专题01 菱形的性质与判定（考点专项训练）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

专题01 菱形的性质与判定（考点专项训练）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版 知识点巩固 一、菱形的定义 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言：在▱ABCD中，若AB=AD，则四边形ABCD是菱形。 二、菱形的性质 1. 边的性质 基本性质：菱形的四条边都相等。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA。 衍生性质：菱形的对边平行且相等（继承平行四边形性质）。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 基本性质：菱形的对角相等，邻角互补（继承平行四边形性质）。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。 特殊性质：菱形的对角线平分一组对角。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 3. 对角线的性质 核心性质：菱形的对角线互相垂直且平分。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 衍生性质：菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA（均为直角三角形）。 4. 对称性 中心对称：菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 轴对称：菱形是轴对称图形，有2条对称轴，即两条对角线所在的直线。 5. 面积公式 公式1（底高法）： 几何语言：若菱形ABCD中，AB= a，AB边上的高为h，则。 公式2（对角线法）： 几何语言：若菱形ABCD的对角线AC= m，BD= n，则。 三、菱形的判定定理 1. 定义判定法 判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在▱ABCD中，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形。 2. 对角线判定法 判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：在▱ABCD中，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。 3. 边判定法 判定3：四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。 四、菱形与其他特殊平行四边形的关系 1. 包含关系 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。 正方形是特殊的菱形（当菱形有一个内角为直角时）。 2. 区别与联系 图形 特殊性质 判定关键条件 平行四边形 对边平行且相等，对角相等 两组对边分别平行/相等 菱形 四边相等，对角线互相垂直 一组邻边相等/对角线垂直（平行四边形中） 矩形 四个角为直角，对角线相等 一个直角/对角线相等（平行四边形中） 正方形 四边相等+四角直角，对角线垂直且相等 菱形+直角/矩形+邻边相等 五、重要结论与推论 1. 菱形的周长公式：若菱形边长为a，则周长C = 4a。 2. 菱形对角线与边长关系：若菱形对角线长为m、n，则边长（由勾股定理推导）。 3. 菱形的对角线与面积关系：面积等于两条对角线乘积的一半，与底和高无关。 4. 菱形的对称性：有2条对称轴（对角线所在直线），对称中心为对角线交点。 六、易错点与常见误区 1. 混淆性质与判定： 错误：认为“对角线相等的菱形是正方形”是菱形的性质（实际是判定正方形的条件）。 正确：菱形的对角线互相垂直，但不一定相等；对角线相等的菱形是正方形。 2. 忽略前提条件： 错误：直接使用“对角线互相垂直的四边形是菱形”（缺少“平行四边形”前提）。 正确：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，或四条边相等的四边形是菱形。 3. 面积公式误用： 错误：用对角线和的一半计算面积（正确公式是对角线乘积的一半）。 正确：。 考点练习 考点一、菱形的性质 1．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ 故答案为：D． 【分析】根据菱形的性质求得，∠ACB=60°，于是可判定△ABC为等边三角形，即可求解． 2．如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴平分，，即， 在中，， ∴， 故选：B ． 【分析】先利用菱形的性质结合可证明，则点O是AC中点；由于菱形的对角互相垂直平分，且一条对角线平分一组对角，则可得与互余． 3．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（　　） A． B．5 C．6 D．9 【答案】A 【解析】【解答】解：菱形的周长为36， ∴AB=BC=CD=AD==9，OB=OD， ∴O为中点， ∵H为边的中点， 时的中位线， ， 故答案为：A． 【分析】根据菱形的性质“菱形的四边都相等，对角线互相垂直平分”可得AB=BC=CD=AD，OB=OD，再根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”即可求解． 4．如图，在菱形中，对角线AC、BD的长分别为8cm、6cm，则这个菱形的周长为（　　） A．10cm B．14cm C．20cm D．28cm 【答案】C 【解析】【解答】解：∵菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8cm，BD＝6cm， ∴∠AOB＝90°，AO＝4cm，BO＝3cm， 故AB＝＝＝5（cm）， 故菱形的周长为：4×5=20（cm）， 故答案为：C． 【分析】根据菱形的性质得出AO，BO的长，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案. 5．如图，在菱形中，过点C作的垂线与的平分线交于点E，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵四边形ABCD为菱形 ∴ ∴ ∴∠ABC=4∠ABE ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【分析】 先根据平分和菱形的性质，得到，从而得到：，∠ABC=4∠ABE，再根据等边对等角得到：=3∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余，求出∠ABE的度数，从而求出∠ABC的度数，再结合两直线平行，同旁内角互补求解即可． 6．如图，菱形中，，，，点P为对角线上的一个动点，则的最小值为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：如图，连接，，过作于， 由菱形的对称性可得：， ∴， 当三点共线时，最短， ∵菱形中，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为： 【分析】本题主要对菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识进行考查；连接，，过作于，因为四边形ABCD为菱形，所以有，进而可列出不等关系，根据不等式可知，当三点共线时，最短，可解得，即最小值为． 