专题10 乘法公式的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题10 乘法公式的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴专练 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a - b)(a + b)(a² + b²)...，前两项得a² - b²，再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x - y)(x + y)形式。例如(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)...，每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1．计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平方差公式，把原式前面乘以，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式简化计算，利用平方差公式对每一个括号分解因式，然后约分即可得出结果． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式1-2】计算： 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式1-3】阅读下列材料.某同学在计算时，发现把3写成后，可以连续运用平方差公式计算：. 请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值. (1)（结果用幂的形式表示）； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可； （2）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如99²=(100-1)²，用(a-b)²=a²-2ab+b²快速计算，避免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得100²-2²，简化运算步骤。 例2．用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)4008004 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式是关键． （1）将变形为，根据完全平方公式即可解答 （2）把变形为，根据平方差公式利用平方差公式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-2】运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】使用简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的形式及适用条件是解题的关键． （1）可将和转化为与有关的形式，再利用平方差公式计算； （2）将转化为的形式，再利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ， （2）解： 类型三、乘法公式中项数的变换 1. 增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x² + 6x可加9减9，变为(x + 3)² - 9，适配公式简化计算。 2. 分组合并项：多项式分组后用公式，如a² - b² + a - b，前两项用平方差得(a - b)(a + b)，再与后两项合并提公因式。 例3．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为，再运用平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答． 【详解】 【变式3-1】计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 ． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 【变式3-3】计算：． 【答案】． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2，将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2 + 2(a+b)c + c2，再展开化简。 2.代换简化求值：已知x + y = 5，xy = 3，求x2 + y2，用(x+y)2 - 2xy整体代入，避免求单值。 例4．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 根据完全平分公式的变形即可求解 【详解】（1）解：， ； （2） ． 【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 【变式4-2】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 【变式4-3】观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)40 (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【详解】（1）证明： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 类型五、乘法公式中几何图形的应用 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a²、b²和两个ab，验证(a+b)²=a²+2ab+b²。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a²-b²对应长方形面积(a-b)(a+b)，印证平方差公式。 例5．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)8092 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式 【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据正方形和长方形的面积可直接进行求解； （2）根据图形可得结论； （3）根据（2）中的结论可得，进而利用结论进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，； （2）解：根据图形，图2的大长方形是边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将阴影部分剪拼成的， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴ ． 【变式5-1】定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 【变式5-2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键； （1）根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可； （2）利用平方差公式整理成即可求解； （3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：解：①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， 答：阴影部分的面积为． 【变式5-3】【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，将变形为，运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．6 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．由已知可知，再将代数式变形为，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 3．若a为任意整数，则的值总能（   ） A．被25整除 B．被20整除 C．被16整除 D．被9整除 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式计算化简出结果，由此即可得． 【详解】解：原式 ， 由此可知，若为任意整数，则的值总能被20整除， 故选：B． 4．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，，若，则图中阴影部分的周长为（   ） A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ； ， ， 即， ， ， ， 或（舍去） ∵四边形是正方形， ， ∴阴影部分的周长是， 故选：D． 5．观察规律： ， 若（为正整数），则的值为（    ） A．2012 B．2013 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】解：∵ 解得： 故选：C． 二、填空题 6．若实数x满足，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了完全平方公式的变形应用，设，，根据题意得到，，然后利用完全平方公式的变形求出，然后分情况代入求解即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得； ∴当时，， 解得； 综上所述，或． 故答案为：或． 7．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了代数式求值以及多项式乘以多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先通过，，求得，然后把，代入，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 把，代入， 即， 故答案为：； 8．