第3章 第1节 导数的概念及运算-（配套课件）【赢在微点·顶层设计】2027年高考数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元函数的导数及其应用”专题，依据课程标准梳理了导数的概念、几何意义、运算（公式、四则运算、复合函数）三大核心考点，对接高考评价体系，通过真题统计明确切线方程（占比约30%）、瞬时变化率（25%）等高频考点，归纳“在点处切线”“过点切线”等常考题型，构建完整知识网络。 课件亮点在于“真题训练+微点延伸+素养提升”，如以2025湖北联考“奇函数导数应用”题为例，指导学生用转化思想求切线方程，培养数学思维。通过“切线问题策略总结”（区分切点与公共点）、复合函数求导“逐层求导法”等技巧，帮助学生掌握答题规范。教师可利用“题组对点练”精准检测学情，提升复习效率，助力学生高考冲刺。

第三章 一元函数的导数及其应用 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第一节 第三章 一元函数的导数及其应用 导数的概念及运算 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 课 程 标 准 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 必备知识/梳理 赢在微点 数学 大一轮 第一部分 ——回扣知识 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 教|材|回|顾 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 微|点|延|伸 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 小|题|快|练 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 关键能力/落实 赢在微点 数学 大一轮 第二部分 ——考向探究 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型一 导数的运算 自练自悟 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型二 导数的几何意义 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型四 两曲线的公切线 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 把握高考微点，实现素能提升 完成——微练（二十一） 本部分内容讲解结束 1.了解导数概念的实际背景；2.体会极限思想；3.理解导数的几何意义；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数. 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个__________，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个__________叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝_______________________. 确定的值 确定的值 (2)导函数 当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . (3)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处切线的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)． －sin x　 ex axln a 2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ 0　 αxα－1 cos x　 y′u·u′x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝______________； (2)[f(x)g(x)]′＝__________________； (3)′＝__________________________(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数为y′x＝__________. f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其绝对值的大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(sin 2x)′＝2cos 2x C．(3x)′＝3xlog3e D．()′＝ 由a为常数知(sin a)′＝0，A错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x，B正确；(3x)′＝3xln 3，C错误；()′＝[(x＋1) ]′＝(x＋1) ＝，D错误．故选B. 由a为常数知(sin a)′＝0，A错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x，B正确；(3x)′＝3xln 3，C错误；()′＝[(x＋1) ]′＝(x＋1) ＝，D错误．故选B. 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒．故选C. 3．(人A选二P82习题5.2T11改编)已知函数f(x)＝ax2－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝3x平行，则该切线的方程为(　　) A．x－3y＋5＝0 B．3x－y－1＝0 C．3x－y＋1＝0 D．x－3y＋1＝0 由题意，f′(x)＝2ax－，则f′(1)＝2a－1＝3，解得a＝2，则f(x)＝2x2－ln x，f(1)＝2，所以函数f(x)＝2x2－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.故选B. 4．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为__________________． 由题意，得f′(x)＝ex－，所以f′(1)＝e－1，又因为f(1)＝e＋1，所以切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，故切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2. y＝(e－1)x＋2 5．(人A选二P70习题5.1T7改编)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P横坐 标的取值范围是____________． 设点P的横坐标为x0，由y＝x2＋2x＋3得y′＝2x＋2，所以y′|x＝x0＝2x0＋2，设α为曲线C在点P处切线的倾斜角，则2x0＋2＝tan α，又α∈，所以tan α∈[0,1]，所以0≤2x0＋2≤1，即x0∈. 1.(多选题)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1－ B．(e2x)′＝e2x C．(log2x)′＝ D．′＝ 对于A，′＝1－，故A正确；对于B，(e2x)′＝e2x(2x)′＝2e2x，故B错误；对于C，(log2x)′＝，故C正确；对于D，′＝＝－，故D错误．故选AC. 2．已知函数f(x)＝x(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，则f′(0)＝(　　) A．315 B．314 C．－314 D．－315 设φ(x)＝(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，即f(x)＝xφ(x)，则f′(x)＝φ(x)＋xφ′(x)，所以f′(0)＝φ(0)＝－3×32×33×34×35＝－31＋2＋3＋4＋5＝－315.故选D. 3．吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝L时，气球的瞬时膨胀率(气球半径关于气球体积的瞬时变化率)为(　　) A．dm/L B．dm/L C．3 L/dm D．4π L/dm 因为V＝πr3，所以r＝，所以r′＝×V，当V＝时，r′＝××＝××＝×＝(dm/L)．故选A. 4．