7． 如图， 菱形ABCD中， AE 垂直平分BC， 垂足为E， AB=4. 那么菱形ABCD的面积是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：垂直平分， ，， 四边形为菱形， ， ， ， 故答案为：． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理．根据线段垂直平分线的性质和菱形的性质得到、的长，再根据四边形为菱形，利用菱形的性质可得：，，利用勾股定理可求出的值，再利用菱形的面积公式进行计算可求出答案． 8．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点作于点， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】 过点作于点，由题可得是的中位线，即可得到，然后证明，求出的长，再根据三角形的面积求出的长，即可得到的长，最后运用勾股定理即解出的长即可． 9．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，连接，若，，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：连接交于点，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理可知：， 在中，由勾股定理可知：， ∴， 故答案为：． 【分析】连接交于点，先利用菱形的性质及线段的和差求出OE的长，再利用勾股定理求出DO和DE的长，最后求出即可. 10．如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴. 故答案为：． 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得OB长和AC⊥BD，由勾股定理得OA，从而得出，根据面积法，用菱形ABCD的面积，即可求出的长． 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在线段BD上，．判断AE与AF是否相等？并说明理由． 【答案】解：．理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 【解析】【分析】根据菱形的对角线互相平分且垂直可得OB=OD，AC⊥BD；结合题意推得OE=OF，根据线段垂直平分线的性质即可证明AE=AF. 12．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E.当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长. 【答案】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6， ∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3， ， 菱形的面积为 ， ∴ ， . 【解析】【分析】由菱形的性质可得∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，由勾股定理求出AB，然后根据S菱形=AC·BD=AD·BE进行计算. 13．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=2 ，BD=4 ，作AE⊥BC于点E，求AE的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO= AC= ，BO= BD=2 ，AO⊥BO，∴BC= = ，∴ = AC′BD= ×2 ×4 =8，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=28，∴AE= = 【解析】【分析】由菱形的性质可得CO= AC ，BO= BD= ，AO⊥BO，所以用勾股定理可求得BC的长，则菱形ABCD的面积= ACBD=BC×AE可求解AE的长。 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E， （1）求证：AC＝DE； （2）求△BDE的面积． 【答案】（1）证明：∵在菱形ABCD中，AD∥BC， 又∵DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴AC＝DE； （2）解：∵在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠BOC＝90°， ∵AB＝5，AC＝6， ∴AO＝3， ∴OB＝＝4， ∴BD＝2OB＝8， ∵DE＝AC＝6， ∴． 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到，AD∥BC，结合已知条件即可证明四边形ACED为平行四边形，进而可得到； （2）根据菱形的性质得到，结合已知条件得到：根据勾股定理求出OB的长度，进而得到BD的长度，最后根据三角形面积计算公式计算即可. 二、菱形的判定 15．如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：因为， 所以四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， 所以， 所以， 所以四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 【分析】根据菱形的定义及其判定（在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形）、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 16．如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形的周长是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可知，点E、F分别是、中点， ∴平行且相等，即为平行四边形， 又∵在中，E为的中点， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，，， ∴，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：D． 【分析】先证出四边形为菱形，再利用勾股定理求出，再求出，最后求出周长即可. 17．如图所示，D、E、F分别是△ABC三边的中点，连接EF、DE、BE，下列条件中不能使四边形BDEF成为菱形的是 (　　) A．AB=BC　　　　 B．BE平分∠ABC　　　　 C．EF=EC　　　　 D．BE⊥AC 【答案】C 【解析】【解答】解：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∴EF//BC，DE//AB，EF=BC，DE=AB， ∴四边形 BDEF是平行四边形， A.∵AB=BC， ∴EF=DE， ∴四边形BDEF是菱形 ∴该选项不符合题意； B. ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBE=∠DBE， ∵FE//BC， ∴∠FEB=∠DBE， ∴∠FBE=∠FEB， ∴BF=FE， ∴四边形BDEF是菱形， ∴该选项不符合题意； C.