【第二十三章 旋转 01讲 图形的旋转】【三大知识点+15大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十三章 旋转 01讲 图形的旋转 题型归纳 【题型1. 生活中的旋转】……………………………………………………………… 3 【题型2. 旋转中心、旋转角、对应点】……………………………………………… 6 【题型3. 旋转的性质及辨析】………………………………………………………… 10 【题型4. 根据旋转的性质说明线段或角相等】……………………………………… 12 【题型5. 根据旋转的性质求解】……………………………………………………… 16 【题型6. 画旋转图形】………………………………………………………………… 21 【题型7. 求饶原点旋转90度的点的坐标】………………………………………… 27 【题型8. 求饶原点旋转一定角度的点的坐标】……………………………………… 34 【题型9. 求饶非原点旋转90度的点的坐标】……………………………………… 37 【题型10. 旋转和坐标中的规律性问题】……………………………………………… 42 【题型11. 坐标系中的旋转】…………………………………………………………… 49 【题型12. 旋转综合——线段问题】…………………………………………………… 54 【题型13. 旋转综合——面积问题】…………………………………………………… 62 【题型14. 旋转综合——角度问题】…………………………………………………… 70 【题型15. 旋转综合——其他问题】…………………………………………………… 78 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 87 知识清单 知识点1 旋转 1. 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转. 2. 旋转的元素：这一点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，图形上点P经过旋转变为点P’，这两点叫作这个旋转的对应点. 【提示】 ① 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； ② 每一点都饶旋转中心沿相同方向转动了相同的角度； ③ 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角. 知识点2 旋转的性质 1.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等. 【提示】 旋转中心的情况 判断哪点是旋转中心 在图形上 在旋转过程中位置没有改变的点 不在图形上 对应点所连线段垂直平分线的交点 【易错点】对于有公共顶点的两个图形，有时会将公共顶点误认为是旋转中心 知识点3 旋转作图 1.具体步骤为：（1）连：连接图形中每一个关键点与旋转中心； （2）转：把连线按要求饶旋转中心饶过一定角度（作旋转角）； （3）截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点； （4）连：连接所得到的各对应点； （5）写出结论，说明作出的图形. 题型专练 题型1. 生活中的旋转 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合,以及旋转对称图形的旋转特点进行判断．本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A、本选项不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，不符合题意； B、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意； C、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意． D、本选项是轴对称图形，也是旋转对称图形，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．以上选项都不对 【分析】本题考查平移、对称、旋转的区别，关键在于这项图形的大小不会发生变化． 根据图表观察，结合选项即可得到答案. 【详解】解：根据平移，旋转和轴对称的图形的大小不会发生改变，得到图形中开口向上的两个“E”之间，既不是平移，也不是旋转，也不是对称， 故选D 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出，故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定． 根据旋转的定义，判断各选项的运动类型． 【详解】解：A． 踢毽子：毽子运动轨迹为抛物线，整体以平移为主，虽有翻转但非绕固定点旋转，不符合题意． B． 钟摆的摆动：钟摆绕悬挂点做圆弧运动，符合绕固定点的旋转定义，符合题意． C． 气球升空：气球垂直上升，属于平移运动，无旋转，不符合题意． D． 传送带上的物体：物体随传送带水平移动，各点运动方向、距离相同，属于平移，不符合题意． 综上，只有选项B是旋转． 故选：B． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 【变式4】（23-24八年级下·全国·课后作业）2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，根据旋转只改变图形的方向不改变图形的形状和大小解答． 【详解】解：能通过旋转得到的是C选项图案． 故选：C． 题型2. 旋转中心、旋转角、对应点 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理，是解题的关键．根据平行线的性质求出，再根据，求出最小的旋转角即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴扇叶至少旋转． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是 ． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，先根据旋转的性质得到点A的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心． 【详解】解：作线段和的垂直平分线，它们的交点为， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【分析】本题考查旋转的性质，找到旋转中心、旋转角和旋转方向是解题的关键．观察图形，找到旋转中心、旋转角和旋转方向即可解题． 【详解】解：观察图形可知，旋转角为， ∴将绕点逆时针旋转后得到， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）在如图的方格纸中，小树从位置经过旋转平移后到位置，那么下列说法正确的是（   ） A．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 B．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 C．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 D．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 【分析】本题考查的是几何变换的旋转和平移，熟知图形旋转变换及平移变换的性质是解答此题的关键．先判断出的度数，再进行解答即可． 【详解】解：∵小树经过正方形的顶点、， ∴， ∴小树从位置经过旋转平移后到位置时应绕点逆时针旋转，再向右平移7格． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 【变式4】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 【变式5】（2025·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心．根据旋转的性质可知对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如下图所示， 连接，， 分别作，的垂直平分线， 两条垂直平分线交于点，点即为旋转中心， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． 题型3. 旋转的性质及辨析 【例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力． 根据平移和旋转的性质逐项求解判断即可． 