第10章 微专题强化10-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

概率与统计的综合问题 微专题强化十 专|题|梳|理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 概率与统计的交汇问题 典|型|例|题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 概率与函数的交汇问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 概率与数列的交汇问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十七） 本部分内容讲解结束 概率与统计解答题，主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等，既有基础的简单应用，也有与各类知识交汇的综合题、决策题．如概率与统计和统计案例交汇、概率与数列、函数、不等式等的交汇．此类问题对阅读理解能力要求较高，考查数学建模和数学运算的核心素养． 【例1】　(2024·青岛模拟)2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言．为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男、女生各50人作为样本．设事件A＝“了解人工智能”，B＝“学生为男生”，据统计P(A|)＝，P(B|A)＝. (1)根据已知条件，填写下列2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，是否认为该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？ 了解人工智能 不了解人工智能 合计 男生 女生 合计 (1)因为P(A|)＝，P(B|A)＝，所以了解人工智能的女生有50×＝30人，了解人工智能的总人数为＝70，则了解人工智能的男生有70－30＝40人，结合男生和女生各有50人，填写2×2列联表为 了解人工智能 不了解人工智能 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 零假设H0：该校学生对人工智能的了解情况与性别无关． 因为χ2＝＝≈4.762<6.635，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为该校学生对人工智能的了解情况与性别无关． (2)①现从所抽取的女生中利用分层随机抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率； (2)①由题意可知，所抽取的20名女生中，了解人工智能的有20×＝12人，不了解人工智能的有20×＝8人，所以选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率为P＝＝. ②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人赠送科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差． 参考公式：χ2＝.常用的小概率值和对应的临界值如表： α 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②由2×2列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为＝，将频率视为概率，所以从我市所有参与调查的学生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，由题意可知，X～B，所以E(X)＝20×＝14，D(X)＝20××＝. 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件． 【训练1】　(2025·昆明一模)某企业为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 研发资金的投入额xi/千万元 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额yi/千万元 3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25 (1)求y关于x的经验回归方程； (1)＝6，＝60，＝＝＝0.06，＝－＝6－0.06×60＝2.4，所以y关于x的经验回归方程为＝0.06x＋2.4. (2)若年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这3个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：iyi＝2 976，i＝42，＝32 800. 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝＝，＝－. (2)由题意，7个年份中年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1的有3个，所以X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝或E(X)＝×3＝. 【例2】　某活动中心举行两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响． (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望； (1)X可取5,6,7,8,9,10.P(X＝5)＝C5＝，P(X＝6)＝C4＝，P(X＝7)＝C23＝，P(X＝8)＝C32＝，P(X＝9)＝C4＝，P(X＝10)＝C5＝.分布列如下： X 5 6 7 8 9 10 P 所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝7.5. (2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p)，求p为何值时，f(p)取得最大值． (2)设一天得分不低于3分为事件A，则P(A)＝1－(1－p)＝1－(1－p)＝，则恰有3天每天得分不低于3分的概率f(p)＝C3·2＝(2p＋1)3(1－p)2,0<p<1，则f′(p)＝×6(2p＋1)2(1－p)2－×2(2p＋1)3(1－p)＝(2p＋1)2(1－p)(4－10p)，当0<p<时，f′(p)>0， 当<p<1时，f′(p)<0，所以函数f(p)在上递增，在上递减，所以当p＝时，f(p)取得最大值． 通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题： 1．准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键． 2．注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制． 【训练2】　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100.设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.设Y为未患病者的该指标，则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%. (2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值． (2)当95≤c≤100时，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；当100＜c≤105时，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.综上所述，f(c)＝由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递减，在(100,105]上单调递增，作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02. 【例3】　学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天中午选择了米饭套餐，则第2天中午选择米饭套餐的概率为；若他前1天中午选择了面食套餐，则第2天中午选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (1)设Ai＝“第i天中午选择米饭套餐”(i＝1,2)，则i＝“第i天中午选择面食套餐”，根据题意P(A1)＝，P()＝，P(A2|A1)＝，P(A2|)＝，由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝×＋×＝. (2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明：当n≥2时，Pn≤. (2)证明：设An＝“第n天中午选择米饭套餐”(n∈N*)，则Pn＝P(An)，P()＝1－Pn，P(An＋1|An)＝，P(An＋1|)＝，由全概率公式，得P(An＋1)＝P(An)·P(An＋1|An)＋P()P(An＋1|)＝－Pn＋，即Pn＋1＝－Pn＋，所以Pn＋1－＝－，因为P1－＝，所以是以为首项，－为 公比的等比数列，可得Pn＝＋×n－1(n∈N*)．当n为大于1的奇数时，Pn＝＋×n－1≤＋×2＝；当n为偶数时，Pn＝－×n－1<<，综上所述，当n≥2时，Pn≤. 从问题与解答过程可以看出，这就是概率中典型的数列问题，解决这类题的步骤如下： 1．理清初始事件的概率p1(或p0)． 2．利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n＋1步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f(pn)． 3．利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f(pn)求出通项公式pn. 【训练3】　(2025·广东湛江一模)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1,2,3，…，25)． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望； (1)根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，可得X的分布列如下： X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)证明：数列{Pn－Pn－1}(n＝2,3，…，24)为等比数列． 证明：由(1)知两球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为.棋子在第1格为必然事件，则P1＝1，棋子跳到第2格的概率为P2＝，所以P2－P1＝－，当3≤n≤24时，Pn＝Pn－1＋Pn－2，所以5(Pn－Pn－1)＝－3(Pn－1－Pn－2)，所以＝－，所以数列{Pn－Pn－1}是以－为首项，－为公比的等比数列． $$