由EF=EC 不能使四边形BDEF成为菱形， ∴该选项符合题意； D.∵BE⊥AC，AE=EC， ∴AB=BC， ∴EF=DE， ∴四边形BDEF是菱形， ∴该选项不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据三角形的中位线以及菱形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。 18．如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ， .若要使四边形 为菱形，则可以添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵在四边形 中， ， ∴四边形 是平行四边形 若添加 ， 则四边形 是矩形，故A不符合题意； 若添加 ， 则四边形 是矩形，故B不符合题意； 若添加 ，与菱形的对角线互相垂直相矛盾，故C不符合题意； 若添加 则四边形 是菱形，故D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形 ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可. 19．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO， ∴BC==5cm， ∴S菱形ABCD==×6×8=24， ∵S菱形ABCD=BC×AE， ∴BC×AE=24， ∴AE==， 故选D． 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度． 20．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是 　 　． 【答案】菱形 【解析】【解答】解：∵点 E 、F 、G 、H分别是AB、CD、AC、BD 的中点， ∴GF是△ADC的中位线， GE是△ABC的中位线，EH是△ABD 的中位线， ∴ ∴ ∴四边形EGFH是平行四边形， 又∵AD=BC ， ∴GE=EH ， ∴四边形EHFG是菱形． 故答案为：菱形． 【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线， GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出得出四边形 EGFH 是平行四边形，再证出GE=EH，即可得出四边形EHFG是菱形． 21．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形ABCD为菱形. 你添加的条件是　 　． 【答案】AC、BD互相平分 【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD为菱形； ∴添加的条件： AC、BD互相平分 故答案为： AC、BD互相平分 . 【分析】对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，据此添加即可. 22．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△DEC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C'处，并且C'D∥BC，则CD的长是　 　 【答案】 【解析】【解答】解：设CD＝x， 由折叠的性质得 ∵C'D∥BC，且有 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； 在Rt△ABC中，由勾股定理得， 解得： ∴ 解得： 故答案为：A． 【分析】设CD＝x，根据折叠的性质及菱形的判定定理证明四边形C'DCE是菱形，再由勾股定理求出，根据对应边成比例求出，由，即可求解. 23．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是　 　 ． 【答案】5﹣5　 【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E， 当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短， ∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°， ∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5， 故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5． 故答案为：5﹣5． 【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长． 24．如图，在 ▱ ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF = 12，AB = 10，则AE的长为　 　． 【答案】16 【解析】【解答】解：由题意可知：AB=AF，AE⊥BF， ∴OB=OF，∠BAE=∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA=OE，OB=OF= BF=6， 在Rt△AOB中，OA= =8， ∴AE=2OA=16． 故答案为：16． 【分析】证明四边形ABCD是菱形，利用勾股定理求出OA即可。 25．如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点是线段的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形 （2）解：∵矩形中， ∴，，， ∵矩形的周长为20， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或， ∵， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得，，，，则，根据三角形中位线性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，由可得四边形是菱形，即可求出答案. （2）根据矩形性质可得，，，再根据矩形周长可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，再根据三角形面积即可求出答案. （1）证明：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点是线段的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中， ∴，，， ∵矩形的周长为20， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或， ∵， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 26．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴EB＝AB， ∵AF＝AB， ∴EB＝AF， ∵EB∥AF，EG＝AF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵EB＝AB， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：∵四边形ABEF是菱形，BF＝8，AB＝5， ∴AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE， ∴∠AOB＝90°， ∴， ∴AE＝2OA＝2×3＝6， ∴AE的长为6． 