微练(31) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习
2025-09-10
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教辅
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦三角恒等变换核心考点，覆盖两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式及同角三角函数关系等高考必考点。依据高考评价体系，通过2025长沙适应性考试等真题分析，明确“给值求值”“化简证明”等常考题型占比，构建完整的考点梳理与题型归纳体系，体现备考针对性。
课件亮点在于“真题实战+素养导向”的复习策略，如第5题通过方程思想求解tanα，结合同角关系求sin2α，培养数学思维中的逻辑推理能力。第13题依托单位圆情境考查三角函数定义与差角公式，发展数学眼光中的几何直观。特设“易错陷阱警示”，帮助学生掌握公式逆用技巧，教师可据此精准定位高频考点，实现高效复习教学。
内容正文：
微练(三十一)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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一、单项选择题
1．tan 105°＝( )
A．2－ B．－2－ C．－2 D．－
tan 105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝＝＝－2－.故选B.
2．cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°＝( )
A． B． C．－ D．－
原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－.故选D.
3．已知tan＝3，则＝( )
A．3 B． C．－3 D．－
因为tan＝3，所以＝＝＝＝.故选B.
4．已知sin α＋cos α＝，则sin＝( )
A．± B． C．－ D．－
因为sin α＋cos α＝sin＝，所以sin＝，所以sin＝sin＝－sin＝－.故选C.
5．(2025·长沙适应性考试)若tan 2α＋4tan＝0，则sin 2α＝( )
A．－ B．－ C． D．
因为tan 2α＋4tan＝0，所以＋4·＝0，化简得2tan2α＋5tan α＋2＝0，解得tan α＝－2或tan α＝－.当tan α＝－2时，sin 2α
＝2sin αcos α＝＝＝－；当tan α＝－时，sin 2α＝＝－.故选A.
6．已知2cos(2α＋β)－3cos β＝0，则tan αtan(α＋β)＝( )
A．5 B． C．－5 D．－
2cos(2α＋β)＝3cos β，则2cos(α＋β＋α)＝3cos(α＋β－α)，则2cos(α＋β)cos α－2sin(α＋β)sin α＝3cos(α＋β)cos α＋3sin(α＋β)sin α，即－5sin(α＋β)sin α＝cos(α＋β)cos α，所以－5tan(α＋β)tan α＝1，所以tan αtan(α＋β)＝－.故选D.
二、多项选择题
7．下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
对于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．故选BCD.
8．已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是( )
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝ D．β－α＝－
由已知可得所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝.因为α，β，γ∈，所以－<β－α<，因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，所以α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－.故选BD.
三、填空题
9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.又β是第三象限角，因此有cos β＝－，所以sin＝－sin＝－sin βcos－cos βsin＝.
10．(2025·郑州质量检测)已知＝2，则sin 2α＝________.
＝tan＝tan α＝2，则sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝.
11．已知sin＝，x∈(0，π)，则sin 2x＝________.
由题意知＝(sin x＋cos x)，则＝(sin x＋cos x)2＝(1＋2sin xcos x)，则sin 2x＝2sin xcos x＝－1＝－.
－
四、解答题
12．化简并求值．
(1)；
原式＝＝＝＝＝＝＝.
(2)·.
原式＝＝
＝＝＝＝32.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为，－.
(1)求cos(β－α)的值；
因为锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为，－，显然点A在第一象限，点B在第二象限，则点A，B的纵坐标分别为，.由已知及三角函数定义得sin α＝，sin β＝，而cos α＝，cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
(2)求cos－cos2α的值．
由(1)知sin α＝，cos α＝，所以cos－cos2α＝sin 2α－cos2α＝2sin αcos α－cos2α＝2××－2＝.
14. 1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，如图所示．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则cos(π－α)·cos 2αcos 4αcos 8α的值为
________．
cos(π－α)cos 2αcos 4αcos 8α＝－···＝－，易知α＝，所以cos(π－α)cos 2αcos 4αcos 8α＝－＝－＝＝.
15．若α，β为锐角，且α＋β＝，则tan α＋tan β的最小值为( )
A．2－2 B．－1 C．2－2 D．－1
因为tan(α＋β)＝＝1，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.因为(1＋tan α)(1＋tan β)≤2，即2≤，得(tan α＋tan β＋2)2≥8.由于α，β为锐角，则tan α＋tan β＋2>0，所以tan α＋tan β＋2≥2，
当且仅当tan α＝tan β＝－1时等号成立，所以tan α＋tan β的最小值为2－2.故选A.
16．已知cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)．
由已知，得<α－<π，－<－β<，所以sin＝，cos＝，所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
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