第9章 第3节 成对数据的统计分析-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

第九章 统计与成对数据的统计分析 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第三节 第九章　统计与成对数据的统计分析 成对数据的统计分析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 成对数据的相关性 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 经验回归模型 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 答案 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 独立性检验 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（七十九） 本部分内容讲解结束 1.了解样本相关系数的统计含义；2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题；3.会利用统计软件进行数据分析. 1．变量的相关关系 (1)相关关系的分类：正相关和负相关． (2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在___________附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 一条直线 2．样本相关系数 (1)样本相关系数r的计算 变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下： r＝. 强　 弱 (2)样本相关系数r的性质 ①当r>0时，称成对样本数据______相关；当r<0时，称成对样本数据_____相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． ②样本相关系数r的取值范围为________． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越________； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越________． 正　 负 [－1,1]　 3．一元线性回归模型 (1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，其中 (2)残差：观测值减去__________所得的差称为残差． (3)决定系数 R2＝1－，R2越________，即模型的拟合效果越好，R2越________，即模型的拟合效果越差． 预测值 大　 小 4．列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 记n＝a＋b＋c＋d，则随机变量χ2＝. (2)独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． 下表给出了χ2独立性检验中五个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1．相关关系与函数关系的异同 共同点：二者都是指两个变量间的关系； 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．经验回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)． 3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误． 4．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两个分类变量有关的把握越大． 1．(多选题)下列有关回归分析的说法中正确的是(　　) A．相关关系是一种确定性的关系 B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关 D．两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0 相关关系是不确定的关系，故A错；经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B错；当样本相关系数r>0时，两个变量正相关，故C对；两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0，故D对．故选CD. 2．如图，有5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是(　　) A．样本相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．R2变大 D．解释变量x与响应变量y的相关程度变强 去掉一个极端值，根据样本相关系数、残差平方和的定义、R2的含义可知，A、C、D正确．故选B. 3．已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示，根据下表可得y关于x的经验回归方程为＝7x＋，则当该产品的营销费用为6万元时，预计销售额为(　　) 营销费用x/万元 2 3 4 5 销售额y/万元 15 20 30 35 A．40.5万元 B．41.5万元 C．42.5万元 D．45万元 ＝＝3.5，＝＝25，因为经验回归方程为＝7x＋，所以25＝3.5×7＋，解得＝0.5，所以经验回归方程为＝7x＋0.5，将x＝6代入，得＝7×6＋0.5＝42.5.故当该产品的营销费用为6万元时，预计销售额为42.5万元．故选C. 4．已知变量x和y的统计数据如表： x 6 7 8 9 10 y 3.5 4 5 6 6.5 若由表中数据得到经验回归方程为＝0.8x＋，则当x＝10时的残差为________(注：观测值减去预测值所得的差称为残差)． ＝＝8，＝＝5，则＝5－0.8×8＝－1.4，所以＝0.8x－1.4，当x＝10时，＝6.6，所以当x＝10时的残差为6.5－6.6＝－0.1. －0.1　 5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表所示： 性别 主修专业 合计 非统计专业 统计专业 男 13 10 23 女 7 20 27 合计 20 30 50 为了判断主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性________0.05(填“大于”或“小于”)． 小于 附： α 0.1 0.05 0.01 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 10.828 因为χ2>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为主修专业与性别有关，这种判断出错的可能性小于0.05. 【例1】　某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y(单位：百人)的数据. 天数代码x 1 2 3 4 5 6 7 滑雪人数y/百人 11 13 16 15 20 21 23 根据第1至7天的数据分析，可用线性回归模型来拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明．(保留两位有效数字) 参考数据：iyi＝532，≈57.48. 参考公式： 对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其样本相关系数 r＝. 附： α 0.1 0.05 0.01 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 10.828 因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(11＋13＋16＋15＋20＋21＋23)＝17，所以(xi－)(yi－)＝iyi－7＝532－7×4×17 ＝56，所以r＝≈≈0.97，所以样本相关系数r的绝对值接近于1，所以可以推断x和y这两个变量线性相关，且相关程度很强． 判断两个变量相关性的方法 1．画散点图：点的分布从左下角区域到右上角区域，两个变量正相关；点的分布从左上角区域到右下角区域，两个变量负相关． 2．样本相关系数：根据成对样本数据，直接求出r，当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关；|r|越接近于1，两个变量相关程度越强． [注意]　样本相关系数r为判定两个变量是否线性相关的指标，且绝对值越大，线性相关程度越强，而不是r越大，线性相关程度越强． 【训练1】　(2025·石家庄一模)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重，制作成表格. 身高x (单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181 体重y (单位：kg) 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图，由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为＝1x＋1，其相关系数为r1；经过残差分析，点(167,90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线l2的方程为＝2x＋2，相关系数为r2，则下列选项正确的是(　　) A．1<2，1>2，r1<r2 B．1<2，1<2，r1>r2 C．1>2，1<2，r1>r2 D．1>2，1>2，r1<r2 ＝＝≈176，因为离群点(167,90)的横坐标167小于平均值176，纵坐标 90相对过大，所以去掉(167,90)后经验回归直线 的截距变小而斜率变大，故1<2，1>2，去掉 (167,90)后相关性更强，拟合效果也更好，且是 正相关，所以r1<r2，故选A. 