微练(32) 简单的三角恒等变换-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习
2025-09-10
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教辅
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦三角恒等变换专题，覆盖三角公式应用、三角函数性质、三角化简求值等核心考点，对接高考评价体系，通过微练整合选择、填空、解答题，分析条件判断、函数值域等常考题型权重，体现备考针对性与系统性。
课件融入2025石家庄质量检测、广州综合测试等真题训练，突出公式逆用、角的配凑等应试技巧，如第3题结合诱导公式与二倍角公式突破求值问题，培养学生运算能力与推理意识，助力学生掌握解题规律，为教师提供精准复习指导。
内容正文：
微练(三十二)
简单的三角恒等变换
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一、单项选择题
1．“sin α＝”是“sin－cos＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
若sin－cos＝，则2＝＝1－sin α，所以sin α＝，必要性成立；若sin α＝，则2＝1－sinα＝，所以sin－cos＝±，充分性不成立．故“sin α＝”是“sin－cos＝”的必要不充分条件．故选B.
2．tan 70°·cos 10°·(1－tan 20°)＝( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
由tan 70°·cos 10°·(1－tan 20°)＝cos 10°·(tan 70°－tan 70°·tan 20°)＝cos 10°·＝cos 10°·＝cos 10°·＝1，故选A.
3．已知cos－cos α＝，则sin＝( )
A．－ B． C． D．
由cos－cos α＝，得－cos α＝sin α＋cos α＝sin＝.故sin＝cos＝cos＝cos＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－.故选A.
4．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈，则＝( )
A．2 B． C．3 D．
因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β，即＝2.故选A.
5．已知θ为第一象限角，sin θ－cos θ＝，则tan 2θ＝( )
A． B． C．－ D．－
由sin θ－cos θ＝，得1－2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝，2＝1＋2sin θcos θ＝.因为θ是第一象限角，所以sin θ＋cos θ
＝，所以sin θ＝，cos θ＝，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝2×÷＝－.故选D.
6．(2025·石家庄质量检测)已知α∈，且cos＝2cos 2α，则tan＝( )
A． B． C． D．
因为cos＝2cos 2α，所以(cos α＋sin α)＝2(cos2α－sin2α)＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，因为α∈，所以cos α＋sin α>0，所以cos α－
sin α＝，即＝，所以cos＝，因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝＝，所以tan＝＝，故选D.
二、多项选择题
7．已知f(x)＝sin xsin－，则f(x)的值不可能是( )
A．－ B． C．－2 D．2
因为f(x)＝sin xsin－＝sin x－＝sin2x＋sin xcos x－＝×＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以－≤f(x)≤，f(x)的值不可能是－2和2.故选CD.
8．已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则( )
A．cos α＝－ B．sin α－cos α＝
C．β－a＝ D．cos αcos β＝－
因为≤α≤π，所以≤2α≤2π.又sin 2α＝>0，故有≤2α<π，≤α<，则cos 2α＝－.又cos 2α＝2cos2α－1，则cos2α＝，故cos α＝，故A错
误；因为(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，≤α<，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为π≤β≤，所以≤α＋β<2π.又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β<，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos [(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－.又因为≤α＋β<，－π<－2α≤－，所以<β－α<π，则有β－α＝，故C正确；对于D选项，
cos(α＋β)＝－，可得cos αcos β－sin αsin β＝－，由C知，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选BC.
三、填空题
9．计算＝________.
＝－＝－＝
－＝2.
2
10．已知cos2＝，则sin 2α＝________.
解法一：因为cos2＝，所以sin 2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝.
解法二：由已知得＝，即＝，所以sin 2α＝.
11．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，则角β的大小是________．
因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.因为0<α<，所以cos α＝＝.因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝＝.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0<β<，所以β＝.
四、解答题
12．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x.
(1)求f的值；
因为f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin，所以f＝1＋2sin＝1＋2sin＝1＋1＝2.
(2)若f＝，α∈，求cos α的值．
由f＝，α∈，得α＋∈，sin＝，cos＝，所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝.
13．已知函数f(x)＝sin＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，所以T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
因为x∈，所以2x－∈，所以－≤sin≤1，所以－≤sin＋1≤＋1，所以f(x)的值域为.
14．(2025·广州综合测试)已知α，β是函数f(x)＝3sin－2在上的两个零点，则cos(α－β)＝( )
A． B． C． D．
因为α，β是函数f(x)在上的两个零点，所以sin＝，sin＝，且2α＋∈，2β＋∈，所以2α＋＋2β＋＝π，α＋β＝.所以cos(α－β)＝cos＝cos＝cos＝sin＝，故选A.
15．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为( )
A．20 cm B．30 cm
C．40 cm D．60 cm
如图所示，EF＝10，FG＝20，令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α，则∠BFG＝α，BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α，
则∠CGH＝α，CG＝10cos α，所以周长＝2AB＋2BC＝2(10sin α＋20cos α)＋2(20sin α＋10cos α)＝60sin α＋60cos α＝60sin≤60，故选D.
16．已知a＝，b＝，记f(x)＝a·b，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
因为f(x)＝a·b＝2cos2x－2sincos＝1＋cos 2x－sin＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x＝－sin 2x－cos 2x＋1＝－sin＋1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)若f＝，x0∈，求cos 2x0.
因为f＝－sin＋1＝，可得sin＝，又因为x0∈，则x0＋∈，则cos＝－＝－，cos x0＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝，所以cos 2x0＝2cos2x0－1＝.
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