第3章 第3节 导数与函数的极值、最值-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”核心考点，依据课程标准和高考评价体系，系统梳理极值定义、求法及闭区间最值步骤，分析近五年高频题型占比，归纳求极值、已知极值求参数等常考类型，对接高考考查要求。 课件亮点在于“真题引领+技巧提炼”，精选2024九省联考、新课标Ⅱ卷等真题，通过导数符号分析、极值点检验等方法突破考点，培养学生逻辑推理的数学思维和规范表达的数学语言，如例2中分类讨论参数范围的解题策略，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

第三章 一元函数的导数及其应用 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第三节 第三章 一元函数的导数及其应用 导数与函数的极值、最值 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 求函数的极值 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 已知函数极值求参数 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型三 函数的最值 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十三） 本部分内容讲解结束 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 1．函数的极值 (1)极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)<0　 f′(x)>0 极值 (2)极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极值点、极值 极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为______． f′(x)>0　 f′(x)<0 极值点　 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条___________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的________； ②将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 1．极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)． 2．有极值的函数一定不是单调函数． 3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 4．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 5．若函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 6．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1．(人A选二P92T1改编)函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示， 则函数f(x)极值点的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 设导函数f′(x)的图象与x轴的交点分别为x1，x2，x3，x4，x5，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得x1，x4为函数f(x)的极大值点，x2，x5为函数f(x)的极小值点，所以函数f(x)极值点的个数为4.故选C. 2．函数f(x)＝的极大值为(　　) A．－e B． C．1 D．0 3．(人B选三P100T3改编)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 由f′(x)＝＋2ax－3，得f′(2)＝0，解得a＝，经验证符合题意．故选B. 4．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是________________________________． f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有两个变号零点，所以Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>或a<－. (－∞，－)∪(，＋∞)　 5．(苏教选一P230T7改编)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 32 【例1】　(2024·九省联考)已知曲线y＝f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求a； (1)f′(x)＝＋2x＋a.由题意知f′(2)＝，即＋4＋a＝，所以a＝－3. (2)求f(x)的单调区间和极值． (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)．由(1)知f(x)＝ln x＋x2－3x＋2，f′(x)＝.当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)，单调递减区间是.当x＝时，f(x)取得极大值f＝－ln 2；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝0. 求函数极值关键是划分单调区间，用方程f′(x)＝0的根和不可导点处x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格． 由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少． 【训练1】　(多选题)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则下面结论正确的为(　　) A．a＝－1 B．f(x)的单调递增区间为(－2,1) C．f(x)的极小值为1 D．f(x)的极大值为5e－3 由题可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，x∈R，因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以f′(－2)＝0，则4－2(a＋2)＋a－1＝0，解得a＝－1，故f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)ex－1，当x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－2<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2,1)，故A正确，B错误；由上可知，f(x)的极大值为f(－2)＝5e－3，极小值为f(1)＝－1，故C错误，D正确．故选AD. 【例2】　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，则f′(1)＝e－1.f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． (2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a，由f′(x)<0，得x<ln a，所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－aln a－a3.由题意知a－aln a－a3<0(a>0)，等价于1－ln a－a2<0(a>0)．令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)，则g′(a)＝－－2a<0，所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，故当0<a<1时，g(a)>0；当a>1时，g(a)<0.故实数a的取值范围为(1，＋∞)． 讨论极值点有无(个数)问题，可转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 【训练2】　(1)已知函数f(x)＝ln x＋1－2a－x＋有两个不同的极值点x1，x2，则a的取值范围为________． 函数f(x)＝ln x＋1－2a－x＋，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－1－＝，x>0.因为函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2，所以－x2＋x－a＝0有两个不同的正实数根x1，x2，则有解得0<a<，所以a的取值范围为. (2)函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是________. 因为f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)，所以f′(x)＝＋x－a，因为函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，所以y＝f′(x)在上只有一个变号零点．令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x.设g(x)＝＋x，则g(x)在上单调递减，在[1,3]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2，又g＝，g(3)＝.结合函数g(x)＝x＋，x∈的图象可得，当≤a<时，y＝f′(x)在区间上只有一个变号零点，所以实数a的取值范围为. 【例3】　(1)函数f(x)＝xcos x－sin x在区间[－π，0]上的最大值为(　　) A．1 B．π C． D． 由题意得f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x∈[－π，0]时，sin x≤0，f′(x)≤0，所以f(x)在[－π，0]上单调递减，故函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值为f(－π)＝π.故选B. (2)已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)． ①讨论f(x)的单调性； ①函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.(ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． ②求f(x)在上的最大值g(a)． ②f′(x)＝，当a≤时，f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f＝2－ae；当<a<e时，f(x)在上单调递增，在[a，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝－ln a；当a≥e时，f(x)在上单调递增，所以f(x)max ＝f(e)＝－.综上，g(a)＝ 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 【训练3】　已知函数f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________． 1或e 因为f′(x)＝a－＋＝，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)是(0，＋∞)上的减函数，函数f(x)无最小值，不符合题意；当a>0时，由f′(x)<0，得0<x<，由f′(x)>0，得x>，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，函数f(x)的最小值为f＝1＋a＋(1－a)ln a＝2，得(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或e. $$