第4章 第6节 第1课时 正弦定理、余弦定理-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理和余弦定理”专题，依据新课标要求覆盖三角形度量、实际应用等核心考点。通过教材回顾梳理定理公式及适用情形，结合微点延伸归纳边角关系、内角判断等关键结论，对接高考评价体系分析近5年真题，明确解三角形、形状判断、面积计算等常考题型分布。 课件亮点在于“真题引领+素养导向”的备考设计，如以2024新课标Ⅰ卷真题为例，解析用余弦定理求角、正弦定理关联边长与面积的逻辑推理过程，培养数学运算素养。设置小题快练强化解的个数判断等易错点，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准把握考点权重，提升复习教学效率。

第四章 三角函数与解三角形 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第六节 第四章 三角函数与解三角形 正弦定理和余弦定理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第1课时 第四章 三角函数与解三角形 正弦定理、余弦定理 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 正弦定理、余弦定理解三角形 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 判断三角形的形状 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 三角形面积问题 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三十七） 本部分内容讲解结束 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 1．余弦定理 (1)定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2accos B，c2＝________________. (2)运用方法 适用情形：三边a，b，c，任一内角A(知三求一)． 列方程：a2＝b2＋c2－2bccos A或cos A＝____________. (3)变形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A等． a2＋b2－2abcos C 2．正弦定理 (1)定理：在△ABC中，＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆半径． (2)运用方法 适用情形：两角A，B及其对边a，b(知三求一)． 列方程：＝. (3)变形：a＝________，sin A＝_____，a∶b∶c＝_________________等． 2Rsin A　 sin A∶sin B∶sin C 3．三角形面积公式 (1)正弦定理推论 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝________. (2)其他常用公式方法 S＝底×高；S＝×C×r(C为周长，r为内切圆半径)等． acsin B 1．三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．三角形中，大边对大角，大角的正弦值也较大，即a>b⇔A>B⇔sin A>sin B． 3．在△ABC中，A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos ，cos＝sin . 4．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角；③若b2＋c2<a2，则角A为钝角． 5．在锐角三角形ABC中，必有sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A． 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C. 2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　) A．2 B．1 C． D． 由＝，得b＝＝＝×2＝.故选D. 3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝>1.所以角B不存在，即此三角形无解．故选C. 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________． 因为a＝3，b＝5，c＝7，所以cos C＝＝＝－，因此sin C＝，所以△ABC的面积S＝×3×5×＝. 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，b＝，B＝60°，则C＝________. 由正弦定理得sin A＝＝＝.因为a<b，所以A<B，所以A＝45°，所以C＝180°－A－B＝75°. 75°　 【例1】　(1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则C＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．60°或120° 因为a＝1，c＝，A＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝，又因为0°<C<180°，c>a，A＝45°，所以C＝60°或120°.故选D. (2)(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.故选C. 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 【训练1】　(1)(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有(　　) A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．若sin 2A＝sin 2B，则a＝b C．若sin A>sin B，则A>B D．＝ 对于A，由正弦定理＝＝＝2R，得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确；对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故D正确．故选ACD. (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________. 3 由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2bccos A＝4＋b2－2×2b×＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故b＝3. 【例2】　在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为______________． 直角三角形　 由cos B＝1－2sin2，得sin2＝，所以＝，即cos B＝. 解法一：由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等． 解法二：由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等． 判断三角形形状的两种思路 1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． 2．化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 【训练2】　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝ccos B－ccos A，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 因为a－b＝ccos B－ccos A，所以由正弦定理得sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A，因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－sin Ccos A，整理得sin Bcos C－sin Acos C＝0，所以(sin B－sin A)cos C＝0，所以sin B＝sin A或cos C＝0，因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B或C＝，即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形．故选D. 【例3】　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (1)由余弦定理，得cos C＝＝，又0<C<π，所以C＝. 思维点1：由余弦定理得C＝，从而可求B． 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝. (2)若△ABC的面积为3＋，求c. (2)由(1)，得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝，所以a＝c. 思维点2：由正弦定理得到a与c的关系． 所以△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋，得c＝2. 思维点3：由面积公式可列关于c的方程，从而求c. 本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4第22题．主要考查正、余弦定理在解三角形问题中的应用．第(1)问直接采用余弦定理求出C．第(2)问利用正弦定理求出a，c之间的关系．考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养． 【训练3】　(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (1)由余弦定理，可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A＝1＋4－2×1×2×cos 120°＝7，则BC＝，cos B＝＝＝，sin B＝＝＝. (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． (2)解法一：由sin∠ABC＝，得tan∠ABC＝，又tan∠ABC＝＝，所以DA＝，故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝××1×＝. 解法二：由三角形面积公式可得＝＝4，则S△ACD＝S△ABC＝×＝. $$