【详解】解：选项A中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项B中图形通过平移可以得到，不符合题意． 选项C中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项D中图形通过旋转无法得到，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，依次分析可得答案． 【详解】解：由旋转知：，， 故选项A错误； 由旋转知， ∴是等腰直角三角形，， 故选项B正确； 由旋转知， ∴， 即， 故选项C错误； 由旋转的性质可得四边形四边形， ∴，无法得出， 故选项D错误； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转，所得图形一定能与原图形重合的是（   ） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，进而可得出答案． 【详解】解：根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形． 故选：D 题型4. 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例1】（24-25八年级下·山西运城·期末）一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法正确的是（    ） A．对应线段平行 B．对应线段相等 C．图形的形状发生变化 D．图形的大小发生变化 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移的性质，根据平移和旋转的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、平移后对应线段平行，旋转对应线段不一定平行，故本选项错误； B、无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确； C、无论平移还是旋转，图形的形状没有发生变化，故本选项错误； D、无论平移还是旋转，图形的大小没有发生变化，故本选项错误． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在等腰中，，把绕点旋转到的位置，连接、．求证：． 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，，推出，即可得出结论． 【详解】证明：∵绕点旋转到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角、平行线的性质．旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． (1)求的度数； (2)是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定， （1）根据旋转的性质及三角形内角和定理可得答案； （2）根据旋转的性质可知，再结合已知条件说明，然后根据等角对等边得出答案． 【详解】（1）解：根据旋转可得， ∴． （2）解：． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ，， ， 即， ． 【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义回答； （2）根据旋转的定义回答； （3）根据旋转的性质回答； （4）根据旋转的性质回答． 【详解】（1）旋转角是或，旋转中心是点O； （2）经过旋转，分别转到D、E、F的位置； （3）与长的关系，，与长的关系，； （4）与的关系：． 题型5. 根据旋转的性质求解 【例1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【分析】（1）根据旋转性质可得，，结合等边三角形的性质可证明即可得出结论； （2）过点作，，垂足分别为，，利用（1）中证得的全等得到； （3）利用面积相等求得，可证得，从而得到，则平分． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，    ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕着点逆时针旋转至，点落在点处． (1)请写出图中的一个旋转角； (2)若，，试求的度数； 【分析】本题考查的是旋转的性质，三角形的内角和定理的应用； （1）根据旋转的性质可得答案； （2）先求解，可得，再结合旋转的性质可得答案． 【详解】（1）解：由旋转角的定义可得：旋转角为：或 （2）解：， ， ， ， ． ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 【分析】本题考查了旋转的相关知识点． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出，，据此可求得； （2）根据旋转的性质得出． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴； 故答案为：A，； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 【分析】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵绕点A顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，将绕点顺时针旋转）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【分析】此题考查了旋转的性质，利用旋转的性质找到相等的边和角是关键． （1）根据旋转的性质得到，即可求出答案； （2）根据题意得到．由旋转的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：由旋转可知， ∴． （2）解：∵ ∴． 由旋转可知 ∴ ∴ 即旋转角为． 题型6. 画旋转图形 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． (1)在图①中，作出所给图形向下平移4格后的图形； (2)在图②中，虚线为对称轴，作出所给图形的轴对称图形； (3)在图③中，作出所给图形绕点O顺时针旋转后的图形． 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，作图-平移变换， （1）利用平移变换的性质分别作出各特征点的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作各特征点的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出各特征点的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解∶如图， ； （3）解∶如图， ． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将沿射线BA的方向平移线段BA的长度，画出平移后的（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应）； (2)将绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的（点A与点M对应，点C与点N对应）； (3)求点F与点M之间的距离． 【分析】本题考查作图旋转变换、勾股定理、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：由勾股定理得，， 点F与点M之间的距离为． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ，把绕点按顺时针方向旋转后得到．（每个方格的边长均为个单位） (1)画出的图象，并直接写出的坐标为 ． (2)判断直线与直线的位置关系为 ． 【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键． （1）按照旋转的定义作图即可，由图即可得坐标； （2）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论． 【详解】（1）解：如图，点坐标为 故答案为：； （2）解：∵把绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴直线与直线的位置关系为垂直． 故答案为：垂直． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题： (1)将向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转一定的角度，得到点的对应点的坐标为，请画出旋转后的． 