第10章 第6节 离散型随机变量及其分布列与数字特征-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第六节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列与数字特征 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 离散型随机变量分布列、均值、方差的性质 自练自悟 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 求离散型随机变量的均值与方差 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 决策问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十五） 本部分内容讲解结束 1.理解离散型随机变量的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解离散型随机变量的均值与方差的概念，能计算离散型随机变量的均值与方差，并能解决一些实际问题. 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 唯一 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi________0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝________. ≥　 1 4．离散型随机变量的均值与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)＝____________________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的________． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　 平均水平 (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ __________________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的________，记为σ(X)．它们都可以度量随机变量取值与其均值的____________． (xi－E(X))2pi　 标准差　 偏离程度 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝____________. (2)D(aX＋b)＝________(a，b为常数)． (3)D(X)＝pi－(E(X))2. aE(X)＋b a2D(X) 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)E(X2)． 1．(多选题)(北师大选一P197T3改编)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 2．(苏教选二P146T7)设随机变量X的可能取值为1,2，…，n，并且取1,2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n不能确定 3．若随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)＝0.5，则a，b的值分别是(　　) X －1 0 1 2 P 0.3 a b 0.2 A．0.1,0.4 B．0.4,0,1 C．0.3,0.2 D．0.2,0.3 由分布列的性质，得0.3＋a＋b＋0.2＝1，则a＋b＝0.5　①.因为E(X)＝0.5，所以－1×0.3＋0×a＋1×b＋2×0.2＝0.5，解得b＝0.4.将b的值代入①，得a＝0.1.故选A. 4．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________. E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 5．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________，方差D(X)＝________. 　 随机变量X的取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 1.(多选题)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确．P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．故选ABD. 2．设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)＝(　　) X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 由|X－2|＝1，解得X＝3或X＝1.由分布列的性质可得m＝1－＝，所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.故选C. 3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<X<3.5)＝ B．E(3X＋2)＝7 C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝6 因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1.P(0<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝，故A不正确；因为E(X)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；由D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确；因为D(X)＝2，所以D(3X＋1)＝9D(X)＝18，故D不正确．故选C. 1．离散型随机变量分布列的性质应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 2．离散型随机变量均值、方差的性质应用 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y). 【例1】　(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (1)从8个小球中，随机一次取出3个小球，共有C＝＝56(种)结果．先从数字1,2,3,4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有CCCC＝32(种)结果．记事件A：“取出的3个小球上的数字两两不同”，则P(A)＝＝.所以取出的3个小球上的数字两两不同的概率为. (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． (2)因为X为取出的3个小球上的最小数字，所以X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为 X 1 2 3 P X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 1．理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值． 2．求ξ取每个值的概率． 3．写出ξ的分布列． 4．由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)． 【训练1】　(2025·济南模拟)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数． (1)求在X>0的条件下，X＝的概率； (1)记抛掷骰子的样本点为(a，b)，则样本空间Ω＝{(a，b)|1≤a≤6, 1≤b≤6，a∈Z，b∈Z}，则n(Ω)＝36，记事件A＝“X>0”，记事件B＝“X＝＝”，则A＝{(a，b)|1≤a≤b≤6，a∈Z，b∈Z}，且n(A)＝21，又AB＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，则n(AB)＝14，所以P(B|A)＝＝＝，即在X>0的条件下，X＝的概率为. (2)求X的分布列、数学期望及方差． (2)X所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6× ＝.D(X)＝E(X2)－[E(X)]2 ＝－2 ＝. 【例2】　(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (1)设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784. 思维点1：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率． 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875. 思维点2：计算乙至少得5分的概率，从而计算甲、乙所在队不少于5分的概率． 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686. (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (2)(ⅰ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲， 则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2)． 思维点3：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2)． 思维点4：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率． 则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)(p＋q－pq)， 由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0， 所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙． 思维点5：作差法比较大小． 故应该由甲参加第一阶段比赛． (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ ( ⅱ)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3)． 思维点6：计算甲参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望． 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·Cq3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3)． 思维点6：计算甲参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望． 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)． 思维点7：计算乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望． E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)(3－p－q)， 由0<p<q≤1，得q－p>0,3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y)． 思维点8：作差法比较大小． 故应该由甲参加第一阶段比赛． 本题以相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列为工具，考查分类讨论思想和推理论证能力，使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出，发挥高考的选拔功能，引导数学教学关注对学生核心素养的培养． 【训练2】　某公司计划在2025年年初将1 000万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (1)若投资项目一，设获利为ξ1万元(负值表示亏损)，则ξ1的分布列为 ξ1 300 －150 P E(ξ1)＝300×＋(－150)×＝200. 若投资项目二，设获利为ξ2万元(负值表示亏损，0表示不赔不赚)，则ξ2的分布列为 ξ2 500 0 －300 P E(ξ2)＝500×＋0×＋(－300)×＝200.所以E(ξ1)＝E(ξ2)，即投资项目一和项目二获利的期望相同．D(ξ1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，D(ξ2)＝(500－200)2×＋(0－200)2×＋(－300－200)2×＝140 000，所以D(ξ1)<D(ξ2)，即项目一的方差较小，投资项目一更稳定．综上，建议该投资公司选择项目一进行投资． (2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，大约在哪一年年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) (2)假设n(n∈N*)年后总资产可以翻一番，依题意得1 000×n＝2 000，即1.2n＝2，两边同时取对数，得n×lg 1.2＝lg 2，n＝≈≈3.805 3，所以该投资公司大约在2028年年底总资产可以翻一番． $$