第10章 第3节 二项式定理-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第三节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二项式定理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 求展开式中的特定项 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 二项式系数与项的系数和问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十二） 本部分内容讲解结束 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝ ___________________________________________________. (2)通项：Tk＋1＝__________，它表示展开式的第k＋1项． (3)二项式系数：_______________________. Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)　 Can－kbk C(k＝0,1,2，…，n) 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即______________ 增减性 当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减小 C＝C　 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为______；当n是奇数时，中间两项的二 项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为_________________ Cn Cn或Cn 3.各二项式系数的和 (1)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝________. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________. 2n 2n－1 1．二项展开式形式具有的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2．二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 1．(人A选三P31T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．C B．－C C．C D．－C 2．若6展开式中的常数项为60，则常数a的值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．6 由二项式定理得Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)r·a·x6－3r.令6－3r＝0，得r＝2，故15a＝60，a＝4.故选A. 3．(人A选三P34习题6.3T1)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．74 B．121 C．－74 D．－121 4.9的展开式中含x3的项为________． －84x3 5．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________． 由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. －1 考向❶：形如“(a＋b)n(n∈N*)”的展开式问题自练自悟 1．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 (x－)4的展开式的通项Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝(－1)rCx4－ (r＝0,1,2,3,4)．由4－＝3，得r＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2C＝6.故选A. 2．若(1＋x)6的展开式中共有n个有理项，则n的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 因为(1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝C·r＝C·x，r＝0,1，…， 6，当且仅当r＝0,3,6时，为整数，可得T1，T4，T7为有理项．故选C. 3．(2024·天津高考)在6的展开式中，常数项为________． 20 Tk＋1＝C6－kk＝C· 36－2k·x6k－18.令6k－18＝0，则k＝3，所以常数项为T4＝C·30·x0＝20. 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 1．利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(r∈N*且r≤n)，把字母和系数分离(注意符号不要出错)． 2．根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r. 3．把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1. 考向❷：形如(a＋b)n(c＋d)m(m，n∈N*)的展开式问题 【例1】　(1)已知(ax＋1)(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 二项式(2x－1)6的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·(－1)r＝C·26－r·(－1)r·x6－r，(ax＋1)(2x－1)6的展开式中，x5的系数为aC24×(－1)2＋1×C25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，解得a＝1.故选A. (2)(2022·新课标Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________ (用数字作答)． －28 (x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－ryr，r＝0,1…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. 对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 考向❸：三项式问题 【例2】　(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 30 解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30. 解法二：(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积．所以x5y2可从其中5个因式中，两个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. 求三项展开式中某些指定的项的方法 1．两项看成一项，利用二项式定理展开． 2．因式分解，转化为两个二项式再求解． 3．看作多个因式的乘积，用组合的知识解答． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❷ ❸ ❸ 1.(2025·东北模拟)(x－y)5的展开式中x3y2的系数为(　　) A．55 B．－70 C．30 D．－25 (x－y)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r(－y)r,0≤r≤5且r∈N，令r＝2，得T3＝Cx3(－y)2＝Cx3y2，令r＝3，得T4＝Cx2(－y)3＝－Cx2y3，因为(x－y)5＝(x－y)5－(x－y)5，所以Cx3y2－×(－Cx2y3)＝Cx3y2＋2Cx3y2＝30x3y2，所以(x－y)5的展开式中x3y2的系数为30，故选C. 2．在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为(　　) A．－674 B．－675 C．－1 080 D．1 485 (x2－2x－3)5＝(x－3)5(x＋1)5，则x10的系数为1，x2的系数为C(－3)4C＋C(－3)3＋C(－3)5C＝－675，所以在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为－675＋1＝－674.故选A. 3．(＋3y－5)6的展开式中，x2y2的系数为(　　) A．－135 　B．－75 C．75 D．135 (＋3y－5)6可看作6个因式(＋3y－5)相乘，所以其展开式中含x2y2的项为4个因式取，2个因式取3y，所以(＋3y－5)6的展开式中含x2y2的系数为C×32＝135.故选D. 【例3】　(1)若n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是(　　) A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 因为n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以＋1＝5，解得n＝8，则8的展开式通项为Tk＋1＝C(2x2)8－kk＝C×28－k×(－1)k×x16－3k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7,8)，当k为奇数时，系数为负数，当k为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，k为偶数，由展开式通项可知T1＝C28x16＝256x16，T3＝C26x10＝1 792x10，T5＝C24x4＝1 120x4，T7＝C22x－2＝112x－2，T9＝C20x－8＝x－8，所以展开式中系数最大的是第三项．故选B. (2)(多选题)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论正确的是(　　) A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 023 B．展开式中所有奇次项的系数的和为 C．展开式中所有偶次项的系数的和为 D．＋＋＋…＋＝－1 对于A，(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数的和为22 023，故A正确；对于B，令f(x)＝(1－2x)2 023，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝f(1)＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝f(－1)＝32 023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为＝－，展开式中所有偶次项的系数的和为＝，故B错误，C正确；对于D，a0＝f(0)＝1，＋＋＋…＋＝f－a0＝－1，故D正确．故选ACD. 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 【训练】　(1)(多选题)已知2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则(　　) A．n＝4 B．展开式中所有项的系数和为1 C．展开式中二项式系数和为24 D．展开式中不含常数项 由题意得＝，则＝，解得n＝4，故A正确；所以2n＋1＝9，令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误；所以9的二项式系数和为29，故C错误；9的通项为Tk＋1＝C9－k(－2x)k＝C(－2)kx2k－9，若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，解得k＝∉N，所以不存在常数项，故D正确．故选AD. (2)(2025·江苏联考)若(1＋x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023 ，则a0＋a2＋a4＋…＋a2 022被5除的余数是________． 4 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝22 023　①，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝0　②，①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 022)＝22 023，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝＝22 022,22 022＝(22)1 011＝41 011＝(5－1)1 011＝C×51 011－C×51 010＋C×51 009－…－C×52＋C×5－1＝C×51 011－C×51 010＋C×51 009－…－C×52＋C×5－5＋4，所以22 022被5除的余数是4，即a0＋a2＋a4＋…＋a2 022被5除的余数是4. $$