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，熟练掌握平移作图和旋转作图的方法是解题的关键． （1）按照平移要求作出点的对应点，再顺次连接即可作图； （2）由点的坐标可得绕点顺时针旋转，再根据旋转的不变性作出旋转后的点，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出先向左平移5格，再向下平移6格后的图形，记作； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，记作；并写出点的坐标． 【分析】本题考查了作图：旋转变换、平移变换，坐标与图形，熟练掌握旋转以及平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出，由图即可得出的坐标． 【详解】（1）解：平移后，如图所示： （2）旋转后，如图所示： 由题意，及旋转后的图形知的坐标分别为： ． 【变式4】（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将以原点为旋转中心旋转得到，画出旋转后的． (2)平移，使点A的对应点坐标为，画出平移后的 【分析】（1）根据绕点O旋转，即关于点O中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特点，纵坐标，横坐标都变成各自的相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可． 本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为，画图如下： 则即为所求． （2）解：由，平移，使得点A的对应点的坐标为，即向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 故，画图如下： 则即为所求． 题型7. 求饶原点旋转90度的点的坐标 【例1】（2025·陕西·一模）如图，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴于点C ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：D． 【例2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． (1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)以点 O 为旋转中心将逆时针旋转，得到，请画出． 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，确定的位置，连线画出； （2）根据旋转的性质，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如上图，即为所求． 【变式1】（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，先根据平移方式确定点的位置，再根据旋转方式确定的位置，结合坐标系即可得到答案． 【详解】解：如图，和所在位置如下： ∴． 故选：C 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 当顺时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解； 当逆时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】 解：①当线段顺时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接， 点的坐标为， ， 由旋转可得：， ， ， 轴 在和中 点的坐标为 ②当线段逆时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接 点的坐标为， ， 由旋转可得： ，， 轴 在和中， 的坐标为 故选：B． 【变式3】（2025·湖北鄂州·一模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，旋转性质，先作出平面直角坐标系，根据旋转性质，得出，根据同角的余角相等，得出，得证，结合点，即可作答． 【详解】解：如图：过点P和分别作轴，作轴， 由点得，， 由旋转性质得， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴的坐标为， 故选：B． 【变式4】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)将向右平移个单位长度，得到，请画出该图形； (2)将绕坐标原点逆时针旋转，得到，画出图形，并直接写出点、的坐标． 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，并准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移的性质，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出，根据图形，写出点、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求，由图可知：，． 题型8. 求饶原点旋转一定角度的点的坐标 【例1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是过点作轴于，轴于，求得，，，根据旋转的性质得出，，解直角三角形求得，，从而求得，． 【详解】解：过点作轴于，轴于， 在等腰中，，， ，， ， ， 将绕原点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ，， 故选：B．    【变式1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．找到旋转的规律是解题的关键． 【详解】∵射线是第一象限的角平分线，， ∴， 由题意得：第一次旋转后点对应点的坐标为， 第二次旋转后点对应点的坐标为， 第三次旋转后点对应点的坐标为， 第四次旋转后点对应点的坐标为， 第五次旋转后点对应点的坐标为， 第六次旋转后点对应点的坐标为， 第七次旋转后点对应点的坐标为， 第八次旋转后点对应点的坐标为， ∴第八次旋转后与原来点B重合， ∴每8次一个循环， ， ∴第次旋转结束后，点对应点的坐标与第七次的坐标相同为． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为， 纵坐标为， 所以，点的坐标为． 故选：C． 【变式3】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【分析】利用中心对称的性质可知，点是的中点，再根据中点坐标公式可得点的坐标． 【详解】解：由题可知， 点是的中点， 又，， 所以：，． 得，． 即． 故选：． 【点睛】本题考查利用中心对称求点的坐标，发现点是的中点，并正确使用中点坐标公式是解题的关键． 题型9. 求饶非原点旋转90度的点的坐标 【例1】（2025·海南·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，先根据平移方式确定的坐标，再根据旋转方式确定的位置，结合坐标系即可得到答案． 【详解】解；如图所示，和所在位置如下： ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． (1)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．请写出的顶点坐标_________， __________； (2)绕点C顺时针旋转得到，则________， _______． 【分析】本题考查作图﹣平移变换，坐标与图形变化﹣旋转. （1）根据平移的性质做出图形，进而作答即可； （2）根据旋转的性质做出图形，进而作答即可． 【详解】（1）解：如图所示， 所以，， 故答案为：，； （2）解：如图所示， 所以，， 故答案为：，． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据题意可得和关于点P成中心对称，则点P分别为的中点，据此根据两点中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵将绕点P旋转，得到， ∴和关于点P成中心对称， ∴点P分别为的中点， ∵，， ∴，，， 故选：A． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，理解旋转的对应点到旋转中心的距离相等． 