第10章 第4节 随机事件、古典概型-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第四节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 随机事件、古典概型 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 随机事件与样本空间 自练自悟 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 事件的关系与运算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 概率的性质应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型四 古典概型 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十三） 本部分内容讲解结束 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会随机事件的并、交运算；4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式；5.理解古典概型及其概率计算公式. 1．有限样本空间与随机事件 (1)样本点：随机试验的每个可能的基本结果． (2)样本空间：全体样本点的集合，一般用Ω表示． (3)有限样本空间：样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}． (4)随机事件(事件)：样本空间Ω的子集． (5)基本事件：只包含一个样本点的事件． 2．事件的关系和运算 事件的关系 或运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 B⊇A或A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥 (互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立事件 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω且 A∩B＝∅ 3.概率与频率 (1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的____________．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计______________． 概率P(A) 概率P(A) 1－P(A)　 1－P(B)　 ≤ P(A)＋P(B)－P(A∩B) 4．概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝_____，P(∅)＝________. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________. 性质5　如果A⊆B，那么P(A)________P(B)． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝___________________. 1　 0 P(A)＋P(B)　 5．古典概型 (1)古典概型的特点 (2)古典概型的概率公式 P(A)＝. 1．互斥事件与对立事件的关系 互斥与对立都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之中必有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广 ，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．古典概型 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的试验才是古典概型． 1．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　) A．是对立事件 B．是不可能事件 C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙或丁．综上，这两个事件为互斥但不对立事件．故选C. 2．根据统计，某篮球运动员在1 000次投篮中，命中的次数为560，则该运动员(　　) A．投篮命中的频率为0.56 B．投篮10次至少有5次命中 C．投篮命中的概率为0.56 D．投篮100次有56次命中 由题意可知，投篮命中的频率为＝0.56，得到的频率可能大于概率，也可能小于概率，也可能等于概率，故A正确，C错误；投篮10次或100次，每一次的结果都是随机的，其结果可能是一次没中或者多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故B、D错误．故选A. 3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________． 因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为1－0.65＝0.35. 0.35 4．从2名医生、4名护士中选取1名医生、2名护士去进修，护士甲恰被选中的概率为________． 任选1名医生、2名护士共有CC＝12种不同的取法，其中护士甲恰被选中共有CC＝6种不同的取法，故护士甲恰被选中的概率P＝＝. 5．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为______． 设事件A＝“恰有1位同学分到写有自己学号的卡片”，则P(A)＝＝. 1.袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次． (1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间； 用m表示第一次摸出球的编号，用n表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(m，n)(m，n∈{1,2,3,4})表示． (1)若第一次摸出的球不放回，则m≠n，此时的样本空间可表示为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点． (2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间． (2)若第一次摸出的球放回，则m，n可以相同．此时试验的样本空间可表示为Ω＝{(m，n)|m，n∈{1,2,3,4}}，共有16个样本点． 2．同时掷两颗质地均匀的骰子一次． (1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？ 由题意知，样本空间中有36个样本点． (1)由于点数最大是6，和最大是12，点数之和不可能是13，因此此事件不包含任何样本点，是不可能事件，其概率为0. (2)“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？ (2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，此事件包含所有样本点，它是必然事件，其概率为1. (3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？ (3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数之和是7”包含的样本点有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，因此其概率为P＝＝. 确定样本空间的方法 1．必须明确事件发生的条件． 2．根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏. 3.(多选题)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件： A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”， C＝“至少有一个奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”． 下列结论正确的有(　　) A．A＝B B．B⊆C C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个数都是奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶或两偶，此时事件D，E可能同时发生，故C错误；因为C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω，故D正确．故选ABD. 4．从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品． (1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件． (2)“至少有1件次品”和“全是次品”． (2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件． 1．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件． 2．准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 【例1】　(多选题)已知随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，则(　　) A．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝ B．若B⊆A，则P(AB)＝ C．若B⊆A，则P(A＋B)＝ D．若事件A，B互斥，则P(＋)＝ 对于A选项，因为事件A，B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，故A正确；对于B选项，因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝，故B错误；对于C选项，因为B⊆A，所以P(A＋B)＝P(A)＝，故C正确；对于D选项，事件A与事件B是互斥事件，则＋为必然事件，所以P(＋)＝1，故D错误．综上，选AC. 注意以下几条性质的应用 1．若A⊆B，则P(AB)＝P(A)，P(A∪B)＝P(B)． 2．P(＋)＝P()＝1－P(AB)，本题D选项可用此法判断． 【训练1】　(1)如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中圆面Ⅰ、圆环Ⅱ、圆环Ⅲ的概率分别为0.35，0.30,0.25，则射手命中圆环Ⅱ或圆环Ⅲ的概率为________，未命中靶的概率为________． 0.55　 0.10 设射手命中圆面Ⅰ为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，未命中靶为事件D，则P(A)＝0.35，P(B)＝0.30， P(C)＝0.25，事件A，B，C两两互斥，故射手命中 圆环Ⅱ或圆环Ⅲ的概率为P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝ 0.30＋0.25＝0.55，射手命中靶的概率为P(A∪B∪C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为 命中靶和未命中靶是对立事件，所以未命中靶的概 率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10. (2)一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔丝熔断的概率为0.85，乙熔丝熔断的概率为0.74，甲、乙两根熔丝同时熔断的概率为0.63，则该情况下至少有一根熔丝熔断的概率为________. 0.96 设事件A＝“甲熔丝熔断”，事件B＝“乙熔丝熔断”，则有P(A)＝0.85，P(B)＝0.74.“甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件A∩B，则有P(A∩B)＝0.63，“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96，所以至少有一根熔丝熔断的概率为0.96. 【例2】　(1)(2024·湖南联考)将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其被放入的小球编号相同的概率是(　　) A． B． C． D． 将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，共有A＝24(种)放法，其中恰有2个凹槽与其被放入的小球编号相同的放法有C＝6(种)，4个凹槽均与其被放入的小球编号相同的放法有1种，所以至少有2个凹槽与其被放入的小球编号相同的概率P＝＝，故选B. (2)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为(　　) A． B． C． D． 如图，从八个顶点中任选三个构成三角形的有C＝56种结果；其中能构成正三角形的有8种结果：△ACD1，△BDC1，△ACB1，△BDA1，△A1C1B，△B1D1A，△B1D1C，△A1C1D，故所求的概率为 ＝，故选A. 利用公式法求解古典概型问题的步骤 【训练2】　(2022·新课标Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． 从2,3,4,5,6,7,8中随机取2个不同的数有C＝21种结果，其中这2个数互质的结果有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,7)，(3,8)，(4,5)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(6,7)，(7,8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D. $$