第3章 第4节 第2课时 导数与不等式恒成立-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与不等式恒成立”核心考点，依据高考评价体系明确其作为压轴题的考查要求，通过梳理分离参数法、分类讨论法等常考题型，结合考点权重分析，构建针对性备考体系，提升复习实用性。 课件亮点在于融合2024新课标Ⅰ卷真题及模拟题训练，如例2通过分类讨论求参数范围，培养学生数学思维与运算能力，总结分离参数“三步走”技巧，规范解答步骤强化数学语言表达，助力学生掌握得分策略，为教师提供系统复习指导。

第三章 一元函数的导数及其应用 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第四节 第三章 一元函数的导数及其应用 导数的综合应用 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 第2课时 第三章 一元函数的导数及其应用 导数与不等式恒成立 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 分离参数法 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 分类讨论法 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 规范解答 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十六） 本部分内容讲解结束 恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大. 【例1】　已知函数f(x)＝ln x＋＋2x. (1)求函数f(x)的单调区间； (1)由f(x)＝ln x＋＋2x得f′(x)＝＝(x>0)， 由f′(x)>0，得x>(负值舍去)，由f′(x)<0，得0<x<，所以函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间为. (2)若关于x的不等式f(x)－2≥x＋恒成立，求实数m的取值范围． (2)由f(x)＝ln x＋＋2x知，不等式f(x)－2≥x＋恒成立等价于当x∈(0，＋∞)时，m≤xln x＋x2－2x＋1恒成立．令g(x)＝xln x＋x2－2x＋1(x>0)，则m≤g(x)min，g′(x)＝ln x＋x－1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)min＝g(1)＝－，所以m≤g(x)min＝－，即实数m的取值范围是. 利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数的取值范围的基本步骤： 1．将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式． 2．求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． 3．解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． 【训练1】　已知函数f(x)＝，若f(x)≤x－1对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． f(x)≤x－1对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥x2－(x－1)ex在[1，＋∞)上恒成立，设g(x)＝x2－(x－1)ex(x≥1)，g′(x)＝x(2－ex)，令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2，所以在x∈[1，＋∞)上，g′(x)<0，所以函数g(x)＝x2－(x－1)ex在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1，所以a≥g(x)max，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞)． 【例2】　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. (1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值； (1)f(x)的定义域为(0,2)，若b＝0， 则f(x)＝ln＋ax，f′(x)＝·＋a＝＋a， 当x∈(0,2)时，x(2－x)∈(0,1]，f′(x)min＝2＋a≥0，则a≥－2， 思维点1：求a的最小值，利用f ′(x)min≥0求解． 故a的最小值为－2. (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形； (2)证明：f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 思维点2：由ln及(x－1)3猜测对称中心横坐标为1，由f(2－x)＋f(x)＝2a证明． 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． (3)若f(x)>－2当且仅当1<x<2，求b的取值范围． (3)由题知f(1)＝a＝－2， 此时f(x)＝ln－2x＋b(x－1)3， f′(x)＝·－2＋3b(x－1)2 ＝－2＋3b(x－1)2＝(x－1)2. 思维点3：辨析f ′(x)的符号． 记g(x)＝＋3b，x∈(0,2)， 思维点4：简化f ′(x)的符号判断，构造新函数． 易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，g(1)＝2＋3b， 当b≥－时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0,2)上单调递增， 思维点5：b≥－时，判断f(x)的单调性． 又f(1)＝－2，故符合题意． 当b<－时，g(1)<0，g(x)＝＋3b＝， 令g(x)＝0，得x＝1±， 因为b<－，所以∈(0,1)，故1＋∈(1,2)，1－∈(0,1)， 思维点6：b<－时，判断f(x)的单调区间． 所以当x∈时，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)在上单调递减， 故f<f(1)＝－2，不符合题意． 综上，b的取值范围为. 本题考查函数与导数知识，深入考查逻辑推理能力、运算求解能力以及数形结合思想．其中第(2)问考查函数图象的对称性这一几何性质的代数表示．源于人教A版必修第一册P87第13题的拓广结论：f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔y＝f(x)关于点(a，b)成中心对称．第(3)问的设问方式相对新颖，需要学生利用导数工具研究函数的单调性，进而解决问题． 【训练2】　(2025·昆明一模)已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (1)f(1)＝0，则切点坐标为(1,0)．因为f′(x)＝，所以切线的斜率为f′(1)＝，故切线方程为y＝x－. (2)当x≥1时，f(x)≤a(x－1)，求a的取值范围． (2)当x∈[1，＋∞)时，f(x)≤a(x－1)等价于ln x≤a(x2－1)，令g(x)＝a(x2－1)－ln x，x∈[1，＋∞)，则ln x≤a(x2－1)在[1，＋∞)上恒成立，即g(x)≥0恒成立． g′(x)＝2ax－＝，当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，不符合题意；当0<a<时，由g′(x)＝0得，x＝>1，x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以x∈时，g(x)≤g(1)＝0，不符合题意；当a≥时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g′(x)≥0，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，符合题意．综上所述，a的取值范围为. $$