若满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键． 根据完全平方公式得出 ，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 又， ， ， 故答案为：． 9．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ． 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式的运用，熟记公式内容是此题关键．根据各种纸片数量，不超过张，写出完全平方公式． 【详解】①，即可以用、正方形纸片各张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形； ②，即可以用正方形纸片张，纸片张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形： ③，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ④，即可以用正方形纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑤，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形； ⑥，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形． 综上所述，共有种不同的正方形． 故答案为：． 10．边长分别为，的两个小正方形在边长为的大正方形内按如图所示位置放置，此时阴影部分的面积为．将图中大正方形的边长减少个单位后得到新的大正方形，边长分别为，的两个小正方形在新的大正方形内按如图所示位置放置，此时阴影部分的面积为．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，根据图中阴影部分的面积是，可得，再用代数式表示图中阴影部分的面积，再代入计算即可．掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：如图， ， ∴， 如图， 每个阴影部分长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式、多项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （3）利用完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式计算，再利用完全平方公式多计算即可； （5）利用多项式与多项式的乘法法则计算即可； （6）利用多项式与多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 12．先化简，再求值，其中、满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式、多项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算完全平方公式与平方差公式，再计算括号内的整式加减，然后计算多项式除以单项式，最后根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴， ∴， 将代入得：原式． 13．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，合并同类项，对原式进行化简，代入字母的值，计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，合并同类项，再根据整式的除法运算法则，对原式进行化简，代入字母的值，计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式 （2）解： 当，时， 原式 14．若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“开明数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“开明数”，3与2是5的平方差分解；再如：（x，y是正整数），所以M也是“开明数”，与y是M的一个平方差分解． (1)判断：20 “开明数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是P的一个平方差分解，求P； (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“开明数”，试求出符合条件的k值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方差公式的运用，解题的关键是理解新定义运算． （1）根据“开明数”的定义解答即可； （2）根据“开明数”的定义进行计算即可； （3）先变形可得，再根据“开明数”的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴20是“开明数”； 故答案为：是 （2）解：∵与是P的一个平方差分解， ∴ ； （3）解：，理由如下： ∵N是“开明数”， ∴， ∴． 15．一个正方形边长为（m为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为． (1)求（用含m的代数式表示）； (2)小丽说无论m为何值，和的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ (3)将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为，若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值． 【答案】(1) (2)同意；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可； （2）求出，然后进行判断即可； （3）表示出，然后求出，根据不论m为何值，始终是一个定值，得出，求出a的值即可． 【详解】（1）解：得到的长方形的两边长分别为： ，， ∴； （2）解：同意；理由如下： ， ∴与的差都不变． （3）解：∵， ∴ ， ∵不论m为何值，始终是一个定值， ∴， 解得：． 16．阅读理解：我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，求的值． 解： 问题解决： (1)若，求的值； (2)已知，求的值； (3)若，求的值； 【答案】(1)52 (2)34 (3)7 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据完全平方公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）令，，根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， ， ， ， ． 17．【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：________． (2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若求的值． (3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)2或6 【分析】本题考查了运用完全平方式进行计算，解题关键是掌握完全平方式． （1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）运用换元法，简化计算，有助于快速解出题目． 【详解】（1）解：由图2所表示的数学等式为， 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：， ， 令，，，可得， ∴，，， ∴， 变形得， ． ∴ ， ∴或2， ∴或6． 18．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 【答案】(1) (2)①3；②；③ 【分析】本题主要考查完全平方公式，数形结合及灵活应用是解题的关键． （1）分别用表示出图①和图②，从而即可得出等式； （2）①通过（1）中的结论变形即可求解； ②设，，则，，利用（1）中结论求解即可； ③设，通过等量代换及（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：图②大正方形得面积为，它由图①中种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成的， ∴图②大正方形的面积为， ∴； （2）解：①， ． ． ， ； ②设，，则，， ∵， ∴， 解得， 故； ③设，则，． ， ， ， ， ， 即， ． 19．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是（    ） A．    B． C．    D． （2）若，，则 ； （3）运用你从（1）中选出的等式，计算下列各题： ①； ②； ③． 【答案】（1）D；（2）3；（3）①1；②；③ 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算即可； ②利用（1）中公式计算即可； ③将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】解∶（1）由图1知∶阴影部分面积为，由图2知∶ 阴影部分面积为， ∴， 故选∶D； （2）∵， ∴， 又， ∴， 故答案为：3； （3）① ； ② ； ③ ． 20．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2），图（1）中阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个等式是 ． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若，则 ． 