第4章 新定义1-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学课件聚焦高考新定义问题，覆盖以三角函数为载体的新性质、新概念、新运算等核心考点，严格对接高考评价体系，通过类型化梳理分析考点权重，归纳常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“类型解析+思路点睛”的备考策略，通过新定义问题的分步解析培养学生数学思维，结合“微练（四十）”强化应试技巧，助力学生掌握新定义题型突破方法，提升得分率，为教师提供系统复习框架，高效指导高考冲刺。

1.以三角函数为载体的 新定义问题 新 定 义 类型一 定义新性质 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 定义新概念 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 定义新运算 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（四十） 本部分内容讲解结束 【例1】　(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝，则(　　) A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D．tanh(x＋y)＝ 对于选项A，由于y＝ex和y＝－e－x均为增函数，故A正确；对于选项B，由于对任意x∈R，cosh(－x)＝cosh x，故双曲余弦函数为偶函数，由偶函数的性质可知，B项错误；对于选项C，有tanh x＝＝1－，故C正确；对于选项D， ＝ ＝ ＝＝＝tanh(x＋y)， 选项正确．综上所述，正确的选项是ACD. 对新定义的题型要注意以下几点： (1)读懂定义所给的主要信息，筛选出重要的关键点． (2)利用好定义所给的表达式以及相关的条件． (3)含有参数时要注意分类讨论. 【例2】　(2024·黑龙江大庆三模)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点； ②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为△ABC的费马点，且cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1. (1)求C； (1)因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1，所以1－2sin2A ＋1－2sin2B－1＋2sin2C＝1，即sin2A＋sin2B＝sin2C， 由正弦定理得a2＋b2＝c2.所以C＝90°. (2)若c＝4，求|MA|·|MB|＋|MB|·|MC|＋|MC|·|MA|的最大值； (2)由(1)知C＝90°，所以△ABC的三个角都小于120°，如图，因为点M为△ABC的费马点，所以∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°.由S△ABC＝S△AMB＋S△BMC＋S△CMA得：ab＝|MA|·|MB|sin 120°＋|MB|·|MC|sin 120°＋|MC|·|MA|sin 120°，整理得|MA|·|MB|＋|MB|·|MC|＋|MC|·|MA|＝ab.又因为c2＝a2＋b2＝16≥2ab，所以ab≤8， 当且仅当a＝b时等号成立． 所以|MA|·|MB|＋|MB|·|MC|＋|MC|·|MA|＝ab≤， 所以|MA|·|MB|＋|MB|·|MC|＋|MC|·|MA|的最大值为. (3)若|MA|＋|MB|＝t|MC|，求实数t的最小值． (3)由(2)知∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°.设|MC|＝x，|MA|＝mx，|MB|＝nx(x>0，m>0，n>0)，由|MA|＋|MB|＝t|MC|得m＋n＝t.由余弦定理得：在△ACM中，|AC|2＝x2＋m2x2－2mx2cos 120°＝(m2＋m＋1)x2，在△BCM中，|BC|2＝x2＋n2x2－2nx2cos 120°＝(n2＋n＋1)x2，在△ABM中，|AB|2＝m2x2＋n2x2－2mnx2cos 120°＝(m2＋n2＋mn)x2，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(m2＋m＋1)x2＋(n2＋n＋1)x2＝(m2＋n2＋mn)x2，整理得m＋n＋2＝mn.