第4章 第7节 解三角形应用举例-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学课件聚焦解三角形应用高考核心考点，依据课程标准要求，系统梳理正弦定理、余弦定理及实际测量中的仰角俯角等概念。通过分析近五年高考真题，明确余弦定理应用、实际问题转化等高频考点权重，归纳距离测量、高度计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，精选2020-2024年全国卷真题，如2023年角平分线问题，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理计算的素养。通过高度测量题中余弦定理应用、距离问题中正弦定理选择等实例，帮助学生掌握画图转化、定理选用技巧，提升得分率，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

第四章 三角函数与解三角形 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七节 第四章 三角函数与解三角形 解三角形应用举例 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 距离问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 高度问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 角度问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考真题/重温 赢在微点 数学 大一轮 第三部分 ——明确方向 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三十九） 本部分内容讲解结束 能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图①)． 2．方位角 从正北方向起按顺时针转 到目标方向线之间的水平夹角 叫做方位角．如B点的方位角 为α(如图②)． 下方 3．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． 4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 1．(人A必二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(　　) A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向 C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向 由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向．故选D. 2．(人A必二P50例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．(30＋30) m B．(15＋30) m C．(30＋15) m D．(15＋15) m 在△ABP中，∠APB＝45°－30°＝15°，所以sin∠APB＝sin 15°＝×－×＝，由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)，所以该树的高度为30(＋)sin 45°＝(30＋30)(m)． 故选A. 3．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km. 在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)． 4．如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________ m. 设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝x m．由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m. 12 【例1】　如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C到D的距离为(　　) A．20海里 B．8海里 C．23海里 D．24海里 在△ABD中，B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，可得AD＝＝＝24(海里)．在△ACD 中，AD＝24海里，AC＝8海里，∠CAD＝30°，由余 弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192.所以CD＝8海里．故选B. 距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当． 【训练1】　一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为(　　) A． B． C． D． 在△ABC中，由正弦定理得BC＝＝，所以河流的宽度d＝BCsin∠ABC＝.故选A. 【例2】　小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝10 m；②B处的仰角60°；③C处的仰角45°；④cos∠BAC＝；⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　) A．9 m B．10 m C．10 m D．10 m 选①②③⑤.设旗杆的高度OA＝h，则OC＝h，OB＝.如图，在△BOC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC， 即102＝2＋h2－2·h··，解得h＝10(m)．故选D. 求解高度问题的3个注意事项 1．在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【训练2】　(2025·西安模拟)中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名遐迩．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处(B，C，N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度MN约为(　　) A．64 m B．74 m C．52 m D．91 m 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝37，∠ACB＝30°，所以AC＝2AB＝74，在Rt△MNC中，NC⊥MN，∠MCN＝45°，所以MN＝MC·sin 45°＝MC.由题意，∠MAC＝15°＋30°＝45°，∠MCA＝180°－45°－30°＝105°，故∠AMC＝180°－105°－45°＝30°.在△ACM 中，由正弦定理 ＝，得＝ ，故MC＝＝74，所以MN＝×74＝74，故选B. 【例3】　已知在岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘救援艇．岛A处的一艘故障船正以10海里/时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问救援艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船？ 如图，设救援艇在C处追赶上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25－2×3×5×＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝ 38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故救援艇以14海里/ 时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时追赶上该故障船． 角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 【训练3】　如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(　　) A． B．－2 C．－1 D．－1 在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理知＝，故BC＝＝＝50(－)，在△BDC中，＝，故 ＝，所以sin∠BDC＝－1，即sin(θ＋90°)＝－1， 即cos θ＝－1.故选C. 1．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A． B． C． D． 由cos C＝得＝，所以AB＝3，所以cos B＝＝＝，故选A. 2．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 解法一：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在△ABC中，由题意知b＝，c＝2，由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacos B，得19＝4＋a2－2·2a·cos 120°，整理得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5(舍)，所以BC＝3.故选D. 解法二：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin C＝＝，又0°<C<60°，所以cos C＝＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，所以BC＝＝＝3.故选D. 3．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 2 由S△ABC＝acsin B＝ac＝得ac＝4.由b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，结合a2＋c2＝3ac得到b2＝2ac＝8，所以b＝2. 4．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. 2 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即()2＝22＋AC2－2×2×AC×cos 60°，即AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋或AC＝1－(舍)，由于AD平分∠BAC，且∠BAC＝60°，所以∠BAD＝∠CAD＝30°.S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即×2×(＋1)×＝×2×AD×＋×(＋1)×AD×，即×(＋1)＝AD＋AD，解得AD＝2. 5．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (1)由已知得sin A＋cos A＝sin＝1，因为0<A<π，所以<A＋<，所以A＋＝，即A＝. (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． (2)由bsin C＝2csin Bcos B及正弦定理＝＝，得sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，又sin B≠0，且sin C≠0，所以cos B＝，则sin B＝，则b＝·sin B＝×＝2，又sin C＝sin(A＋B)＝ sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，所以c＝·sin C＝×＝＋，所以a＋b＋c＝2＋3＋，即△ABC的周长为2＋3＋. $$