微练(20) 函数模型的应用-（作业课件）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习

微练(二十) 函数模型的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 基础过关 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 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第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、单项选择题 1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　) A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C. 2．“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数 y＝描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　) A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200.因为y＝所以当0≤t≤12时，只需－10t＋290≤200，解得9≤t≤12，当12<t≤24时，只需56－24≤200，解得12<t≤16.综上，适宜开展户外活动的时间段为9≤t≤16，共计7个小时．故选C. 3．(2025·湖南长沙模拟)函数f(x)的数据如下表，则该函数的解析式可能为(　　) x －2 －1 0 1 2 3 5 f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A．f(x)＝ka|x|＋b B．f(x)＝kxex＋b C．f(x)＝k|x|＋b D．f(x)＝k(x－1)2＋b 由函数f(x)的数据可知，f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，偶函数满足此性质，可排除B、D；当x>0时，由函数f(x)的数据可知，函数f(x)增长越来越快，可排除C.故选A. 4．(2025·北京西城一模)德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y＝1－0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．2小时 B．0.8小时 C．0.5小时 D．0.2小时 根据题意得＝1－0.6t0.27，整理得＝t0.27，两边取常用对数，得lg ＝0.27lg t，即1－lg 3－2lg 2＝0.27lg t，所以lg t＝≈＝－，则t＝10－≈10－0.3≈10lg＝0.5，故选C. 5．(2025·安徽合肥质检)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被叫做半衰期，记为T(单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为(　　) A．－2＋＝ B．2＋＝ C．－2＋log2＝log2 D．2＋log2＝log2 设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为，乙的质量为，由题意可得＝·＝2＋，所以2＋＝.故选B. 6．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的≈1 481倍．那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的10 000倍，大约需要经过(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 经过x天后，“进步”与“落后”的比≥10 000，所以x≥10 000，两边取以10为底的对数得x·lg≥4，又lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，所以x·(lg 3－lg 2)＝x(0.477－0.301)＝0.176x≥4，解得x≥≈22.73，所以大约经过23天后，“进步”是“落后”的10 000倍．故选C. 二、多项选择题 7．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部正在研究如何定价．进一步调研了解到销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 8 9 10 11 12 13 日均销售量/桶 240 220 200 180 160 140 已知该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为300元，每桶水的进价是5元，销售单价必须是整数．根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A．为使该经营部盈利，每桶水的售价不应低于7元 B．为使该经营部每天获得的利润不少于100元，每桶水的售价不应低于8元 C．为使该经营部获得的利润最大，每桶水的售价应该定为12元或13元 D．通过合理定价，该经营部每日获得的利润可达800元以上 根据表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少20桶．设每桶水的价格为(8＋x)元，公司日利润为f(x)元，则f(x)＝(8＋x－5)(240－20x)－300＝20[(3＋x)(12－x)－15]＝20(－x2＋9x＋21)，当每桶水定价低于7元，即x<－1时，有x≤－2，故f(x)≤f(－2)＝－20，故A正确；当每桶水定价为7元，即x＝－1时，f(－1)＝220，故B错误；直线x＝4.5是f(x)的对称轴，距离4.5最近的整数是4和5，此时每桶水的售价是12元或13元，故C正确；由f(4)＝f(5)＝820知D正确．故选ACD. 8．已知大气压强p(Pa)随高度h(m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10－4.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表．若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1，p2，p3，则(　　) 阶梯 平均海拔/m 第一级阶梯 ≥4 000 第二级阶梯 1 000～2 000 第三级阶梯 200～1 000 A．p1≤ B．p0<p3 C．p2≤p3 D．p3≤e0.18p2 设在第一级阶梯某处的海拔为h1，则ln p0－ln p1＝10－4h1，即h1＝104ln.因为h1≥4 000，所以104ln≥4 000，解得p1≤，故A正确；由ln p0－ln p＝kh，得ekh＝.当h>0时，ekh＝>1，即p0>p，所以p0>p3，故B错误；设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，则两式相减可得ln＝10－4(h2－h3)．因为 h2∈[1 000,2 000]，h3∈[200,1 000]，所以h2－h3∈[0，1 800]，则0≤ln≤ 10－4×1 800＝0.18，即1≤≤e0.18，故p2≤p3≤e0.18p2，故C、D均正确．故选ACD. 三、填空题 9．(2025·河南适应性考试)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 4.24 10．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝ 40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.则当Q＝300时，L(Q)取得最大值为2 500万元． 2 500 11．某银行拟在乡村开展小额贷款业务，根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为________万元．(参考数据：ln 3≈1.1，ln 2≈0.7) 5 由题意得，当x＝9时，P＝50%，则＝50%，得e－0.9＋9k＝1，所以9k－0.9＝0，得k＝0.1，所以P(x)＝，当P＝40%时，＝40%，得3e－0.9＋0.1x＝2，所以e－0.9＋0.1x＝，所以－0.9＋0.1x＝ln＝ln 2－ln 3≈0.7－1.1，解得x＝5，所以当银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为5万元． 四、解答题 12．LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，W(x)＝x2＋x，在年产量不小于6万件时，W(x)＝7x＋－39.每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) 因为每件产品售价为6元，所以x万件产品的销售收入为6x万元．依题意得，当0<x<6时，L(x)＝6x－－4＝－x2＋5x－4，当x≥6时，L(x)＝6x－－4＝35－.所以L(x)＝ (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 当0<x<6时，L(x)＝－(x－5)2＋，当x＝5时，L(x)取得最大值.当x≥6时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15.因为<15，所以当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 13.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)． (1)求c，m的值； 由题意，可得方程组解得 (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 由(1)知y＝128×t.由题意，可得128×t≤0.5，即t≤8，即t≥8，解得t≥32.所以至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 14．(2025·陕西模拟)某种生物群的数量Q与时间t的关系近似符合：Q(t)＝(其中e为自然对数的底数，e≈2.718 28…)，给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是(　　) A．该生物群的数量不超过10 B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小 C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比 D．该生物群的数量的增长速度最大的时间t0∈(2,3) 对于A，Q(t)＝＝10－，则该生物群的数量不超过10，A正确．对Q(t)＝求导得Q′(t)＝＝＝，可得该生物群的数量的增长速度与种群数量不成正比，令f (t)＝et＋81e－t，则f′(t)＝et－81e－t，令f′(t)＝0，解得t＝ln 9，当0≤t≤ln 9时，f′(t)≤0，f(t)单调递减，t>ln 9时，f′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t＝ln 9时，f(t)取得极小值，且为最小值，此时Q′(t) 取得最大值，则该生物群的数量的增长速度先变大后逐渐变小，该生物群的数量的增长速度最大的时间t0＝ln 9，而由ln 9＝2ln 3∈(2,3)，知B、D正确．故选C. 15．(多选题)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．t2＝20 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6 由题意可知，θ＝10＋(θ1－10)e－0.05t.当θ＝30时，30＝10＋(θ1－10)e－0.05t1，即e－0.05t1＝，－0.05t1＝ln，则t1＝20ln ，t1是关于θ1的单调递增函数，当θ1＝90时，t1＝20ln＝20ln 4＝40ln 2≈40×0.7＝28，当θ1＝100时，t1＝20ln＝20ln ＝20(2ln 3－ ln 2)≈20×(2×1.1－0.7)＝30，则28≤t1≤30，故B正确；当θ1＝70时， t2＝20ln ＝20ln 3≈20×1.1＝22,8≥t1－t2≥6，故A、D错误；当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈20×0.7＝14，此时，t1≥2t3，故C正确．故选BC. $$