【拓展迁移】（3）若x满足，求的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）56；（3）21；（4）25.5 【分析】本题考查了平方公式的几何背景，多项式乘多项式，一元一次方程的应用，熟练掌握相应的运算法则是关键． （1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）根据题意得，，再根据（1）把变形，代入计算即可； （4）设，由题意得到，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）根据图3可知，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即， 大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 两个空白矩形的面积和为， 阴影部分的面积为， 故 故答案为：； （2）， ； （3），， ； （4）， 设， ，，，， 种花区域的面积和为35，即， ， ， 种草区域的面积和为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 乘法公式的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴专练 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a - b)(a + b)(a² + b²)...，前两项得a² - b²，再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x - y)(x + y)形式。例如(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)...，每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1．计算： （结果用幂的形式表示）． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算： 【变式1-3】阅读下列材料.某同学在计算时，发现把3写成后，可以连续运用平方差公式计算：. 请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值. (1)（结果用幂的形式表示）； (2)． 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如99²=(100-1)²，用(a-b)²=a²-2ab+b²快速计算，避免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得100²-2²，简化运算步骤。 例2．用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【变式2-1】简便运算： (1)； (2)． 【变式2-2】运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【变式2-3】使用简便计算： (1)． (2)． 类型三、乘法公式中项数的变换 1. 增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x² + 6x可加9减9，变为(x + 3)² - 9，适配公式简化计算。 2. 分组合并项：多项式分组后用公式，如a² - b² + a - b，前两项用平方差得(a - b)(a + b)，再与后两项合并提公因式。 例3．计算：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算：． 【变式3-3】计算：． 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2，将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2 + 2(a+b)c + c2，再展开化简。 2.代换简化求值：已知x + y = 5，xy = 3，求x2 + y2，用(x+y)2 - 2xy整体代入，避免求单值。 例4．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【变式4-2】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【变式4-3】观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 类型五、乘法公式中几何图形的应用 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a²、b²和两个ab，验证(a+b)²=a²+2ab+b²。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a²-b²对应长方形面积(a-b)(a+b)，印证平方差公式。 例5．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【变式5-1】定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【变式5-2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【变式5-3】【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C．2025 D．2024 2．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．6 D．13 3．若a为任意整数，则的值总能（   ） A．被25整除 B．被20整除 C．被16整除 D．被9整除 4．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，，若，则图中阴影部分的周长为（   ） A．25 B．26 C．28 D．30 5．观察规律： ， 若（为正整数），则的值为（    ） A．2012 B．2013 C．2024 D．2025 二、填空题 6．若实数x满足，则 ． 7．若，，则 ． 8．若满足，则 ． 9．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ． 10．边长分别为，的两个小正方形在边长为的大正方形内按如图所示位置放置，此时阴影部分的面积为．将图中大正方形的边长减少个单位后得到新的大正方形，边长分别为，的两个小正方形在新的大正方形内按如图所示位置放置，此时阴影部分的面积为．则的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．先化简，再求值，其中、满足． 13．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 14．若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“开明数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“开明数”，3与2是5的平方差分解；再如：（x，y是正整数），所以M也是“开明数”，与y是M的一个平方差分解． (1)判断：20 “开明数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是P的一个平方差分解，求P； (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“开明数”，试求出符合条件的k值，并说明理由． 15．一个正方形边长为（m为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为． (1)求（用含m的代数式表示）； (2)小丽说无论m为何值，和的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ (3)将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为，若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值． 16．阅读理解：我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，求的值． 解： 问题解决： (1)若，求的值； (2)已知，求的值； (3)若，求的值； 17．【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：________． (2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若求的值． (3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值． 18．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________． (2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； ③已知，求的值． 19．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是（    ） A．    B． C．    D． （2）若，，则 ； （3）运用你从（1）中选出的等式，计算下列各题： ①； ②； ③． 20．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2），图（1）中阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个等式是 ． 【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若，则 ． 【拓展迁移】（3）若x满足，求的值． 【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，，求种草区域的面积和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$