第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数与解三角形基础模块，依据新课标要求覆盖任意角概念、弧度制互化、三角函数定义三大核心考点。通过教材回顾与微点延伸系统梳理终边相同角、象限角判断、扇形公式等高考高频内容，结合教材改编真题构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题改编训练+解题思维建模”，如弧度制应用中通过扇形周长与面积关系，用二次函数求最值培养数学思维。针对三角函数定义中终边上点坐标参数问题，引导学生用方程思想规范数学语言表达。特设易错点警示，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第四章 三角函数与解三角形 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第一节 第四章 三角函数与解三角形 任意角和弧度制、三角函数的概念 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 角的表示 自练自悟 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 弧制度及应用 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 三角函数的定义及应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十九） 本部分内容讲解结束 1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：按旋转方向，角可以分成三类：________、负角和________． (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [微点清]　终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 正角 　零角 α＋k·360°，k∈Z 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 半径长 (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 1°＝rad； 1 rad＝________ 弧长公式 l＝________ 扇形面积公式 S＝lr＝________ [微点清]　角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用． °　 |α|r |α|r2 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点 P(x，y)，那么sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． y　 x 1．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(r＝>0) 2．象限角与轴线角 3．一个结论 若α∈，则tan α>α>sin α. 1．(人A必一P184T2改编)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则tan α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 2．(人B必三P12练习AT4改编)教室里的钟表慢了30分钟，在同学们将它校正的过程中，时针所需要旋转的弧度数为(　　) A．－ B． C．－ D． 解法一：30分钟＝小时，则时针所需要旋转的弧度数为－×＝－.故选A. 解法二：在将钟表校正的过程中，易知时针顺时针旋转了15°，旋转角的大小为－15°，故时针所需要旋转的弧度数为－15×＝－.故选A. 3．(多选题)(苏教必一P176习题7.1T2,3,5改编)下列说法正确的是(　　) A．与1 920°终边相同的角中，最小正角是120° B．三角形的内角必是第一或第二象限角 C．22°30′化成弧度是 D．终边落在直线y＝x上的角α的集合为{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z} A．与1 920°终边相同的角为β＝k·360°＋1 920°＝(k＋5)·360°＋120°，k∈Z，当k＝－5 时，β＝120°，所以与1 920°终边相同的角中，最小正角是120°，故A正确．B.因为三角形的内角的范围是(0，π)，所以三角形的内角必是第一象限角或第二象限角或等于，故B错误．C.22°30′化成弧度是22.5×＝，故C正确．D.易得直线y＝x的倾斜角为60°，当角的终边在第一象限时，α＝60°＋k1·360°，k1∈Z；当角的终边在第三象限时，α＝240°＋k2·360°，k2∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180° ＋60°，k∈Z}，故D正确．故选ACD. 4．(人A必一P175T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是(　　) A．15° B．20° C．30° D．40° 5．(苏教必一P181T6改编)已知α∈(0,2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是(　　) A． B． C． D． 因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，结合α∈(0,2π)，得α∈，故选D. 1.(多选题)下列四个命题中正确的是(　　) A．－是第二象限角 B．是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 －是第三象限角，故A错误；＝π＋，所以是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确，故选BCD. 2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故选C. 3．若α是第一象限角，则－是(　　) A．第一象限角 B．第一或第四象限角 C．第二象限角 D．第二或第四象限角 由题意知，k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，则k·180°<<k·180°＋45°，k∈Z，所以－k·180°－45°<－<－k·180°，k∈Z.当k为偶数时，－为第四象限角；当k为奇数时，－为第二象限角．所以－是第二或第四象限角．故选D. 4．如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为 ______________________________________． {α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} 终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}． 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 【例1】　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (1)因为α＝，R＝10 cm，所以l＝|α|R＝×10＝(cm)． (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5 cm时，S取得最大值，此时l＝10 cm，α＝2. (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． (3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，所以S弓形＝××2－×22×sin＝cm2. 应用弧度制解决问题时的注意点 1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． 3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【训练】　(多选题)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得解得或可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1.故选ABC. 考向❶：三角函数的定义 【例2】　(2025·哈尔滨模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α＝(　　) A．－ B．± C．－ D．± 设O为坐标原点，则|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，即y＝±.当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时sin α·tan α＝－；当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时sin α·tan α＝－.所以sin α·tan α＝－.故选C. 定义法求三角函数值的2种情况 1．已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． 2．已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，再根据定义中的两个量，列方程求参数值． 考向❷：三角函数值的符号 【例3】　(1)若cos α·tan α<0，则角α的终边在(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四象限．故选C. (2)设θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　) A．sin>0 B．cos>0 C．tan>0 D．sincos<0 因为θ为第二象限角，所以＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z.则＋kπ<<＋kπ，k∈Z，所以为第一或第三象限角，则tan>0.故选C. 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意角的终边在坐标轴上的情况． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❷ 1.已知角α(0°<α<360°)的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α＝(　　) A．130° B．140° C．220° D．230° 因为sin 310°<0，cos 310°>0，所以角α的终边在第二象限，又因为tan α＝＝＝＝＝＝tan 140°，且0°<α<360°，所以α＝140°.故选B. 2．(2025·河南联考)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　) A．sin α＝－ B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝± D．tan α＝±1 因为角α的终边落在直线y＝x上，所以α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.对于A，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝，故A项错误．对于B，当α＝＋2kπ，k∈Z时，cos α＝－，故B项错误．对于C，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＋cos α＝，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＋cos α＝－，故C项正确．对于D，当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1；当α＝＋2kπ，k∈Z时，tan α＝1，故D项错误．故选C. 3．(多选题)若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴且sin α·sin>0，则α的终边可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 因为sin＝cos α，所以由sin α·sin>0，得sin α·cos α>0.若sin α>0，cos α>0，则α的终边在第一象限；若sin α<0，cos α<0，则α的终边在第三象限．故选AC. $$