微练(24) 导数中的函数构造问题-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦导数中的函数构造核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，通过微专题形式梳理考点权重，归纳判断单调性、证明不等式等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件以“微练”为特色开展真题变式训练，通过典型题型解析培养学生数学思维，如构造新函数解决恒成立问题的突破方法，结合易错点分析指导应试技巧，帮助学生高效掌握答题策略提高得分率，为教师复习教学提供系统性指导。

微练(二十四) 导数中的函数构造问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．(2025·福建福州质检)已知a＝，b＝ln，c＝ln，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．a>c>b D．c>a>b a＝＝，b＝ln＝＝，c＝ln＝.令f(x)＝，则f′(x)＝，当x≥e时，f′(x)≤0，故f(x)在区间[e，＋∞)上单调递减，所以a>b>c，故选A. 2．已知f(x)的定义域为R，f(1)＝2 023，且f′(x)>6x恒成立，则不等式f(x)>3x2＋2 020的解集为(　　) A．(－1,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 令函数g(x)＝f(x)－3x2，因为g′(x)＝f′(x)－6x>0，所以g(x)在R上单调递增．因为g(1)＝f(1)－3＝2 020，所以不等式f(x)>3x2＋2 020等价于g(x)>g(1)，所以x>1.故选B. 3．(2025·江苏模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　　) A．f(ln 3)>3f(0) B．f(2)<e2f(0) C．f(ln 2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0) 由题意，构造函数g(x)＝，则g′(x)＝<0对任意的x∈R恒成立，所以g(x)在R上是减函数．对A，因为ln 3>0，所以g(ln 3)<g(0)，即<＝，得f(ln 3)<3f(0)，故A错误，对C，因为ln 2>0，所以 <＝，即f(ln 2)<2f(0)，故C错误．对B、D，因为g(2)<g(0)，所以<，即f(2)<e2f(0)，故D错误，B正确．故选B. 4．若ln x－ln y<－(x>1，y>1)，则(　　) A．ey－x>1 B．ey－x<1 C．ey－x－1>1 D．ey－x－1<1 依题意，ln x－<ln y－，x>1，y>1，则ln x>0，ln y>0，令f(t)＝t－(t>0)，则f′(t)＝1＋>0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(ln y)，即ln x<ln y，所以1<x<y，即y－x>0，所以ey－x>e0＝1，A正确，B不正确；又无法确定y－x－1与0的关系，故C、D不正确．故选A. 5．已知实数a，b分别满足ea＝1.02，ln(b＋1)＝0.02，且c＝，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 由ea＝1.02，得a＝ln 1.02，由ln(b＋1)＝0.02，得b＝e0.02－1，令f(x)＝ex－1－ln(1＋x)，x>0，则f′(x)＝ex－，令h(x)＝ex－，x>0，h′(x)＝ex＋>0恒成立，故f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(0)＝e0－＝0，故f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(0.02)＝e0.02 －1－ln(1＋0.02)>f(0)＝0，即e0.02－1>ln 1.02，即b>a.a＝ln 1.02，c＝＝＝1－＝1－，令g(x)＝ln x－，x>1，则g′(x)＝－＝，则当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(1.02)＝ln 1.02－>g(1)＝0，即a>c，故c<a<b.故选D. 二、多项选择题 6．已知a，b∈(0，e)，且a<b，则下列式子中可能成立的是(　　) A．aeb<bea B．aeb>bea C．aln b<bln a D．aln b>bln a 设g(x)＝(x∈(0，e))，则g′(x)＝，所以g(x)＝在(0,1)上单调递减，在(1，e)上单调递增．所以当a，b∈(0，e)，a<b时，不能判断出 g(a)与g(b)的大小．所以A、B都有可能正确．设f(x)＝(x∈(0，e))，则f′(x)＝，由0<x<e，得f′(x)>0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，因为a，b∈(0，e)，且a<b，所以<，即aln b>bln a．所以C不正确，D正确．故选ABD. 三、填空题 7．设f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为__________． 令φ(x)＝f(x)－sin x，所以当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，所以φ(x)为R上的奇函数，所以φ(x)在(－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)<sin x 可化为f(x)－sin x<0，即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)，故x>0，所以原不等式的解集为(0，＋∞)． (0，＋∞) 8．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，2f(x)＋f′(x)<0，且f(x＋1)＝f(1－x)，f(0)＝e，则不等式f(x)>e5－2x的解集是__________． 设g(x)＝e2xf(x)，则g′(x)＝e2x[2f(x)＋f′(x)]<0，所以g(x)在R上单调递减．因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝e，所以g(2)＝e4f(2)＝e5.因为f(x)>e5－2x，所以e2xf(x)>e5，即g(x)>g(2)，所以x<2，故不等式f(x)>e5－2x的解集是(－∞，2)． (－∞，2) 9．已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为________． 因为xa＝eln xa＝ealn x，所以不等式即为ex－x≤ealn x－aln x，因为a>0且x>1，所以aln x>0，设y＝ex－x，x>0，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，所以1<x≤aln x，即a≥，所以a≥min，设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝，当x∈(1，e)时，f′(x)<0；当x∈ e (e，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(e)＝e，所以a≥e.故a的最小值为e. 四、解答题 10．(2025·漳州质检)已知函数f(x)＝aex＋x＋1. (1)讨论f(x)的单调性； 依题意，得f′(x)＝aex＋1.当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上是增函数．当a<0时，令f′(x)>0，可得x<－ln(－a)；令f′(x)<0，可得x>－ln(－a)，所以f(x)在(－∞，－ln(－a))上单调递增，在(－ln(－a)，＋∞)上单调递减，综上所述，当a≥0时，f(x)在R上是增函数；当a<0时，f(x)在(－∞，－ln(－a))上单调递增，在(－ln(－a)，＋∞)上单调递减． (2)当x>1时，f(x)>ln ＋x，求实数a的取值范围． 因为当x>1时，f(x)>ln ＋x，所以aex＋x＋1>ln ＋x，即eln aex＋x＋1>ln(x－1)－ln a＋x，即ex＋ln a＋ln a＋x>ln(x－1)＋x－1，即ex＋ln a＋x＋ln a>eln(x－1)＋ln(x－1)．令h(x)＝ex＋x，则有h(x＋ln a)>h(ln(x－1))对∀x∈(1，＋∞)恒成立．因为h′(x)＝ex＋1>0，所以h(x)在R上是增函数，故只需x＋ln a>ln(x－1)，即ln a>ln(x－1)－x对∀x∈(1，＋∞)恒成立， 令F(x)＝ln(x－1)－x，则F′(x)＝－1＝，令F′(x)＝0，得x＝2.当x∈(1,2)时，F′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)<0，所以F(x)在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以F(x)≤F(2)＝－2.因此ln a> －2，所以a>，即a的取值范围为. $$