第4章 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数与解三角形核心专题，重点覆盖函数\( y = A\sin(\omega x + \varphi) \)的图像变换、解析式确定及应用等高考高频考点。依据高考评价体系梳理两种图像变换路径（先平移后伸缩与先伸缩后平移），分析作图、由图像求解析式等常考题型权重，构建完整知识网络。 课件亮点在于“知识回扣+考向探究+真题训练”三维备考模式，通过对比图像变换步骤培养数学思维，以由图像确定解析式题型为例，指导学生运用坐标分析和参数计算技巧落实数学语言表达。设“易错陷阱警示”和“总结反思”模块，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第四章 三角函数与解三角形 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第五节 第四章 三角函数与解三角形 函数y＝Asin(ωx＋φ)及应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的作图及图象变换 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 三角函数图象与性质的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型四 三角函数的实际应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（三十六） 本部分内容讲解结束 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. － 0 π 1．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x ____ __________ ____ ________ ____ ωx＋φ ____ ____ ____ ____ ____ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2π － －＋ 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 方法一　 　　　　　　方法二 [微点清]　两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度． 3．简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝ ＝ ______ φ ωx＋φ 1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. 2．变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 3．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝. 1．(人A必一P254T10改编)函数y＝5sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．5，， B．5，， C．5，，－ D．5，，－ 2．(人A必一P239T2(2)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3．若将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______________． 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得到的函数图象对应的解析式为y＝sin＝sin. y＝sin 4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________. 设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，＝－＝，所以T＝π，故ω＝2. 2 5．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________________ ______________． y＝10sin ＋20，x∈[6,14]　 从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10) ＝20，×＝14－6＝8，所以|ω|＝，又ω>0， 所以ω＝.又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π， 所以φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]． 【例1】　(1)已知函数f(x)＝2sin. ①作出f(x)在[0，π]上的图象； (1)①因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得f(x)在[0，π]上的图象如图所示． ②函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ ②将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数f(x)＝2sin的图象． (2)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 因为函数y＝2sin的最小正周 期T＝，所以函数y＝2sin在[0,2π] 上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出 函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用的两种方法 1．五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 2．图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 【训练1】　(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　) A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 C．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 C2：y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos 2.故把y＝cos x的图象横坐标缩短到原来的，得到y＝cos 2x的图象，再把y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度即得到C2的图象．故选C. (2)用“五点法”作出y＝2sin在内的图象． 2×＋＝－，2×＋＝，令2x＋＝0，解得x＝－.令2x＋＝，解得x＝.令2x＋＝π，解得x＝.令2x＋＝，解得x＝.列表如下： 2x＋ － 0 π x － － y － 0 2 0 －2 － 描点作图如图： 【例2】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 请你用三种不同的方法进行解答． 由图象可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故A＝2.f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(－2，0)，(6,0)，所以函数f(x)的最小正周期T＝2×[6－(－2)]＝16， 所以ω＝＝＝. 所以f(x)＝2sin. 解法一(由对称中心定φ)：由点(－2,0)在函数图象上可得f(－2)＝2sin＝2sin＝0，又点(－2,0)在函数图象的下降段上，所以φ－＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．因为|φ|<π，所以k＝－1，φ＝－.所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝2sin.故选D. 解法二(由最值点定φ)：由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为(－2,0)，(6,0)，所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2，－2)．代入函数解析式可得f(2)＝2sin＝－2，即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝－.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin. 解法三(平移法)：由图象间关系可知y＝f(x)可以看作y＝2sinx向右平移6个单位长度得到， 即f(x)＝2sin＝ 2sin.故选D. 根据三角函数的图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑： 1．根据最大值或最小值求出A的值． 2．根据最小正周期求出ω的值． 3．求φ的常用方法：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法，确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．③平移法，由y＝Asin ωx平移得到y＝Asin(ωx＋φ)． 【训练2】　(1)(2025·云南曲靖质监)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的部分图象，如图所示，则g＝(　　) A． B． C．－ D．－ 由题意可知，g(x)＝Acos，由题图知，A＝1，T＝－＝(T为g(x)的最小正周期)，解得T＝π，所以ω＝＝2.因为函数g(x)的图象过点，所以cos＝0，又点在函数图象的 上升段上，所以＋＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝ －＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝－， 所以g(x)＝cos，所以g＝，故选B. (2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f(x)的图象关于点中心对称，则f(φ)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 由题知A＝B＝2，因为f(0)＝2sin φ＋2＝3，所以sin φ＝.因为0<φ<π，且点(0,3)的横坐标x＝0在f(x)的一个递减区间内，所以φ ＝.根据五点作图法可知，×ω＋＝π，解得ω＝2， 所以f(x)＝2sin＋2，f(φ)＝f＝2sin＋ 2＝2sin＋2＝4，故选A. 【例3】　(多选题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)在区间上单调递增 B．f(x)图象的一条对称轴方程为x＝ C．f(x)图象的一个对称中心为点 D．f(x)在区间上的值域为[1，] 由图可知A＝2，k∈Z，解得ω＝2，φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(x)＝2sin.当x∈时，2x＋ ∈，所以f(x)在区间上单调递增，故A 正确；f＝2sin＝2sin＝－2为其最小值，所以x＝为f(x)图象 的一条对称轴，故B正确；f＝2sin＝2sin 2π＝0，所以点为f(x)图象的一个对称中心，故C正确；当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝即x＝0时，f(x)min＝1，当2x＋＝即x＝时，f(x)max＝2，即f(x)在区间上的值域为[1,2]，故D错误．故选ABC. (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合进行解题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． 【训练3】　(多选题)将函数f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若是g(x)的一个单调递增区间，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在上单调递增 C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为 D．方程f(x)＝－在上有5个实数根 函数f(x)＝sin(0<ω<6)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin＝sin的图象，所以g(x)的最小正周期为T＝，区间的长度恰好等于半个最小正周期．又是g(x)的一个单调递增区间，所以g(0)＝－1，即－－＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝－12k＋2，k∈Z.因为0<ω<6，所以ω＝2，故f(x)＝sin，f(x)的最小正周期T＝ ＝π，故A正确；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以f(x)在上单调递增，故B错误；g(x)＝sin＝sin＝－cos 2x，所以F(x)＝sin－cos 2x＝sin 2xcos－cos 2xsin－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以函数F(x)的最大值为，故C正确；当x∈[0,2π] 时，2x－∈，令f(x)＝sin＝－，则2x－＝－，2x－＝，2x－＝，2x－＝，2x－＝，即方程f(x)＝－在上有5个实数根，故D正确．故选ACD. 【例4】　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin(ωt＋φ)＋K.则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为(　　) A． s B． s C．10 s D． s 因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以T＝＝40，则ω＝＝，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝2，由题意，t＝0时，d＝0，所以0＝4sin φ＋2，即sin φ＝－，因为－<φ<，所以φ＝－.则d＝4sin＋2，由d＝6，得6＝4sin＋2，所以sin ＝1，所以t－＝＋2kπ，k∈Z，得t＝＋40k，k∈Z. 所以当k＝0时，t取最小值为.故选D. 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 【训练4】　如图，某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋5近似刻画，据此可估计当天12 h的水深为(　　) A． m B．4 m C． m D． m 由题图可得，＝18－6＝12，则ω＝，当sin(ωx＋φ)＝－1时，y取得最小值，为－A＋5＝2，得A＝3，因为函数y＝Asin(ωx＋φ)＋5的图象过点，所以sin＝，又|φ|<， 所以φ＝－，所以y＝3sin＋5. 当x＝12时，y＝3sin＋5＝－＋5＝.故选A. $$