【第二十三章 旋转 02讲 中心对称】【五大知识点+八大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十三章 旋转 02讲 中心对称 题型归纳 【题型1. 成中心对称】………………………………………………………………… 3 【题型2. 画中心对称图形】…………………………………………………………… 5 【题型3. 根据中心对称的性质求解】………………………………………………… 8 【题型4. 中心对称图形的识别】……………………………………………………… 10 【题型5. 判断中心对称图形的对称中心】…………………………………………… 11 【题型6. 方格纸中的中心对称图形】………………………………………………… 13 【题型7. 求关于原点对称的点的坐标】……………………………………………… 14 【题型8. 已知两点关于原点对称求参数】…………………………………………… 15 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 17 知识清单 知识点1 中心对称 1. 定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称. 2. 元素：这个点叫作对称中心（简称中心），如图，点O为对称点；这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点，如图，点A和点C是关于点O的对称点. 3.中心对称与轴对称的区别： 中心对称 对称中心只有一个点 图形绕对称中心旋转180° 旋转180°后和另一个图形重合 轴对称 对称轴至少有一条直线 图形沿对称轴折叠 折叠后与另一个图形重合 知识点2 中心对称的作图 1. 画图步骤：（1）确定已知图形和旋转中心； （2）选定关键点； （3）分别画出关键点的对称点； （4）依次连接各关键点的对称点，得出已知图形的中心对称图形. 例：如图23.2-5，选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 解：如图23.2-7，作出A，B，C三点关于点O的对称点A’，B’，C’，依次连接A’B’，B’C’，C’A’，就可以得到与△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 知识点3 中心对称的性质 1.性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 知识点4 中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它们的对称中心. 【提示】 ① 中心对称图形式是一个具有特殊特征的图形； ② 中心对称图形的对称中心一定在图形内； ③ 经过对称中心的任意一条直线将中心对称图形分成两个图形，这两个图形关于对称中心成中心对称； ④ 把中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形. 2.中心对称图形的性质：（1）对称点的连线被对称中心平分； （2）经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成全等的两部分. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系. ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 知识点5 关于原点对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（）关于原点的对称点为P’（）. 2.关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 题型专练 题型1. 成中心对称 【例1】（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（   ） A．形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称 B．关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等 C．关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上 D．关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 【变式1】（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 题型2. 画中心对称图形 【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向右平移3个单位长度，画出平移后的； (2)画出以原点O为对称中心与成中心对称的； (3)在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在方格图中． (1)作出将图中的向上平移6格后的； (2)以直线m为对称轴，作出的对称图形； (3)和关于点O成中心对称，在图中画出对称中心 【变式1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)作出先向上平移1格，再向左平移2格之后得到的；（点的对应点分别是点）； (2)作出关于原点对称的．（点的对应点分别是点） 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【变式3】（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与的顶点均在格点上，与关于点O成中心对称，请按要求完成下列各题． (1)在图中画出点O的位置． (2)以，为邻边构造平行四边形，请画出平行四边形； (3)通过观察发现可以通过平移得到，请你描述这种平移． 【变式4】（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O的中心对称图形； (2)求的面积． 题型3. 根据中心对称的性质求解 【例1】（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 【变式2】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，四边形与四边形关于点O成中心对称，，，求的度数和的长度． 【变式3】（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长 【变式4】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 【变式5】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积． 题型4. 中心对称图形的识别 【例1】（2025·山东青岛·中考真题）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）下列英文字母中，可以看成既是中心对称又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面四个选项是四类垃圾分类标志图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型5. 判断中心对称图形的对称中心 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【变式1】（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式3】（2024·山东青岛·一模）如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 题型6. 方格纸中的中心对称图形 【例1】（2025·江苏苏州·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【变式2】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C都是格点（网格线的交点）．若点D也在格点上，且由A，B，C，D组成的四边形是中心对称图形．则点D的位置有（） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式3】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有 种． 题型7. 求关于原点对称的点的坐标 【例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，点于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）在平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为，，则点P与点（  ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式2】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕点原点旋转得点，则此时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型8. 已知两点关于原点对称求参数 【例1】（2025·陕西·模拟预测）已知一次函数的图象与轴交于点，将该图象向左平移个单位长度后与轴交于点．若点和点关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 【例2】（2025·四川泸州·二模）已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东东营·期中）若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（    ） A．