因为m＋n＋2＝mn≤2，当且仅当m＝n时等号成立，所以t＋2≤2，整理得t2－4t－8≥0，解得t≥2＋2或者t≤2－2(舍去)，所以实数t的最小值为2＋2. 新定义问题的解法 根据题干所给定义，转化成所学知识，从而解决问题．在本题中，给出了当△ABC的三个内角均小于120°时，确定费马点的方法，即“满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O为费马点”，由(1)知△ABC为直角三角形，再结合点M是Rt△ABC的费马点知∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°，从而解决(2)(3)两个小题. 【例3】　(2024·安徽二模)已知集合M是满足下列运算的函数f(x)的全体：存在实数T，对任意的x∈R，有f(x＋T)＋f(x－T)＝Tf(x)． (1)试问函数f(x)＝x2是否属于集合M？并说明理由； (1)函数f(x)＝x2不属于集合M.理由如下：由题意得f(x＋T)＋f(x－T)＝(x＋T)2＋(x－T)2＝2x2＋2T2，Tf(x)＝Tx2，由f(x＋T)＋f(x－T)＝Tf(x)得2x2＋2T2＝Tx2，结合x的任意性，得显然T无解，所以不存在实数T，对任意的x∈R，有f(x＋T)＋f(x－T)＝Tf(x)．即函数f(x)＝x2不属于集合M. (2)若函数f(x)＝x－sin ωx∈M，求正数ω的取值集合； (2)由题意得，f(x＋T)＋f(x－T)＝(x＋T)＋(x－T)－sin(ωx＋ωT)－sin(ωx－ωT)＝2x－2sin ωxcos ωT，又Tf(x)＝Tx－Tsin ωx，由f(x＋T)＋f(x－T)＝Tf(x)得2x－2sin ωxcos ωT＝Tx－Tsin ωx，结合x的任意性，得所以cos 2ω＝1，所以2ω＝2kπ，又ω>0，即ω＝kπ，k∈N*，所以正数ω的取值集合为{ω|ω＝kπ，k∈N*}． (3)若函数f(x)＝ekx∈M，证明：|ke－ke－|≤1. (3)由函数f(x)＝ekx∈M得ekx＋kT＋ekx－kT＝Tekx，即ekT＋e－kT＝T，由题意可得，存在非零常数T，使得ekT＋e－kT＝T，即方程ekx＋e－kx＝x有解，令g(x)＝ekx＋e－kx－x，即函数g(x)有零点，g′(x)＝k(ekx－e－kx)－1，下面证明ex≥x＋1，令q(x)＝ex－x－1，则q′(x)＝ex－1，当x>0时，q′(x)>0，当x<0时，q′(x)<0，故q(x)＝ex－x－1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故q(x)＝ex－x－1在x＝0处取得极小值，也是最小值，故q(x)≥q(0)＝0，故ex≥x＋1>x. (ⅰ)当k>0时，g′(x)在R上单调递增，又g′(0)＝－1，当x→＋∞时，g′(x)→＋∞，不妨取n＝>0，则g′(n)＝k(ekn－e－kn)－1>k(ekn－e0)－1>k·kn－1＝0，所以g′(x)＝0有根记为x＝x0(x0>0)，且ekx0－e－kx0＝　①，当x∈(－∞，x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，x0)上单调递减，(x0，＋∞)上单调递增，考虑到当x→－∞时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞.任意给定正实数a，当x<－a时，g(x)＝ekx＋e－kx－x>－x>a，当x>max时，由于ex≥x＋1>x⇒e>⇒ex>， x>0⇒ekx>，x>0，故g(x)>ekx－x>(kx)2－x＝(k2x－4)>(k2·－4)＝x·a≥a，g(x0)≤0时，即可保证函数g(x)有零点，即ekx0－e－kx0≤x0　②，由②2－①2得4≤x－，由x0>0得kx0≥　③，将③代入①有≥e－e－，化简得ke－ke－≤1，由k>0得0≤ke－ke－≤1　④. (ⅱ)当k<0时，则－k>0，用－k替换(ⅰ)中的k，得0<－ke＋ke－≤1，即－1≤ke－ke－<0　⑤，由④⑤得－1≤ke－ke－≤1，即|ke－ke－|≤1，k≠0. (ⅲ)当k＝0时，f(x)＝1，取T＝2，则f(x＋2)＋f(x－2)＝2f(x)，满足f(x＋T)＋f(x－T)＝Tf(x)，则f(x)∈M，综上，|ke－ke－|≤1. 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征(包括单调性、特殊位置的函数值符号、隐零点的探索、参数的分类讨论等)，需要学生对多种基本方法、基本思想、基本能力进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的． $$