第10章 第7节 二项分布、超几何分布、正态分布-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二项分布、超几何分布、正态分布 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 二项分布 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 超几何分布 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 正态分布 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十六） 本部分内容讲解结束 1.理解n重伯努利试验的模型及二项分布、超几何分布的意义，并能解决一些实际问题；2.借助直方图认识正态曲线的特点及曲线的意义，能用正态分布解决一些实际问题. 1．二项分布 (1)n重伯努利试验 ①我们把________________________的试验叫做伯努利试验． ②我们将一个伯努利试验______________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有两个共同特征：同一个伯努利试验重复做n次；_______________________. 只包含两个可能结果　 独立地重复　 各次试验的结果相互独立　 1 np 　np(1－p) (2)二项分布 ①一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从__________，记作_____________． ②(X＝k)＝pk(1－p)n－k＝[p＋(1－p)]n＝________. (3)二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝________，D(X)＝________. Cpk(1－p)n－k 二项分布 　X～B(n，p) 2．超几何分布 (1)超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布 列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 　 (2)超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的__________，而是抽取的n件产品的___________，猜想E＝p，即E(X)＝_________＝__________. 次品率 次品率 　np 3．正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，x∈R(其中μ∈R，σ>0为参数)，则称随机变量X服从__________，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 正态分布 (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线________对称． ②曲线在________处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． x＝μ　 x＝μ (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________. μ　 σ2 二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 1．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是(　　) A． B． C． D． 由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为1－0.4＝0.6，罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次，故概率P＝C×0.4×0.62×0.4＝0.172 8＝.故选C. 2．某党支部有10名党员，7男3女，为迎接建党100周年，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则P(X<2)＝(　　) A． B． C． D．1 由题意，知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2，故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.故选C. 3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是(　　) A．32 B．16 C．8 D．20 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16.故选B. 4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取1件．设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝________. E(ξ)＝×3＝，E(5ξ＋1)＝5E(ξ )＋1＝3. 3 5．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________. 由题意得X～B，所以D(X)＝3××＝. 考向❶：n重伯努利试验 【例1】　(1)某人射击一次击中目标的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　) A． B． C． D． 由题意可得，此人至少有两次击中目标的概率为C2×＋C3＝.故选A. (2)(2025·四川攀枝花模拟)甲、乙两位同学进行围棋比赛，采取五局三胜制(无平局)，已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为(　　) A． B． C． D． 根据题意，甲获胜包括三种情况，①甲以3∶0获胜，其概率为3＝；②甲以3∶1获胜，其概率为C×2××＝；③甲以3∶2获胜，其概率为C×2×2×＝.所以最后甲获胜的概率为＋＋＝.故选D. n重伯努利试验中，事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.计算时，要先确定好n，p和k的值，再准确利用公式求概率． 【训练1】　(2024·保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________． 事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形，其概率P＝C××2×C×3＋C×2××C××2＋C×3×C×2×＝. 考向❷：二项分布 【例2】　某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作． (1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E(X)； (1)由题意，可得方案一中，随机变量X～B，则P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝2＝.所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝2×＝. (2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ (2)对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为P1，则P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－3＝. 对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为P2，则P2＝1－6－C··5－C·2·4＝1－＝.可得P2<P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高． 二项分布的解题模型 1．根据题意设出随机变量． 2．分析随机变量服从二项分布． 3．找到参数n，p. 4．写出二项分布的概率表达式． 5．求解相关概率． 【训练2】　某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； (1)从这12人中随机抽取2人，共有C＝66种可能情况，记“这2人恰好来自同一班级”为事件A，则事件A包含的可能情况有C＋C＋C＋C＝3＋1＋3＋6＝13种，所以P(A)＝. (2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． (2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，因为选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，所以他们选择C款软件学习的概率是1－－＝，所以这三名学生中下午自习时间 选软件C的人数服从二项分布ξ～B，所以P(ξ＝0)＝C03＝，P(ξ＝1)＝C12＝＝，P(ξ＝2)＝C21＝＝，P(ξ＝3)＝C30＝，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝3×＝2. 【例3】　下表为某班学生理科综合能力测试成绩(百分制)的频率分布表，已知在[80,90)分数段内的学生人数为21. 分数段 [65， 70) [70， 75) [75， 80) [80， 85) [85， 90) [90， 95) [95， 100] 频率 0.1 0.15 0.2 0.2 0.15 0.1 m (1)求测试成绩在[95,100]分数段内的人数； (1)该班学生共有＝60人，因为0.1＋0.15＋0.2＋0.2＋0.15＋0.1＋m＝1，所以m＝0.1，所以测试成绩在[95,100]分数段内的人数为60×0.1＝6. (2)现欲从[95,100]分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求[95,100]分数段内男生的人数； (2)由(1)知在[95,100]分数段内的学生有6人，设男生有x人，若抽出2人至少有一名男生的概率为，则＋＝，解得x＝2，所以在[95,100]分数段内男生的人数为2. (3)若在[65,70)分数段内的女生为4人，现欲从[65,70)分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，ξ为参加培优小组的3名学生中男生的人数．求ξ的分布列及期望E(ξ)． (3)在[65,70)分数段内的学生有60×0.1＝6人，所以男生有2人，X的取值有0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1. 求超几何分布的分布列的步骤 【训练3】　(2025·银川模拟)某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下： 班号 1 2 3 4 人数 30 40 20 10 该年级在报名的同学中按分层随机抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立． (1)求各班参加竞赛的人数； (1)各班报名总共100人，抽取10人，抽样比为，故1～4班分别抽取30×＝3(人)，40×＝4(人)，20×＝2(人)，10×＝1(人)． (2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望． (2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 【例4】　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) A．0.447 B．0.628 C．0.954 D．0.977 因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(ξ>2)＝0.023，所以P(ξ<－2)＝0.023.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.故选C. (2)(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 由题意可知，X～N(1.8,0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.841 3，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，所以A错误，B正确．因为Y～N(2.1,0.12)，所以P(Y<2.2)≈0.841 3，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3>0.8，所以C正确，D错误．综上，选BC. 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下μ＝0与σ＝1才同时成立． 【训练4】　(2025·开封质量检测)在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N(78,16)．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是(　　) (附：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5) A．94 B．86 C．82 D．78 由题意知μ＝78，σ＝4，P(X>μ＋σ)＝≈≈0.16，所以等级为A的测验数据的最小值可能是82.故选C. $$