和3 B．2和3 C．2和 D．和 【变式2】（24-25九年级下·福建南平·期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若与点关于原点对称，则的值是（　　） A．12 B． C．64 D． 【变式4】（23-24八年级下·四川资阳·阶段练习）根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·浙江·三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（  ） A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）全球亚马逊云科技中国峰会于月日在上海世博中心召开，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 5．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）若点与关于原点对称，则在第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，点A关于原点的中心对称点是（   ） A．点P B．点Q C．点K D．点R 8．（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 9．（24-25八年级下·全国·期中）下列关于△ABC与△A'B'C'的几何变换中，配对正确的是（　　） Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移． A．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅳ B．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅲ C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅲ 10．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·辽宁葫芦岛·一模）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为 ． 12．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图是两位同学正在下棋的部分对弈图，若A棋子的位置用表示，B棋子的位置用表示，那么接下来的棋子■下在位置 处时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 13．（24-25七年级下·河南南阳·期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号） ①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 14．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图所示，直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，，则阴影部分面积之和为 ． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，是边上的中线，与关于点成中心对称．若，则线段的取值范围是 ． 16．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为 ． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ． 18．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 19．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F，G均在格点上，下列结论：①点D与点F关于点E中心对称；②连接，则平分；③连接，则点B，F到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是 ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，点的对应点分别为，请画出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)画出关于原点成中心对称的． 22．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． (1)请画出关于原点对称的图形，点、、的对应点分别为点、、； (2)将绕原点逆时针旋转，画出旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 23．（24-25八年级下·广东佛山·期末）仅用无刻度的直尺，在下面方格纸中画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)画出，使它与关于点成中心对称． 24．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知，如图，在中，． (1)作边上的中线（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)画，使和关于点成中心对称． (3)直接写出的中线的取值范围． 25．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与关于点O成中心对称．若，那么的长是多少？ 26．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 27．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，求的长； (2)连接，证明四边形是平行四边形 28．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）（1）分解因式； （2）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 29．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点和的顶点分别在格点上，直线经过格点． (1)与关于直线对称，使分别是的对称点，画出； (2)关于点的对称图形为，画出； (3)用无刻度的直尺画出的中线，保留画图痕迹． 30．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转 02讲 中心对称 题型归纳 【题型1. 成中心对称】………………………………………………………………… 3 【题型2. 画中心对称图形】…………………………………………………………… 7 【题型3. 根据中心对称的性质求解】………………………………………………… 13 【题型4. 中心对称图形的识别】……………………………………………………… 18 【题型5. 判断中心对称图形的对称中心】…………………………………………… 21 【题型6. 方格纸中的中心对称图形】………………………………………………… 24 【题型7. 求关于原点对称的点的坐标】……………………………………………… 28 【题型8. 已知两点关于原点对称求参数】…………………………………………… 31 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 35 知识清单 知识点1 中心对称 1. 定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称. 2. 元素：这个点叫作对称中心（简称中心），如图，点O为对称点；这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点，如图，点A和点C是关于点O的对称点. 3.中心对称与轴对称的区别： 中心对称 对称中心只有一个点 图形绕对称中心旋转180° 旋转180°后和另一个图形重合 轴对称 对称轴至少有一条直线 图形沿对称轴折叠 折叠后与另一个图形重合 知识点2 中心对称的作图 1. 画图步骤：（1）确定已知图形和旋转中心； （2）选定关键点； （3）分别画出关键点的对称点； （4）依次连接各关键点的对称点，得出已知图形的中心对称图形. 例：如图23.2-5，选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 解：如图23.2-7，作出A，B，C三点关于点O的对称点A’，B’，C’，依次连接A’B’，B’C’，C’A’，就可以得到与△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 知识点3 中心对称的性质 1.性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 知识点4 中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它们的对称中心. 【提示】 ① 中心对称图形式是一个具有特殊特征的图形； ② 中心对称图形的对称中心一定在图形内； ③ 经过对称中心的任意一条直线将中心对称图形分成两个图形，这两个图形关于对称中心成中心对称； ④ 把中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形. 2.中心对称图形的性质：（1）对称点的连线被对称中心平分； （2）经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成全等的两部分. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系. ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 知识点5 关于原点对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（）关于原点的对称点为P’（）. 2.关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 题型专练 题型1. 成中心对称 【例1】（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（   ） A．形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称 B．关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等 C．关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上 D．关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等 【分析】本题考查了中心对称，如果把一个图形绕着某个点旋转后与另一个图形可以完全重合，这两个图形关于这个点中心对称，解决本题的关键是根据中心对称的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如果两个图形关于某点成中心对称，这两个图形，不仅要形状大小完全相同，还要有特殊的位置关系，所以两个图形形状大小完全相同不一定成中心对称，故A选项错误； B选项：关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等，故B选项正确； C选项：关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上，故C选项正确； D选项：关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，故D选项正确． 故选：A ． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式4】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分． 利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意；故选：D． 题型2. 画中心对称图形 【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向右平移3个单位长度，画出平移后的； (2)画出以原点O为对称中心与成中心对称的； (3)在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移与中心对称，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质，作图即可； （2）根据中心对称，作图即可； （3）先在平面直角坐标系确定四边形为平行四边形时，点D的位置，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图 （2）作图如图 （3）如图，在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 故答案为：或． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在方格图中． (1)作出将图中的向上平移6格后的； (2)以直线m为对称轴，作出的对称图形； (3)和关于点O成中心对称，在图中画出对称中心 【分析】本题考查了图形的平移变换、轴对称变换以及中心对称图形中对称中心的确定，解题的关键是熟练掌握这三种图形变换的基本性质和作图方法。 （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）分别连接，，，相交于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，分别连接，，，相交于点O， 则点O即为所求． 【变式1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)作出先向上平移1格，再向左平移2格之后得到的；（点的对应点分别是点）； (2)作出关于原点对称的．（点的对应点分别是点） 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，与原点成中心对称图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【分析】本题考查了作图：轴对称变换及旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用关于直线m对称的点的坐标特征分别标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别标出、、，然后顺次连接即可； （3）根据轴对称的性质进行判断即可； （4）根据轴对称的性质进行判断并求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：与成轴对称，对称轴l如图所示； （4）解：与成中心对称，对称中心O如图所示． 【变式3】（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与的顶点均在格点上，与关于点O成中心对称，请按要求完成下列各题． (1)在图中画出点O的位置． (2)以，为邻边构造平行四边形，请画出平行四边形； (3)通过观察发现可以通过平移得到，请你描述这种平移． 【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、平行四边形． （1）连接，，，交点即为对称中心O； （2）根据平行四边形的性质作图即可； （3）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接，，，交于点O， 则点O即为所求． （2）解：如图，平行四边形即为所求； （3）解：向上平移5个单位得到． 【变式4】（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O的中心对称图形； (2)求的面积． 【分析】本题考查了作图-中心对称变换，利用网格求面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的性质描点，然后依次连接各点得到即可解题； （2）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积解答． 【详解】（1）解：即为所作； （2）解：． 题型3. 根据中心对称的性质求解 【例1】（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A. 【例2】（2025·江苏南京·一模）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求证：四边形是菱形． 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，与关于点成中心对称，已知，，则的周长为（　　） A．12 B．15 C．16 D．19 【分析】本题考查了中心对称． 根据中心对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，已知，， ∴，， ∴的周长， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，四边形与四边形关于点O成中心对称，，，求的度数和的长度． 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形关于点O成中心对称， ∴，． 【变式3】（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识，根据与关于C点成中心对称，得到是解答本题的关键．根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与关于C点成中心对称， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，． 即． 【变式4】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系及中心对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中心对称及全等三角形的性质即可解答； （2）根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称， ， 相等的线段有，，， 点为的中点； （2）解：， ， ，， ， 在中，， ， ． 【变式5】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积． 【分析】本题考查了中心对称的性质、矩形的性质，熟练掌握中心对称的性质、矩形的性质是解题的关键． 利用中心对称图形和矩形的性质得出，，且，进而计算求解即可． 【详解】解：∵矩形和矩形关于点D中心对称， ∴，，且， ∴， ∴． 题型4. 中心对称图形的识别 【例1】（2025·山东青岛·中考真题）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、找不到一点，使图形此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； B、找不到一点，使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； C、能找到一点（正方形的中心），使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故是中心对称图形； D、找不到一点，使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广东深圳·期末）下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意！