“<”表示)．
函数f(x)＝2sin＝2sin，a＝f＝2sin，b＝f＝2sin，c＝f＝2sin＝2sin，因为y＝sin x在上单调递增，且<<，所以sin<sin<sin，即c<a<b.
c<a<b
四、解答题
12．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
13．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
因为函数f(x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
14．(2024·天津一模)下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin|x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝|cos 2x|
对于A，f(0)＝sin|0|＝0，f＝sin＝1≠f(0)，故f(x)＝sin|x|不以为周期，故A错误；对于B，f＝|sin(2x＋π)|＝|sin 2x|＝f(x)，故f(x)＝|sin 2x|
的一个周期为，当x∈时，2x∈，y＝sin x在上单调递减，且y＝sin x>0，故f(x)＝|sin 2x|在上单调递减，故B错误；对于C，f(0)＝cos|0|＝1，f＝cos＝0≠f(0)，故f(x)＝cos|x|不以为周期，故C错误；对于D，f＝|cos(2x＋π)|＝|cos 2x|＝f(x)，故f(x)＝|cos 2x|以为周期，当x∈时，2x∈，y＝cos x在上单调递减，但y＝
cos x<0，故x∈时，f(x)＝|cos 2x|＝－cos 2x，故f(x)＝|cos 2x|在上单调递增，故D正确．
15．(多选题)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，且f＝－f＝1，则( )
A．ω＝3 B．φ＝－ C．ω＝2 D．φ＝
因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，所以＝·≥－＝，所以0<ω≤2，因为f＝－f＝1，所以sin＝
－sin＝1，所以ω＋φ＝＋2k1π，ω＋φ＝＋2k2π，k1，k2∈Z，故ω＝π＋2(k2－k1)π，所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z，因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2，则φ＝＋2k1π，k1∈Z，又0<|φ|<，所以φ＝.故选CD.
16．(2025·湖北调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(x)≤f恒成立，且在区间上无最小值，则ω＝________.
由题意知直线x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，所以ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋3k(k∈Z) ①.因为函数f(x)在区间上无最小值，
所以(k∈Z)，解得6k－≤ω≤2k＋(k∈Z) ②.又ω>0，所以由①②可得，ω＝.
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