(2025·江苏常州模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为________． － 由f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，得f′(x)＝2x＋2f′(2)－，当x＝2时，可得f′(2)＝4＋2f′(2)－，解得f′(2)＝－. 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． 3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 考向❶：求切线方程 【例1】　(1)(学考衔接：人A选二P82探究与发现)牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r. 若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近 似值x2约为(　　) A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 由f(x)＝x2－2(x>0)，得f′(x)＝2x.已知x0＝2，则f′(x0)＝f′(2)＝4，f(x0)＝f(2)＝2，则f(x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)．令y＝0，可得x1＝，则f′(x1)＝f′＝3，f(x1) ＝f＝，所以f(x)的图象在横坐标为x1＝的点处 的切线方程为y－＝3.令y＝0，可得x2＝≈ 1.417.故选B. (2)过点(－1,0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程_____________________________________________． 2x－y＋2＝0或x＋4y＋1＝0(写出其中一个即可) 由y＝x3－x，得y′＝3x2－1，设切点坐标为(x0，x－x0)，则切线斜率为3x－1，得方程y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，代入点(－1,0)，得2x＋3x－1＝0，即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝.当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0. 求切线方程的策略 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等，切点在切线上，切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 考向❷：求切点坐标 【例2】　设a∈R，函数f(x)＝ex＋是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________． ln 2 由f(x)为偶函数，易得a＝1.所以f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得x0＝ln 2. 利用导数几何意义求曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标时，关键是设出切点坐标，然后通过导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解． 考向❸：求参数的取值范围 【例3】　(2025·湖北省十一校联考)若直线y＝2x为曲线y＝eax＋b的一条切线，则ab的取值范围是______________． 设(x0，y0)为y＝2x与y＝eax＋b的切点坐标，则y′|x＝x0＝aeax0＋b＝2，故y＝eax＋b在(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝2(x－x0)，即y＝2x＋y0－2x0＝2x＋eax0＋b－2x0，所以由②得eax0＋b＝2x0， 代入①得ax0＝1，即aeb＋1＝2，a＝，ab＝，设f(x)＝·，f′(x)＝·，由f′(x)>0得x<1，f(x)在(－∞，1)单调递增，f′(x)<0得x>1，f(x)在(1，＋∞)单调递减，所以f(x)≤f(1)＝，所以ab的取值范围为. 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程． 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 考向 ❶ ❷ ❸ 加强练 1.(2025·湖北联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ln(－2x)＋1，则曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程为(　　) A．y＝x－4 B．y＝x C．y＝－2x D．y＝－2x＋2 解法一：由题意知，当x<0时，f(x)＝ln(－2x)＋1，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－{ln[－2(－x)]＋1}＝－ln(2x)－1，f′(x)＝－·2＝－，所以f′＝－2，f＝－1，故所求的切线方程为y－(－1)＝－2，即y＝－2x.故选C. 解法二：由题意知，当x<0时，f(x)＝ln(－2x)＋1，所以f′(x)＝·(－2)＝，故f′＝－2，又f(x)为奇函数，所以f′(x)为偶函数，则f′＝f′＝－2，又f＝－f＝－＝－1，故所求的切线方程为y－(－1)＝－2，即y＝－2x.故选C. 2．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　) A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3) 设切点P(x0，y0)，因为f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－，所以f′(x0)＝3x－1＝2，所以x＝1，所以x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，所以y0＝x－x0＋3，所以当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.所以切点P的坐标为(1,3)或(－1,3)．故选C. 3．函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－.因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．故选B. 4．(2025·山西联考)过点(2,0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 过点(2,0)作曲线f(x)＝xex的切线，设切点坐标为(x0，x0ex0)，由题意得f′(x)＝(x＋1)ex，则(x0＋1)e x0＝，即(x－2x0－2)ex0＝0，由于ex0>0，故x－2x0－2＝0，Δ＝12>0，由题意可知x1，x2为x2－2x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＝2，x1x2＝－2，故＋＝＝－1.故选B. 【例4】　(2025·福建适应性考试)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则(　　) A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0 C．k＝，b＝－1 D．k＝1，b＝－1 设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为(x1，y1)，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln(－x)的切点坐标为(x2，y2)，对y＝ln x求导得y′＝，对y＝－ln(－x)求导得y′＝－·(－1)＝－，所以有得得所以k＝＝.故选A. 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【训练】　已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1，对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝x＋ln n，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则可得(1－m)(em－1)＝0，解得m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条．故选C. $$