故选B． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）下列英文字母中，可以看成既是中心对称又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握两者的判别方法是解题的关键．根据轴对称图形（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合）的概念综合判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式4】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面四个选项是四类垃圾分类标志图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：B． 题型5. 判断中心对称图形的对称中心 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 【变式1】（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中心对称的性质：中心对称图形的对应点的连线段被对称中心所平分；根据此性质，对应点的中点即为点E，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：由图知，，其中点坐标为， 即点E的坐标为； 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 【变式3】（2024·山东青岛·一模）如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义．分别连接图中的两对对应点，两直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，分别连接图中的两对对应点，对应点所在直线交于点， 对称中心的坐标为， 故选：A． 【变式4】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 题型6. 方格纸中的中心对称图形 【例1】（2025·江苏苏州·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 【变式1】（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 【变式2】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C都是格点（网格线的交点）．若点D也在格点上，且由A，B，C，D组成的四边形是中心对称图形．则点D的位置有（） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【分析】本题考查中心对称图形以及平行四边形、菱形的判定相关知识，解题关键是依据平行四边形和菱形的判定条件，利用网格特性构造图形来确定满足中心对称条件的点的位置． 明确中心对称图形中平行四边形和菱形符合要求，连接、，利用网格线平行特性，构造，，确定平行四边形对应的点．连接、，构造，，结合边长相等确定菱形对应的点，统计满足条件的点的个数． 【详解】解：如图所示： 连接、，根据平行四边形的判定条件，作，．在网格中，利用网格线平行的特性去寻找满足平行关系的格点．通过观察和利用网格线的平行与长度关系，可以确定一个满足条件的点，此时四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点． 如图所示： 连接、，作，．因为在网格中通过边长关系能发现，当满足平行关系构成平行四边形后，由于四条边相等，这个四边形是菱形．菱形也是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点．在网格中按照平行和边长相等的条件去寻找，又能确定一个不同于的点． 综上，通过这两种做法可以找到两个不同位置的点（即和）满足由，，，组成的四边形是中心对称图形， 故选：B． 【变式3】（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，      共有2个， 故选：B． 【变式4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有 种． 【分析】本题考查的是中心对称图形的含义，在平面内，把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义可得答案． 【详解】解：如图， ∴再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，只有1种涂法， 故答案为： 题型7. 求关于原点对称的点的坐标 【例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，原点的对称变换规则为：若原坐标为，则对称后的坐标为，即需将原坐标的横坐标和纵坐标均取相反数． 【详解】将代入规则，横坐标变为，纵坐标变为，因此的坐标为，对应选项B． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，点于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律．根据原点对称的性质，两个对称点的横纵坐标均互为相反数，直接应用即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）在平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为，，则点P与点（  ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【分析】该题考查了点的对称，关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点：横、纵坐标均互为相反数． 根据对称性的定义，分别判断点与点的坐标关系． 【详解】解：∵点与点的横坐标均为2，纵坐标与3互为相反数， ∴点P与点关于x轴对称， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征．根据原点对称的性质，两个对称点的横纵坐标均互为相反数，直接计算即可得出答案． 【详解】解：点关于原点对称时，其横坐标变为，纵坐标变为， ∴对称点的坐标为， 故选：C． 【变式3】（2025·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕点原点旋转得点，则此时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平面直角坐标系中中心对称点的坐标特征，根据题意，理解将点绕点原点旋转得点，就是说点与点关于原点对称，由关于原点对称的两个点的坐标特征求解即可得到答案．熟记关于原点对称的两个点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：将点绕点原点旋转得点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为， 故选：B． 【变式4】（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 题型8. 已知两点关于原点对称求参数 【例1】（2025·陕西·模拟预测）已知一次函数的图象与轴交于点，将该图象向左平移个单位长度后与轴交于点．若点和点关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的平移，关于原点对称的点的特点，掌握一次函数图象的性质是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移得到的坐标，再根据点关于原点对称点的特点列式求解即可． 【详解】解：一次函数， 当时，，则， 将该图象向左平移个单位长度后的解析为， 当时，，则， ∵点和点关于原点对称， ∴， 解得，， 故选：A ． 【例2】（2025·四川泸州·二模）已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，二次函数的图象性质，根据原点对称点的特征求出，，再利用顶点坐标的公式计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴， ∴顶点坐标是， 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·山东东营·期中）若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（    ） A．和3 B．2和3 C．2和 D．和 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称．点与点关于原点对称，则点与点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·福建南平·期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 则 故选C. 【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若与点关于原点对称，则的值是（　　） A．12 B． C．64 D． 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 【变式4】（23-24八年级下·四川资阳·阶段练习）根据下列各题中的条件，确定字母的值． (1)点与点关于x轴对称，求的值； (2)点与点关于原点对称，求的值； (3)点与点在平行于y轴的一条直线上，且点P在点Q的上面，点间的距离为4，求的值． 