第9章 第2节 用样本估计总体-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

第九章 统计与成对数据的统计分析 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第二节 第九章　统计与成对数据的统计分析 用样本估计总体 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 总体百分位数的估计 自练自悟 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 总体集中趋势的估计 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 总体离散程度的估计 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（七十八） 本部分内容讲解结束 1.了解百分位数的意义和作用，会计算样本的百分位数，理解它在实际中的应用；2.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释；3.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；4.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)、离散程度参数(标准差、方差、极差). 1．百分位数 (1)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)四分位数．常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第________百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第________百分位数也称为第三四分位数或上四分位数． 25　 75 2．总体集中趋势的估计 众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现__________的数据 取最高的小矩形底边中点的横坐标 次数最多 中位数 将数据按大小依次排列，处在__________________________________________________ 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数＝(x1＋x2＋…＋xn) 每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和 最中间位置的一个数据(或 最中间两个数据的平均数) 3.总体离散程度的估计——方差和标准差 (1)假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我 们称______________为这组数据的方差．有时为了计算方差的方便，我们 还把方差写成－2的形式．为了与原始数据的单位一致，我们对方差 开平方，取它的算术平方根________________，称为这组数据的标准差． (xi－)2　 (2)方差和标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度． 方差：____________________________________________. 标准差：s＝. s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] (3)分层随机抽样的均值与方差． 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为s，则＝i，s＝(xi－)2，＝i，s＝(yi－)2. 则①＝＋； ②s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}． 1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. 2．若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则： (1)数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； (2)数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 1．在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是(　　) A．平均数 B．众数 C．百分位数 D．标准差 标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确． 2．样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为(　　) A．14 B．16 C．18 D．20 将所给样本数据按由小到大的顺序排列为10,12,14,14,16,20,24,30,40，故中位数是16.故选B. 3．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) A．A>B，sA>sB B．A<B，sA>sB C．A>B，sA<sB D．A<B，sA<sB 观察题图可得样本A的数据均小于或等于10，样本B的数据均大于或等于10，故A<B，又样本B 的数据波动范围较小，故sA>sB. 故选B. 4．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________． 14.5 　17 因为75%×20＝15，所以第75百分位数为＝14.5.因为86%×20＝17.2，所以第86百分位数为第18个数据17. 5．有一组数据：－1,a,－2,3,4,2，它们的中位数是1，则这组数据的平均数是________． 数据－1，a，－2,3,4,2，已知除a以外的数据从小到大排序为－2，－1,2,3,4，要使得中位数为1，则a在第3位或第4位，即＝1，a＝0，经检验符合题意，所以这组数据的平均数是＝1. 1 1.已知100个数据的第25百分位数是12.5，则下列说法正确的是(　　) A．这100个数据中一定有25个数小于12.5 B．把这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据和第26个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据和第24个数据的平均数 因为100×25%＝25为整数，所以根据百分位数的定义，可知将这100个数据从小到大排列后，12.5是第25个数据和第26个数据的平均数，所以这100个数据中一定有25个数小于或等于12.5，故A、B、D错误，C正确． 2．(2025·马鞍山一模)现有一组数据： 663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656，则这组数据的第85百分位数是(　　) A．652 B．668 C．671 D．674 由题意这组数据共12个，则12×85%＝10.2，将这组数据从小到大排列为651,652,653,656,656,663,664,664,665,668,671,674，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671.故选C. 3．某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图， 第40百分位数估计为(　　) A．64 B．65 C．66 D．67 由题图可知(a＋0.015＋0.025＋0.035＋a＋0.005)×10＝1，所以a＝0.010,0.010＋0.015＋0.025＝0.05，即第40百分位数位于区间[60,70)，设第40百分位数为x，则＝，解得x＝66.故选C. 1．计算一组n个数据第p百分位数的步骤 (1)按从小到大排列原始数据；(2)计算i＝n×p%；(3)若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数；若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据． 2．频率分布直方图中总体百分位数的估计与步骤 (1)确定要求的p%分位数所在分组[A，B)；(2)由频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×. 【例1】　(1)10名工人某天生产同一零件，生产的件数是： 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a 从小到大排列此数据为：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.平均数为×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；数据17出现了三次，17为众数；第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以a＝14.7，b＝15，c＝17，即a<b<c.故选B. (2)(多选题)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是(　　) A．频率分布直方图中第三组的频数为10 B．根据频率分布直方图估计样本的众数 为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的中位 数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误．故选ABC. 频率分布直方图的数字特征 1．众数：最高矩形的底边中点的横坐标． 2．中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． 3．平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 【训练】　(1)(2025·兰州模拟)某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取8人的得分作为样本．分数从低到高依次为84,85,87,87,90，a，b,99，若这组数据的第75百分位数为94，则利用样本估计此次竞赛的平均分为(　　) A．85 B．86 C．90 D．95 因为8×75%＝6，所以这组数据的第75百分位数为＝94，得a＋b＝188，所以这组数据的平均数为＝90，故选C. (2)众数、平均数、中位数从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图所示的分布形态中，平均数、众数和中位数的大小关系是(由小到大排列)(　　) A．众数<中位数<平均数 B．平均数<众数<中位数 C．中位数<平均数<众数 D．众数<平均数<中位数 众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二组的中点处．因为直方图在右边拖尾，所以平均数大于中位数，又中位数左边和右边的直方图的面积相等，所以中位数落在第三组内，因此有众数<中位数<平均数．故选A. 考向❶：方差与标准差 【例2】　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． (2)因为2＝2＝，＝11＝>，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小． 考向❷：分层随机抽样的方差 【例3】　(2024·浙江二模)为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为(　　) A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.55 由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为＝×8＋×9＋×10＝9.3，该校学生每天学习时间的方差为s2＝×[0.5＋(8－9.3)2]＋×[0.8＋(9－9.3)2]＋×[1＋(10－9.3)2]＝1.45.故选B. 计算分层随机抽样方差 首先求出各层的平均数与方差，最后应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]求解． 【题组对点练】　 题号 1 2 考向 ❶ ❷ 1.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为，则另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数、标准差分别为(　　) A．2， B．2,1 C．4， D．4， 因为一组数据x1，x2，x3.x4，x5的平均数为2，方差为，所以另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数为3×2－2＝4，方差为32×＝，即平均数、标准差分别为4，.故选C. 2．(2025·东北四市联考)为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为s，s，该班成绩的方差为s2，则下列结论中一定正确的是(　　) A．s2＝ B．s2≥ C．s2＝ D．s2≥ 设该班的男生组成绩的平均值为，女生组成绩的平均值为，该班成绩的平均值为.因为男生组成绩和女生组成绩的方差分别为s，s，该班成绩的方差为s2，且男生有35人，女生有25人，所以s2＝≥＝，故选D. $$