第4章 第6节 第2课时 正弦定理与余弦定理的应用-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数与解三角形核心考点，涵盖正弦定理、余弦定理的应用，多边形背景问题及最值范围问题等高考重点。对接高考评价体系，分析解三角形在解答题中的高频考查权重，归纳面积计算、边长求解、范围最值等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2025九江一模多边形解三角形为例，通过拆分图形、交叉使用正余弦定理培养学生数学思维，结合基本不等式或三角函数转化突破最值问题。注重用数学语言规范答题步骤，帮助学生掌握边角互化等得分技巧，助力高考冲刺，为教师提供系统复习教学指导。

第四章 三角函数与解三角形 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第六节 第四章 三角函数与解三角形 正弦定理和余弦定理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第四章 三角函数与解三角形 正弦定理与余弦定理的应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 多边形中的解三角形问题 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 解三角形中的最值(范围)问题 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三十八） 本部分内容讲解结束 【例1】　(2025·九江一模)在△ABC中，AC＝ ，D为∠ABC的平分线上一点，且与点B分别位 于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD＝2. (1)求△DAC的面积； (1)在△DAC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，即13＝4＋CD2＋2CD，解得CD＝(舍负)，所以S△DAC＝AD·CD·sin∠ADC＝×2××＝. (2)若∠ABC＝120°，求BD的长． (2)因为∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，所以∠DBA＝∠DBC＝60°.又∠ADC＝150°，所以∠DAB＋∠DCB＝360°－120°－150°＝90°.在△ABD中，由正弦定理，得＝　①， 在△DBC中，由正弦定理，得＝ 　②，①÷②，得＝＝， 所以＝.又sin2∠DCB＋cos2∠DCB＝1，且∠DCB∈，所以sin∠DCB＝.将sin∠DCB＝代入②，得＝，所以BD＝. 多边形背景解三角形问题的求解思路 1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； 2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 【训练1】　在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1. (1)若AB＝，求BC； (1)在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ABD＝＝，因为CD∥AB，所以∠BDC＝∠ABD，在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝，所以BC＝. (2)若AB＝2BC，求cos∠BDC． (2)设BC＝x，则AB＝2x，在△ABD中，cos∠ABD＝＝＝x，在△BCD中，cos∠BDC＝＝，因为CD∥AB，所以∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即＝x，整理可得x2＋2x－2＝0，因为x>0，解得x＝－1，因此，cos∠BDC＝cos∠ABD＝x＝－1. 考向❶：利用基本不等式求解 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝. (1)求角B的大小； (1)因为tan A＋tan B＝，所以＋＝，所以＝，所以＝＝，又sin C≠0，所以cos B＝.又B∈(0，π)且B≠，所以B＝. (2)若a＋c＝4，求b的取值范围． (2)因为a＋c＝4，B＝，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，则ac＝.因为a＋c≥2(当且仅当a＝c时取等号)，所以4≥2，所以0<ac≤4，即0<≤4，所以4≤b2<16，故2≤b<4，即b的取值范围是[2,4)． 利用正、余弦定理转化为边的关系，结合基本不等式求解． 【训练2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则4a＋c的最小值为(　　) A．16 B．18 C．20 D．14 由题意得acsin 120°＝a×2×sin 60°＋c×2×sin 60°，即ac＝2a＋2c，即＋＝1，所以4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋10≥2＋10＝8＋10＝18，当且仅当＝，即c＝2a＝6时取等号．故选B. 考向❷：转化为三角函数求解 【例3】　已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)，所以cos A－sin A＝cos B－sin B，即cos＝cos，又A∈，B∈，所以<A＋<，<B＋<，所以A＋＝B＋，即B＝A＋，又A＋B＋C＝π，C＝，所以A＋A＋＋＝π，即A＝. (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． (2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A，又∠ABC＝A＋，可得∠DBC＝，在△DBC中，＝，所以CD＝＝，在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin，因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<，所以<2A＋<，<sin<1，所以∈(1,2)， 即CD的取值范围为(1,2)． 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或有其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 【训练3】　(2025·嘉兴统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，a＝3. (1)若BC边上的高等于1，求cos A； (1)由正弦定理，＝＝，所以sin B＝cos B，则tan B＝1，又0<B<π，所以B＝，因为S△ABC＝ah＝acsin B，所以×3×1＝×3×c×，解得c＝，又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋()2－2×3××＝5，解得b＝，所以cos A＝＝＝－. (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． (2)由正弦定理有＝＝，且由(1)可知B＝，所以c＝＝＝，又因为△ABC为锐角三角形，所以解得<A<，所以0<<1，所以<c<3， 所以S△ABC＝acsin B＝×3×c×＝c∈，所以△ABC面积的取值范围是. 定理(一)　射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A． 【应用体验】　 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 解法一：(射影定理法)因为acos B－bcos A＝c，c＝acos B＋bcos A，所以2bcos A＝0，故cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 解法二：由题意结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，整理可得sin Bcos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，据此可得cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccos B＋bcos C＝asin A，S＝(b2＋a2－c2)，则B＝(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 在△ABC中，由射影定理a＝ccos B＋bcos C及ccos B＋bcos C＝asin A，得asin A＝a，解得sin A＝1，而0°<A<180°，则A＝90°.由余弦定理cos C＝及S＝(b2＋a2－c2)得cos C＝，而S＝absin C，因此，cos C＝sin C，即tan C＝.又0°<C<180°，则C＝30°.所以B＝180°－A－C＝60°.故选B. 定理(二)　角平分线定理 在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，D在BC上，则有＝. 【应用体验】　 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC的平分线交BC于点D，且满足＝，∠BAC＝60°，a＝7，则c＝________. 根据角平分线定理有＝＝＝，所以b＝c，又∠BAC＝60°，a＝7，在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝，将b＝c代入上式，进而得到c2－49＝0，因此c＝(负值已舍去)． 4．在△ABC中，A＝2B，AC＝9，BC＝12，CD平分∠ACB交AB于点D，则BD的长度为________． 4 因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD.由正弦定理可知＝⇒＝，＝⇒＝.因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以sin∠ADC＝sin∠BDC，所以有＝，即BD＝AB.(由CD平分∠ACB交AB于点D，可得＝＝＝， 所以BD＝AB，选填题中可直接使用角平分线定理实现速解，但在解答题中使用该定理需进行简单的证明)由正弦定理可知，＝⇒＝⇒＝⇒cos B＝.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，即81＝AB2＋144－2×AB×12×，解得AB＝7或AB＝9.当AB＝7时，BD＝4.当AB＝9时，因为AC＝9，所以AC＝AB，因此B＝∠ACB，A＋B＋∠ACB＝π⇒2B＋B＋B＝π⇒B＝，cos B＝≠，所以AB＝9不成立．故BD＝4. 定理(三)　中线定理 在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝(AB2＋AC2)－BC2. 【应用体验】　 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且acos C－2bcos B＋ccos A＝0，则△ABC的面积为(　　) A．2 B． C． D． 由射影定理知acos C＋ccos A＝2bcos∠ABC＝b，所以cos∠ABC＝.因为∠ABC是三角形内角，所以∠ABC＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC⇒9＝a2＋c2－ac.由中线定理知a2＋c2＝2(BD2＋AD2)，即a2＋c2＝2×＝，所以ac＝，所以S△ABC＝acsin∠ABC＝××＝，故选C. $$