考向❶：一元线性回归模型 【例2】　某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表： 利率上升百分点x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 日均存款总额y/亿元 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8 (1)在给出的直角坐标系中画出上表数据的散点图； (1)如图所示． (2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)由题表数据可得＝×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，＝×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以＝＝＝1.5，＝－＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故y关于x的经验回归方程为＝1.5x＋0.05. (3)已知现行存款利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行存款利率下的2倍时，存款利率需上升多少个百分点？ 参考公式及数据：①＝，＝－，②iyi＝0.9， ＝0.55. (3)设存款利率需上升x个百分点，由(2)及题意得，0.625×2＝1.5x＋0.05，解得x＝0.8，所以预测存款利率需上升0.8个百分点． 线性回归分析问题的解题策略 1．利用最小二乘估计公式，求出回归系数. 2．利用经验回归直线过样本点的中心求系数. 3．写出经验回归方程，并利用经验回归方程进行预测． 【训练2】　(多选题)下表是2024年某市1～5月份新能源汽车销量y(单位：千辆)与月份x的统计数据， 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 5 6 6 8 由表中数据求得经验回归方程为＝0.7x＋，则下列说法正确的是(　　) A．＝3.9 B．y与x正相关 C．由经验回归方程估计，月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆 D．由已知数据可以确定，6月份该市新能源汽车销量一定为8.1千辆 由＝＝3，＝＝6，得样本点的中心为(3,6)，代入＝0.7x＋，得6＝0.7×3＋，解得＝3.9，故A正确；由经验回归方程的系数是0.7>0，知y与x正相关，且月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆，故B、C正确；经验回归方程只能顸测趋势，不能确定销量，故D错误．故选ABC. 考向❷：非线性回归模型 【例3】　(2025·广州一模)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与心率f(单位：次/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1,2，…，8)．根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数)．令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为________；为判断拟合效果，通过经验 　－0.3 回归方程求得预测值i(i＝1,2，…，8)，若残差平方和(yi－i)2≈0.28，则决定系数R2≈________. 　0.98 将＝8，＝5代入经验回归方程＝x＋7.4，得5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3.(yi－)2＝(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y8－)2＝y＋y＋…＋y－2(y1＋y2＋…＋y8)＋82＝y＋y＋…＋y－2·8＋ 82＝－82，所以R2＝1－＝1－≈1－＝0.98. 非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程常用方法： 1．若y＝a＋b，设t＝，则＝＋t. 2．若y＝a＋bln x，设t＝ln x，则＝＋t. 3．若y＝c1ec2x，两边取自然对数，得ln y＝ln c1＋c2x，设z＝ln y，＝ln c1，＝c2，则＝＋x. 【训练3】　用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程为＝0.5x＋2，则c＝(　　) A．0.5 B．e0.5 C．2 D．e2 因为y＝cekx，两边取对数，得ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c，则＝x＋ln ，而＝0.5x＋2，于是得ln ＝2，即＝e2.故选D. 【例4】　(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s，t； (1)s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150. (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值； (2)p＝＝. (3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ 附：χ2＝ α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (3)零假设H0：药物A对预防疾病B无效，根据列联表中的数据可求得χ2＝＝≈6.73>6.635，根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可推断H0不成立．因此认为药物A对预防疾病B有效． 独立性检验的一般步骤 1．提出零假设H0. 2．根据样本数据制成2×2列联表． 3．根据公式χ2＝计算． 4．比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断． 【训练4】　甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 公司 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； (1)由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为＝，B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为＝. (2)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 (2)零假设为H0：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关，列联表如下表所示： 公司 班次是否准点 合计 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 χ2＝≈3.205>2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 1．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100)，故A不正确；对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300,1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确．综上所述，故选C. 2．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机 抽取10位社区居民，让他们 在讲座前和讲座后各回答一 份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后 问卷答题的正确率如图，则 (　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 解法一：根据散点图，讲 座前问卷答题正确率的10个 数据中，小于或等于70%的 有5个，这意味着中位数必 然大于70%，故选项A错误． 讲座后问卷答题正确率的10 个数据中，有1个为80%,4 个为85%，其余数据大于或等于90%，经估算知，平均数大于85%，故选项B正确．从散点图可以看出，与讲座后的正确率的数据相比，讲座前正确率的数据更为分散，故标准差更大，故选项C错误．从散点图可直接看出，讲座前正确率的极差更大，故选项D错误．故选B. 解法二：根据散点图可知，讲座前问卷答题正确率的中位数为(70%＋75%)>70%，故选项A错误．由散点图中数据计算知，讲座后问卷答题正确率的平均数为89.5%，故选项B正确．从散点图可以看出，与讲座后问卷答题的正确率数据相比，讲座前问卷答题的正确率数据更为分散，故标准差更大，选项C错误．由散点图中数据计算可知，讲座前的正确率极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题正确率的极差为100%－80%＝20%，故选项D错误．故选B. 3．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则(　　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 A项，设＝i，则＝i＝(xi＋c)＝i＋c，所以＝＋c，因为c≠0，所以≠，所以A选项错误．B项，因为yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，所以y1，y2，…，yn的中位数是x1，x2，…，xn的中位数加c，所以B选项错误．C项，设s＝(xi－)2，s＝(yi－)2，所以s＝ (xi＋c－－c)2＝(xi－)2，所以s＝s，所以两组数据的方差相同，从而这两组数据的标准差相同，所以C选项正确．D项，设x1<x2<…<xn，则第一组数据的极差为xn－x1，设y1<y2<…<yn，则第二组数据的极差为yn－y1＝(xn＋c)－(x1＋c)＝xn－x1，所以两组数据的极差相同，所以D选项正确，故选CD. 4．(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 对于A，如1,2,2,2,2,4的平均数不等于2,2,2,2的平均数，故A错误；对于B，不妨设x2≤x3≤x4≤x5，则x2，x3，x4，x5的中位数为，x1，x2，…，x6的中位数为，故B正确；对于C，x1，x2，…，x6的数据波动性更大，故C错误；对于D，不妨设x2≤x3≤x4≤x5，则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，所以x5－x2≤x6－x1，故D正确．故选BD. $$