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 BC∥AD， 再根据角平分线求出 ∠BAE＝∠DAE， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可； （2）根据菱形的性质求出 AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE， 再利用勾股定理计算求解即可。 27．如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，． （1）求证：四边形BGEF为菱形； （2）求FG的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EFG＝∠BGF， ∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线， ∴∠BGF＝∠EGF， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴EF＝GE， ∵图形翻折后BG与GE完全重合， ∴BG＝GE， ∴EF＝BG， ∴四边形BGEF为平行四边形， ∴四边形BGEF为菱形； （2）解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， ∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°， ∴四边形ABKF是矩形， ∴FK＝AB＝8，BK＝AF， 在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10， ∴AF＝， ∴BK＝AF＝6， ∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4， ∴FG＝． 【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得 AD∥BC，则∠EFG＝∠BGF，再根据折叠性质可得 ∠BGF＝∠EGF， 则 ∠BGF＝∠EGF，即EF＝GE，EF＝BG，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2） 过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， 根据矩形判定定理可得四边形ABKF是矩形，则FK＝AB＝8，BK＝AF，再根据勾股定理可得AF=6，再根据边之间的关系可得BK=6，GK=4，再根据勾股定理即可求出答案. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EFG＝∠BGF， ∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线， ∴∠BGF＝∠EGF， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴EF＝GE， ∵图形翻折后BG与GE完全重合， ∴BG＝GE， ∴EF＝BG， ∴四边形BGEF为平行四边形， ∴四边形BGEF为菱形； （2）解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， ∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°， ∴四边形ABKF是矩形， ∴FK＝AB＝8，BK＝AF， 在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10， ∴AF＝， ∴BK＝AF＝6， ∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4， ∴FG＝． 28．如图，在四边形 ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD交于点 O，AC平分∠BAD，过点 C作CE⊥AB交 AB的延长线于点 E． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 ，BD＝2，求 BE 的长（直接写出答案）. 【答案】（1）证明：∵AB//DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD， ∵AB＝AD， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2） 【解析】【解答】（2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝1，AB＝CB＝， 根据勾股定理可得：OA＝＝2， ∵CE⊥AB， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2−BE2， 在Rt△ACE中，CE2＝AC2−AE2＝AC2−（AB＋BE）2， ∴BC2−BE2＝AC2−（AB＋BE）2，即：5−BE2＝16−(＋BE)2， 解得：BE＝． 【分析】（1）先证出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可证出四边形ABCD是菱形； （2）先利用勾股定理求出OA的长，再利用勾股定理可得BC2−BE2＝AC2−（AB＋BE）2，即：5−BE2＝16−(＋BE)2，再求出BE的长即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 菱形的性质与判定（考点专项训练）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版 知识点巩固 一、菱形的定义 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言：在▱ABCD中，若AB=AD，则四边形ABCD是菱形。 二、菱形的性质 1. 边的性质 基本性质：菱形的四条边都相等。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA。 衍生性质：菱形的对边平行且相等（继承平行四边形性质）。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 基本性质：菱形的对角相等，邻角互补（继承平行四边形性质）。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。 特殊性质：菱形的对角线平分一组对角。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 3. 对角线的性质 核心性质：菱形的对角线互相垂直且平分。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 衍生性质：菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA（均为直角三角形）。 4. 