【分析】本题考查点的坐标，掌握各点的坐标特点是解题的关键． （1）利用关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （2）利用关于原点对称的点的横坐标相反数，纵坐标互为相反数，进行列式计算，解题即可； （3）结合平行于y轴的一条直线上，得到横坐标相同，进行列式，解得，因为点P在点Q的上面，点间的距离为4，故，进行解题即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于x轴对称， ∴ 解得； （2）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 整理得， 解得 把代入得， 解得， （3）解：∵点与点在平行于y轴的一条直线上， ∴ ∴ 解得， ∵点P在点Q的上面，点间的距离为4， ∴， ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·浙江·三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（  ） A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合是解题的关键． 根据中心对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）全球亚马逊云科技中国峰会于月日在上海世博中心召开，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，三角形中位线定理．根据中心对称图形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∵点M、N分别是的中点，的长度为， ∴， ∴． 故选：C 5．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图1，魔术师把4张扑克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，请一位观众把其中1张牌旋转．魔术师睁开眼睛后，看到4张牌如图2所示，则被旋转过的牌是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的概念及识别，根据旋转的性质且结合图1和图2的变化，找出中心对称图形，即可作答． 【详解】解：4张扑克牌中，只有方块6是中心对称图形， 观察图1和图2，它们都没有改变，因此被旋转过的牌是方块6， 故选：D 6．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）若点与关于原点对称，则在第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：对应点横、纵坐标均互为相反数；象限中点的坐标特征等知识，熟记关于原点对称的点的坐标特征、象限中点的坐标特征是解决问题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再由第三象限中点的坐标特征即可确定点所在的象限； 【详解】解：点与关于原点对称， ，则为， 的横、纵坐标均为负数， 点在第三象限， 故选：C． 7．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，点A关于原点的中心对称点是（   ） A．点P B．点Q C．点K D．点R 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：由图知A点的坐标为 ∴A关于原点的中心对称点，即K点． 故选：C． 8．（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再相加即可． 【详解】解：∵点和关于原点O对称， ∴点B的坐标为点A坐标的相反数，即， ∴，且， 解得：，， ∴． 故选：A． 9．（24-25八年级下·全国·期中）下列关于△ABC与△A'B'C'的几何变换中，配对正确的是（　　） Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移． A．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅳ B．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅲ C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅲ 【分析】本题主要考查了中心对称、轴对称、旋转的定义，熟练掌握这些几何变换的概念，准确观察图形特征是解题的关键．通过观察图形中与的位置关系，依据中心对称、轴对称、旋转的定义，判断每个图形对应的几何变换类型，进而确定正确配对． 【详解】解：对于①：图形绕着点旋转后能与自身重合，符合中心对称（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这里两个三角形关于点中心对称 ）的特征 ①对应的几何变换是中心对称（Ⅱ） 对于②：图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，符合轴对称（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 ）的特征 ②对应的几何变换是轴对称（Ⅰ） 对于③：图形是绕着某个点旋转一定角度得到的，符合旋转（在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转 ）的特征 ③对应的几何变换是旋转（Ⅲ） 对于④：图形是绕着点旋转一定角度得到的，符合旋转的特征 ④对应的几何变换是旋转（Ⅲ） 综上，① - Ⅱ，② - Ⅰ，③ - Ⅲ，④ - Ⅲ， 故选： ． 10．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质；利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点P的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：∵边长为2的等边在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， ∴与点P关于y轴对称， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， ∴与点关于原点对称， ∴． 再将绕点顺时针旋转，得到， 此时点落在x轴的负半轴上， ∴． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在x轴的正半轴上， ∴． 以此类推， 则， ∴与点P重合， ∴对应的点 (n大于1的整数)的坐标以为规律循环， ∵余3， ∴与的坐标相同， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．（2025·辽宁葫芦岛·一模）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为 ． 【分析】根据“关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数”可得，，求得，，进而可得的值．本题主要考查了平面直角坐标系中关于原点对称的两个点的坐标之间的关系．熟练掌握“关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得， ∴． 故答案为： 12．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图是两位同学正在下棋的部分对弈图，若A棋子的位置用表示，B棋子的位置用表示，那么接下来的棋子■下在位置 处时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解决问题的关键． 根据题意建立平面直角坐标系，根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系如图，当接下来的棋子■下在位置时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河南南阳·期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号） ①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称的定义，轴对称，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，能够与另一部分重合的图形；中心对称，一个图形围绕着某一个旋转180度能够与原来的图形重合；旋转图形，一个图形围绕着某一个点旋转任意角度能够与原来的图形重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：等边三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；一般的直角三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：③⑤ ． 14．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图所示，直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，，则阴影部分面积之和为 ． 【分析】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图， ∵直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：24． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，是边上的中线，与关于点成中心对称．若，则线段的取值范围是 ． 