26.2 实际问题与反比例函数（教学设计）数学人教版九年级下册

26.2 实际问题与反比例函数 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册第二十六章 反比例函数 26.2实际问题与反比例函数，第1课时，内容包括：实际问题与反比例函数. 2.内容解析 这一节是人教版九年级数学下册第二十六章第2节《实际问题与反比例函数》第1课时的内容.反比例函数的概念和性质学生已经学习过了，因此学生对反比例函数的基本概念和性质有一定的了解。本节课，我们将通过实际问题来应用反比例函数，这需要学生具备一定的数学应用能力，包括分析问题、建立数学模型、求解问题等。本节课的教学内容与学生的生活实际紧密相连，如速度与路程、面积与边长等，这有助于激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 基于以上分析，本节课的教学重点是: 学生要能理解反比例函数在实际问题中的意义，准确找出实际问题中的反比例函数关系，会用反比例函数的表达式表示实际问题中的变量关系，并且能根据反比例函数的性质解决实际问题. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）学生要能理解反比例函数在实际问题中的意义，准确找出实际问题中的反比例函数关系，会用反比例函数的表达式表示实际问题中的变量关系，并且能根据反比例函数的性质解决实际问题; （2）通过对实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，提高学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，让学生体会函数思想和方程思想在解决实际问题中的应用; （3）通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神，增强学生学好数学的信心. 2.目标解析 （1）由问题引入，并引导学生通过观察、分析、归纳和概括等方法，发展学生的数学建模能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣. （2）培养学生对反比例函数应用的理解，让学生自己去发现问题里的数量关系，然后建立函数模型解决问题，慢慢锻炼他们的数学思维. （3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础. 三、教学问题诊断分析 对于本节课的学习，学生他们已经具备了一定的数学基础，对函数概念有一定的理解。然而，由于学生之间的个体差异，他们的数学水平和学习能力存在差异。部分学生可能在函数性质和图象的理解上较为薄弱，而另一部分学生则可能对函数的实际应用有较好地掌握。学生在八年级下册已经学习了正比例函数和一次函数，对函数的基本概念和性质有所了解。但在反比例函数的学习中，学生可能会遇到新的难点，如何解决包含反比例函数的实际问题。学生在解决数学问题时，分析问题和解决问题的能力是关键。在反比例函数的学习中，学生需要具备较强的逻辑推理能力和数学建模能力。此外，学生的计算能力和几何直观能力也将对学习反比例函数产生重要影响。 基于以上分析，本节课的教学难点为： 通过对实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，提高学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，让学生体会函数思想和方程思想在解决实际问题中的应用. 四、教学过程设计 （一）情景导入 2025年蛇年春晚的舞台上，《秧BOT》节目开场，一群穿着花棉袄的机器人在现场扭起了秧歌，机器人们还会变换队形、舞动身体，多角度转手绢。这些机器人都来自杭州宇树科技，此机器人为公司2023年8月推出的Unitree H1，2023年、2024年的北京世界机器人大会、英伟达GTC大会，还有张艺谋导演的《澳门2049》长期2年驻场舞台剧，都有它们的身影，而此次春晚是一场史无前例的全AI驱动全自动集群人形机器人表演。至此，智能机器全面进入我们的生活。 【设计意图】通过实际生活引入，激发学生学习，并感受科技创新赋能民生改善. （二）新知探究 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； 问1.请求出其反比例函数解析式 解：设反比例函数解析式为， 由题意可得：，即， ∴反比例函数解析式为 问2.当其载重后总质量时，求它的最快移动速度. 当时，． 问3.当其最快移动速度为20m/s时，求其载重后的总质量. 当时，即． 【设计意图】从特殊问题出发，学生要能理解反比例函数在实际问题中的意义，准确找出实际问题中的反比例函数关系，会用反比例函数的表达式表示实际问题中的变量关系，并且能根据反比例函数的性质解决实际问题. （三）典例讲解 例1.市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积(单位： ) 与其深度(单位：)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向下掘进多深? (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解(1)根据圆柱体的体积公式，得， ∴关于的函数解析式为 (2)把S=500代入，得解得 如果把储存室的底面积定为 ，施工时应向地下掘进深. (3)根据题意，把代入，得,解得： (). 当储存室的深度为时，底面积应改为 方法点拨：利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际问题中的等量关系，把实际问题转化为数学问题回答.经常遇到的是知自变量取值，求对应的函数值取值；或者知函数 值的取值，求对应的自变量的取值. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度(单位：吨/天)与卸货天数之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 解(1)设轮船上的货物总量为吨，根据已知条件得=30×8=240， 所以关于的函数解析式为 (2)把代入，得(吨/天) 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，越小，越大.这样若货物不超过天卸载完，则平均每天至少要卸载吨. 方法点拨：当题目中出现“至少”“超过”“不多于”等关键词时，我们既可以利用不等式解决问题，也可以利用反比例函数的增减性解决问题. 【设计意图】通过对典例的讲解鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础 （四）针对训练 1.如图，小伟想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为． (杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．) (1)动力与动力臂有怎样的函数关系？ (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少． (4)小伟若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 解(1)：由题意可得：，则， 即F关于l的函数表达式为； (2)：∵，∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； (3)当时，由得，m, ∵ ∴若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半，则动力臂至少要加长1.5m． (4) 他不能撬动这块石头，理由如下： ∵，∴， ∵, ∴， ∴， ∵，∴他不能撬动这块石头． 2.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω. 已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示. (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系? (2)这个用电器功率的范围是多少? 解(1)根据电学知识，当时，得 (2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值代入求得的解析式，得到功率的最大值 ; 把电阻的最大值代入求得的解析式，得到功率的最小值 ∴因此用电器功率的范围为. 方法点拨：解决此类问题根据自变量的取值范围求函数值的取值范围时，先根据临界点自变量的取值求出其函数值的取值，再根据反比例函数的图象的增减性求出函数值的取值范围；反之亦然. 3.为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分）成正比例，药物释放完毕后，与成反比例，整个过程中关于的函数图象如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，则从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过多少小时？ 解：设反比例函数解析式为， 将代入得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，，解得：分小时， ∴小时， ∴从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过3.8小时. 【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和综合解决问题的能力从而培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性. 此题也体现了学科间知识的融合性. （五）拓展探究 1.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其他函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出（元）与（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 解(1)：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； (2)∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润． 【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和综合解决问题的能力从而培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性. （六）当堂巩固 1.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰的高度)不变时，火焰的像高(单位：)是关于物距(小孔到蜡烛的距离)(单位：)的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　C　） A． B． C． D． 2.当汽车的功率P（单位：）一定时，汽车的行驶速度v（单位：）与汽车所受阻力F（单位：N）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．当汽车所受阻力低于时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应__不大于__________ 3.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走． (1)假如每天能运立方米，所需时间为天，写出与之间的函数关系式； (2)若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ (3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解(1)：∵,∴; (2) ,代入解析式得：(天)； (3)：运了8天后剩余得垃圾是 剩下的任务要在不超过6天的时间完成则每天至少运, 则需要的拖拉机数是：(辆)， 则至少需要增加辆这样的拖拉机才能按时完成任务. 4.我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培． (1)求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式； (2)若，求电流I的变化范围． 解(1)设函数解析式为， ∵当时，，∴， 解得：， ∴电流（安培）与电阻（欧姆）之间的表达式为． (2)∵中，，， ∴图像在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入,得电流的最大值， 把电阻最大值代入,得电流的最小值， ∴电流的变化范围是． 5.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可达到乙地. (1)甲、乙两地相距多少千米？ (2)如果汽车把速度提高到(千米／时)，那么从甲地到乙地所用时间(小时)将怎样变化？ (3)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从乙地到甲地，则此汽车的平均速度至少应是多少？ (4)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？ (5)若甲、乙两地限速为75千米/时，如果一辆汽车早上8点从甲地出发，什么时候回到甲地就说明该车有超速违规的行为？(路上的速度均保持不变，其余时间忽略不计) 解(1)：由题意可得甲、乙两地相距千米; (2)路程不变，当速度提高后所需时间将会减少，即； (3)：当时，则，故此汽车的平均速度至少 应是60千米/时； (4)当时，则,故从甲地到乙地最快需要 个小时； (5)：设小时返回甲地超速， ∴, ∴, ∴, ∴点前回到甲地就说明该车有超速违规的行为. 【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题. （八）课堂小结 【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握． （九）布置作业 P15页 练习1、2、3题 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$