对称性 中心对称：菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 轴对称：菱形是轴对称图形，有2条对称轴，即两条对角线所在的直线。 5. 面积公式 公式1（底高法）： 几何语言：若菱形ABCD中，AB= a，AB边上的高为h，则。 公式2（对角线法）： 几何语言：若菱形ABCD的对角线AC= m，BD= n，则。 三、菱形的判定定理 1. 定义判定法 判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在▱ABCD中，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形。 2. 对角线判定法 判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：在▱ABCD中，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。 3. 边判定法 判定3：四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。 四、菱形与其他特殊平行四边形的关系 1. 包含关系 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。 正方形是特殊的菱形（当菱形有一个内角为直角时）。 2. 区别与联系 图形 特殊性质 判定关键条件 平行四边形 对边平行且相等，对角相等 两组对边分别平行/相等 菱形 四边相等，对角线互相垂直 一组邻边相等/对角线垂直（平行四边形中） 矩形 四个角为直角，对角线相等 一个直角/对角线相等（平行四边形中） 正方形 四边相等+四角直角，对角线垂直且相等 菱形+直角/矩形+邻边相等 五、重要结论与推论 1. 菱形的周长公式：若菱形边长为a，则周长C = 4a。 2. 菱形对角线与边长关系：若菱形对角线长为m、n，则边长（由勾股定理推导）。 3. 菱形的对角线与面积关系：面积等于两条对角线乘积的一半，与底和高无关。 4. 菱形的对称性：有2条对称轴（对角线所在直线），对称中心为对角线交点。 六、易错点与常见误区 1. 混淆性质与判定： 错误：认为“对角线相等的菱形是正方形”是菱形的性质（实际是判定正方形的条件）。 正确：菱形的对角线互相垂直，但不一定相等；对角线相等的菱形是正方形。 2. 忽略前提条件： 错误：直接使用“对角线互相垂直的四边形是菱形”（缺少“平行四边形”前提）。 正确：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，或四条边相等的四边形是菱形。 3. 面积公式误用： 错误：用对角线和的一半计算面积（正确公式是对角线乘积的一半）。 正确：。 考点练习 考点一、菱形的性质 1．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 2．如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为36，则的长等于（　　） A． B．5 C．6 D．9 4．如图，在菱形中，对角线AC、BD的长分别为8cm、6cm，则这个菱形的周长为（　　） A．10cm B．14cm C．20cm D．28cm 5．如图，在菱形中，过点C作的垂线与的平分线交于点E，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，，，，点P为对角线上的一个动点，则的最小值为　 　． 7． 如图， 菱形ABCD中， AE 垂直平分BC， 垂足为E， AB=4. 那么菱形ABCD的面积是　 　. 8．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为　 　． 9．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，连接，若，，则　 　． 10．如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长是　 　． 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在线段BD上，．判断AE与AF是否相等？并说明理由． 12．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E.当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长. 13．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=2 ，BD=4 ，作AE⊥BC于点E，求AE的长． 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E， （1）求证：AC＝DE； （2）求△BDE的面积． 考点二、菱形的判定 15．如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形的周长是（　　） A．2 B． C．4 D． 17．如图所示，D、E、F分别是△ABC三边的中点，连接EF、DE、BE，下列条件中不能使四边形BDEF成为菱形的是 (　　) A．AB=BC　　　　 B．BE平分∠ABC　　　　 C．EF=EC　　　　 D．BE⊥AC 18．如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ， .若要使四边形 为菱形，则可以添加的条件是（　　） A． B． C． D． 19．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 20．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是 　 　． 21．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形ABCD为菱形. 你添加的条件是　 　． 22．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△DEC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C'处，并且C'D∥BC，则CD的长是　 　 23．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是　 　 ． 24．如图，在 ▱ ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF = 12，AB = 10，则AE的长为　 　． 25．如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 26．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长． 27．如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，． （1）求证：四边形BGEF为菱形； （2）求FG的长． 28．如图，在四边形 ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD交于点 O，AC平分∠BAD，过点 C作CE⊥AB交 AB的延长线于点 E． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 ，BD＝2，求 BE 的长（直接写出答案）. 学科网（北京）股份有限公司 $$