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的三边关系，根据成中心对称图形的性质，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】∵与关于点成中心对称， ，， 在中，，即， ． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为 ． 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据平行四边形的性质及点坐标，可求出点坐标，再由可求出点坐标．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，点为对角线的中点，是对角线， ∴点为的中点，即与相交于点， ∴点为的对称中心， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 又∵，且轴， 即点向左平移个单位得到点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ． 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． 18．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 【分析】本题考查了中心对称的性质和勾股定理等知识，熟知中心对称的性质是解题的关键； 根据中心对称的性质可得A、C、D三点共线，，，再利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴A、C、D三点共线，，， 则在直角三角形中，， ∴； 故答案为：2. 19．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F，G均在格点上，下列结论：①点D与点F关于点E中心对称；②连接，则平分；③连接，则点B，F到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ． 【分析】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．根据描述作图，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图，点D与点F关于点E中心对称，结论①正确； 如图， 由格点可知，， 是等腰三角形， 经过的中点， 平分； 结论②正确； 如图，点B，F到线段的距离分别为，， 由正方形的对角线互相垂直，可得点B，F到线段的距离分别为，， ， 结论③正确； 故答案为：①②③． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是 ． 【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ……， 以此类推可知，每6个点为一个循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，点的对应点分别为，请画出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)画出关于原点成中心对称的． 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）先由点的对应点的坐标为，得出平移规律，再根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示． （3）解：如图所示． 22．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上． (1)请画出关于原点对称的图形，点、、的对应点分别为点、、； (2)将绕原点逆时针旋转，画出旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 本题考查作图—旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 点的坐标为． 23．（24-25八年级下·广东佛山·期末）仅用无刻度的直尺，在下面方格纸中画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)画出，使它与关于点成中心对称． 【分析】本题考查作图−旋转变换、作图−平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由平移性质，将的三个顶点按照点到的平移发生进行，再连接三个顶点即可得到； （2）由旋转性质，将的三个顶点绕着点旋转，再连接三个顶点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求． 24．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知，如图，在中，． (1)作边上的中线（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)画，使和关于点成中心对称． (3)直接写出的中线的取值范围． 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系： （1）作边的垂直平分线，即可求解； （2）延长至点E，使，连接，即可求解； （3）由作法得：，，可证明，可得，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求； （2）解：如图，延长至点E，使，连接，则即为所求； （3）解：由作法得：，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 25．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与关于点O成中心对称．若，那么的长是多少？ 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质． 利用中心对称的性质求解即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ， ， ． 26．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 根据中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， ，． 27．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，求的长； (2)连接，证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出根据中心对称的性质得出； （2）先由得出，再利用“角角边”定理证明，得出，再结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解： ， ， 点O为平行四边形的对称中心． ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵． ∴四边形为平行四边形． 28．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）（1）分解因式； （2）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）根据和成中心对称，得，得到，于是得到，解答即可． 本题考查了因式分解，中心对称，中线与三角形的面积，熟练掌握因式分解，中心对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：和成中心对称，的面积为4， ， ， ． 29．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点和的顶点分别在格点上，直线经过格点． (1)与关于直线对称，使分别是的对称点，画出； (2)关于点的对称图形为，画出； (3)用无刻度的直尺画出的中线，保留画图痕迹． 【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，三角形中线，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）根据轴对称性质，画出关于直线l对称的三角形即可； （2）根据中心对称性质，画出关于点对称的三角形即可； （3）在网格中画出以为对角线的矩形的另一条对角线，连接点和两对角线的交点即可． 【详解】（1）解：如图，就是所画的图形． （2）如图，就是所画的图形． （3）如图，线段就是所画的图形． 30．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了中心对称图形的对称中心及正比例函数的解析式．坐标与图形，正方形的性质，正确找到各图形的对称中心是解题关键． 问题1：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线 问题2：直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，用待定系数法可得该直线的表达式为． 【详解】解：问题1：如图所示：直线将平行四边形的面积二等分．（答案不唯一） 作法：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线． 问题2：如图所示，直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 作法：不唯一，只要描述清晰，作图正确即可． 问题3：存在 如图所示：直线将图形的面积二等分． 作法：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，如图： 由图易知． 设直线的函数解析式为， 直线经过两点，代入得： 解得： ∴该直线的函数解析式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$