第10章 第2节 排列与组合-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第二节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 排列与组合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 排列问题 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 组合问题 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 排列与组合的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（八十一） 本部分内容讲解结束 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. 1．两个概念 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照___________ ___________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． [微点清]　元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合． 一定的顺序 排成一列　 作为一组 2．两个公式 (1)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.规定0！＝________.(这里m，n∈N*，并且m≤n) (2)组合数公式 C＝＝＝.规定C＝________.(这里m，n∈N*，并且m≤n) 1 1 [微点清]　①排列数与组合数之间的联系为CA＝A(n，m∈N*，m≤n)．②两种形式分别为连乘积形式和阶乘形式，前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证． 3．排列数与组合数的性质 (1)C＝；(2)C＝C；(3)C＝C＋C；(4)A＝nA. 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 1．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．3×4×5＝A B．C＋C＝C C．若C＝C，则x＝3 D．C＋C＋C＋C＝64 3×4×5＝A，故A正确；C＋C＝2C＝2×＝20，C＝＝15，故C＋C≠C，故B错误；C＝C，则x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2或x＝4，故C错误；C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝1＋＋＋7＝64，故D正确．故选AD. 2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝24.故选B. 3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 男女生都有的选法种数是C－C－C＝30.故选C. 4．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有________种． 先把甲、乙二人捆绑在一起，再把甲、乙看成一个整体和其他4人进行全排列，故有AA＝240种排法． 240 5．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种． 第一步，先从4名学生中任选2人组成一组，与剩下2人分成三组，有C＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案． 36 【例1】　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (1)从7人中选5人排成一排，不同的排列方法总数是 A＝7×6×5×4×3＝2 520. (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (2)解法一：分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，故共有A·A＝5 040种不同的排列方法． 解法二：(多排问题单排法)由题意知共有A＝5 040种不同的排列方法． (3)全体排成一排，甲既不站排头也不站排尾； (3)解法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，故共有5A＝3 600种不同的排列方法． 解法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排除甲外6人中的两人，有A种排法，其他位置有A种排法，故共有AA＝3 600种不同的排列方法． (4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (4)7名学生全排列，有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3 720种不同的排列方法． (5)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种不同的排列方法． (6)全体排成一排，男生互不相邻． (6)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种不同的排列方法． (7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定． (7)解法一：由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的不同站法共有＝840种． 解法二：从7个位置中选3个位置排甲、乙、丙，其余4人全排列，共有C×A＝840种不同的排列方法． 对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 【训练1】　(多选题)(2025·石家庄质检)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　) A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法有72种 D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 对于A，因为甲、乙、丙有序排列，所以先排甲、乙、丙，此时，形成甲、乙、丙三人之间的2个空隙以及甲的左边、丙的右边各1个空隙，共4个空隙．若丁、戊不相邻，有A＝12(种)排法；若丁、戊相邻，有AC＝8(种)排法．所以不同的排法共有12＋8＝20(种)，故A不正确．对于B，因为甲、乙不相邻，所以先排丙、丁、戊，有A种排法，此时，形成丙、丁、戊三人之间的2个空隙以及最左边、最右边各1个空隙，共4个空隙，再将甲、乙插入这4个空隙中，有A种排法．所以不同的排法共有AA＝ 72(种)，故B正确．对于C，甲、乙都不在两端，则甲、乙有A种排法，剩余三人有A种排法，共AA＝36(种)排法；甲在最右端，乙在最左端，有A＝6(种)排法；甲在最右端，乙不在最左端，有CA＝18(种)排法；甲不在最右端，乙在最左端，有CA＝18(种)排法．所以不同的排法共有36＋6＋18＋18＝78(种)，故C不正确．对于D，因为甲、乙捆绑且甲、乙有序，所以不同的排法有A＝24(种)，故D正确．综上，选BD. 【例2】　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某个活动，依下列条件各有多少种选择？ (1)只有一名女生当选； (1)只有一名女生当选即为有一名女生和四名男生当选，故选法共有C×C＝350(种)． (2)两队长当选； (2)两队长当选，选法共有C×C＝165(种)． (3)至少有一名队长当选； (3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故选法共有C×C＋C×C＝825(种)，或采用间接法：选法共有C－C＝825(种)． (4)男生甲和女生乙当选； (4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，故选法共有C＝165(种)． (5)最多有两名女生当选． (5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．故选法共有C×C＋C×C＋C＝966(种)． 组合问题常有以下两类题型 1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 2．“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与遗漏，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 【训练2】　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．C·C种 B．C·C种 C．C·C种 D．C·C种 根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×＝40(名)，高中部共抽取60×＝20(名)，根据组合数公式和分步乘法计数原理得，不同的抽样结果共有C·C种．故选D. (2)(2024·重庆二诊)有男、女教师各1人，男、女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有(　　) A．10种 B．12种 C．15种 D．20种 有一名女性时，不同的选派方案有(CC＋CCC＋CC)种；有2名女性时，不同的选派方案有(CCC＋CC＋CC)种；有3名女性时，不同的选派方案有CC种，故不同的选派方案有CC＋CCC＋CC＋CCC＋CC＋CC＋CC＝15种．故选C. 考向❶：先选后排问题 【例3】　某班班会准备从含甲、乙的7人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，且若甲、乙都发言，则他们发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有(　　) A．720种 B．520种 C．360种 D．600种 分两种情况：①若甲、乙只有一人参加，再从剩余的5个人中选出3人，将选出的4人进行全排列，则共有C×C×A＝480种发言顺序；②若甲、乙都参加，再从剩余的5个人中选出2人，选出的4人在排列时，因为甲、乙不相邻，所以先将另外两人排列，再将甲、乙插空，则共有C×A×A＝120种发言顺序．根据分类加法计数原理可得，共有480＋120＝600种发言顺序．故选D. 求解此类问题一般采用先选后排的方法，选人时需分两种情况，即甲、乙只有一人发言或甲、乙都发言．若甲、乙都发言，将选出的4人进行排列时，需将甲、乙插空． 考向❷：分组分配问题 【例4】　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (1)(无序不均匀分组问题)先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种选法，故共有C×C×C＝60种不同的分配方法． (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (2)(有序不均匀分组问题)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配，共有C×C×C×A＝360种不同的分配方法． (3)平均分成三份，每份2本； (3)(无序均匀分组问题)平均分成三份，共有＝15种不同的分配方法． (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种不同的分配方法． (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有＝15种不同的分配方法． (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本． (6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种不同的分配方法． 解决分组、分配问题的策略 1．对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． 2．对于部分均分，若有m组元素个数相等，且地位相同，则分组时应除以A. 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.(2024·厦门质检)某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有(　　) A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 A公司只有甲去，不同的安排方法有C种；A公司除了甲还有1个人去，不同的安排方法有CCA种，故不同的安排方法有C＋CCA＝30种．故选B. 2．(2025·邯郸模拟)某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有(　　) A．21种 B．30种 C．42种 D．60种 4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，有种情况.3个社团中选择2个社团，有C种情况．把2个组分配给2个社团，有A种情况．由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有×C×A＝42种．故选C. 1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A． B． C． D． 四人全排列有A＝24种排法，其中丙不在排头，甲或乙在排尾有CAA＝8种排法，所以P＝＝.故选B. 2．(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，所以甲场馆从6人中挑一人有C＝6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有C＝10种结果；余下的3人去丙场馆．故共有6×10＝60种安排方法．故选C. 3．(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解法一(直接法)：第一种情况：甲站在最中间，丙丁站在甲的左边或右边有2种选择，然后丙丁两个内部全排，乙戊在剩下的两个位置全排列，有2AA＝8种站法．第二种情况：甲站在左二或右二有2种选择，以甲站左二位置为例，丙丁在甲的右侧三个位置中相邻有2种选择，然后丙丁两个内部全排列，乙戊在剩下的两个位置全排列，有2×2AA＝16种站法．所以甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式共有8＋16＝24种．故选B. 解法二：丙和丁相邻共有A·A种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有C·A·A种站法，所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A·A－C·A·A＝24种站法，故选B. 4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B． 60种 C．120种 D． 240种 第一步：甲、乙两位同学从6种课外读物中选出1种相同的有C＝6种选法；第二步：从剩下的5种课外读物中选2种分给甲、乙有A＝20种选法．所以符合要求的选法共有6×20＝120种，故选C. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 64 选修2门课，体育类和艺术类各选1门，共有C·C＝16种选课方案；选修3门课，分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况，共有C·C＋C·C＝48种选课方案．因此不同的选课方案共有16＋48＝64种． $$