第10章 教考衔接12-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

12　递推关系在概率问题中的应用 (马尔科夫链) 赢在微点 数学 大一轮 由教材探寻命题导向 教考衔接 源于教材 高于教材 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 一、教材题组·加固练■ 人教A版选择性必修第三册 1 2 P81·3题 P91·10题 【选题说明】　从教材中的这两道题可以看出，以马尔科夫链为背景的全概率公式问题可以通过简单事件表示复杂事件来解决． 第❶步：理清初始事件的概率p1(或p0)； 第❷步：利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n＋1步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f(pn)； 第❸步：利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f(pn)求出通项公式pn . 【题1】　如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． (1)质点回到原点； (2)质点位于4的位置． 【题2】　甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率． 【题1】　如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率． (1)质点回到原点； 设质点向右移动的次数为X，又质点每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动6次，且每次移动相互独立，则X～B. (1)质点回到原点，则X＝3，P(X＝3)＝C3·3＝，所以质点回到原点的概率是. (2)质点位于4的位置． (2)当质点位于4的位置时，则X＝5，P(X＝5)＝C5·＝，所以质点位于4的位置的概率是. 【题2】　甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率． 记第n次传球后球在甲手中的概率为pn ，则第(n－1)次传球后球在甲手中的概率为pn－1.开始时球在甲手中，则p1＝0.若第n次传球后球在甲手中，则第(n－1)次传球后，球不在甲手中，则第(n－1)次传球后球在乙或丙手中，所以第(n－1)次传球后球不在甲手中的概率为1－pn－1，又乙或丙将球传到甲手中的概率均为，故pn＝(1－pn－1)，即pn＝－pn－1＋， 则pn－＝－，n≥2 ，n∈N*，所以数列{pn－}是首项为p1－＝－，公比为－的等比数列，所以Pn－＝－×n－1，即Pn＝－×n－1＋(n∈N*)． 二、创新变式·提升练■ 【变式1】　某同学从两个笔筒中抽取使用的笔，蓝色笔筒里有6支蓝笔，4支黑笔，黑色笔筒里有6支黑笔，4支蓝笔．第一次从黑笔筒中取出一支笔并放回，随后从与上次取出的笔颜色相同的笔筒中再取出一支笔， 依次类推．记第n次取出黑笔的概率为Pn，Pn＝____________. ×n＋ 第n次取出黑笔的概率为Pn，则取出蓝笔的概率为1－Pn，所以第n＋1次取出黑笔的概率为Pn＋1，可能有两种情况，即第n次取出的是黑笔或蓝笔，所以第n＋1次取出黑笔的概率为Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)，即Pn＋1＝Pn＋，n∈N*，因为P1＝，Pn＋1－＝，n∈N*，所以数列为等比数列，公比为，首项为，所以Pn－＝×n－1＝×n，所以Pn＝×n＋. 【变式2】　甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2. (1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望； (1)X的所有可能取值为2,3,4.P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝0.5，P(X＝4)＝0.3，所以X的分布列为： X 2 3 4 P 0.2 0.5 0.3 所以E(X)＝2×0.2＋3×0.5＋4×0.3＝3.1. (2)求四局比赛后，比赛结束的概率； (2)若四局比赛后比赛结束，甲最终获胜为事件A，则P(A)＝C×0.5×0.33＝0.040 5，若乙最终获胜为事件B，则P(B)＝C×0.5×0.23＝0.012，所以四局比赛后，比赛结束的概率为P(A)＋P(B)＝0.040 5＋0.012＝0.052 5. (3)若Pi(i＝0,1，…，6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1.证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2,3,4,5)为等比数列． (3)证明：由全概率公式，得Pi＝0.2Pi－1＋0.5Pi＋0.3Pi＋1(i≥1)，故0.3(Pi＋1－Pi)＝0.2(Pi－Pi－1)，即Pi＋1－Pi＝(Pi－Pi－1)(i≥1)．又因为P1－P0＝P1≠0，所以{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2,3,4,5)是首项为P1，公比为的等比数列． 三、链接高考·体验练■ (2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则当i≥2时，P(Ai)＝P(Ai－1Ai)＋P(Bi－1Ai)＝P(Ai－1)P(Ai|Ai－1)＋P(Bi－1)P(Ai|Bi－1)，即pi＝0.6pi－1＋(1－0.8)×(1－pi－1)＝0.4pi－1＋0.2＝pi－1＋，构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋λ＝(pi－1＋λ)，解得λ＝－，则pi－＝，又p1＝，p1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列，即pi－＝×i－1，pi＝×i－1＋，i∈N*. (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1,2，…，n，则E(i)＝i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． (3)因为pi＝×i－1＋，i∈N*，所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝×＋＝＋，故E(Y)＝＋. $$