根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：连接，分别作两条线段的垂直平分线交于点P，如图所示： ∴点P即为旋转中心，坐标为， 故选：B 【变式3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：A的对应点的坐标为； 故选：D． 【变式4】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 【分析】坐标与图形变换—旋转和平移： （1）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （2）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：因为将绕点旋转可以得到， 所以旋转中心的坐标为． 故答案为： 题型10. 旋转和坐标中的规律性问题 【例1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，然后得到每旋转4次一个周期，由得到第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等，进而求解即可．掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 如图所示，设旋转中心为M，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到， ∴每旋转4次一个周期 ∵ ∴第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等 ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是 ． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题， 先求出各点的坐标，再根据规律解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为 ，第2025次旋转后钝角顶点坐标为 ． 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．过点B作轴于点T，于点H．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再探究规律，利用规律求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点T，于点H． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，，，，，，…， 发现每旋转3次循环，， ∴第2025次旋转后钝角顶点的横坐标为，纵坐标为0， ∴第2025次旋转后钝角顶点坐标为， 故答案为：，． 【变式4】（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是 ． 【分析】本题考查了旋转规律探究，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据题意得出规律为每旋转次后点回到初始位置，点的坐标与的坐标相等，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵将正方形绕点按顺时针方向依次旋转， ∴每旋转次后点回到初始位置， ∵ ∴点的坐标与的坐标相等， 如图，过点作轴的垂线，垂足为点， ∵ ∴ ∴，即点的坐标是 故答案为：． 【变式5】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ． 【分析】本题考查旋转与坐标规律，根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在x轴负半轴，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 题型11. 坐标系中的旋转 【例1】（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 【例2】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，点O为坐标原点．将绕点O逆时针旋转得到，请你在图中画出，并写出点A、B的对应点、的坐标． 【分析】本题主要考查了旋转的作图，先画出点A、B、C绕点逆时针旋转后的对应点，再依次连接即可，根据图形即可写出点、的坐标． 【详解】解：如图所示，即为所求； 由图可知，，． 【变式1】（2025·吉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据点A的坐标得到，，再结合旋转的性质求解即可． 【详解】解：在x轴上，，点A的坐标为， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，即， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点的坐标为，点在轴上． (1)点的坐标是 ，旋转角的度数为 ； (2)画出旋转后的； (3)线段的延长线与线段交于点，则的长为 ． 【分析】（1）线段的垂直平分线和轴的交点即为所求，进而求得，即可得出旋转角为； （2）根据要求作出图形； （3）根据旋转的性质，证明得出，进而根据等面积法求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，，则旋转角的度数为， 故答案为：，． （2）解：如图，即为所求作， （3）解：由旋转的性质可得，，， ∴ ∴，又， ∴， 则． 设交于点， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解． 【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），A，B，C的坐标为，， (1)将绕点O顺时针旋转，得到，画出（其中C的对应点为）； (2)在所给的网格图内将补成一个四边形，使得四边形为轴对称图形，画出四边形 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据轴对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：四边形即为所求． 题型12. 旋转综合——线段问题 【例1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问旋转多少秒时，射线、射线第一次互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，当射线、射线互相平行时，直接写出射线转动的时间． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，． （2）解：设旋转秒时，射线、射线第一次互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴旋转9秒时，射线、射线第一次互相垂直； （3）解：设射线转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①∵，， 当时，不符合题意； 当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 当时，不符合题意； 综上所述，射线转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 【变式3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型13. 旋转综合——面积问题 【例1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（   ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【分析】本题主要考查了图形的形状、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，过点作，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可知小亮和小丽的说法正确． 【详解】解：如下图所示，过点作，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 两个图形都是正方形， ， ， ， 点是正方形的中心， ， 在和中，， ， ， 重叠部分的面积没有发生变化， 故小天的说法错误； 点是正方形的中心， ， 重叠部分的面积是原正方形面积的， 故小亮的说法正确； 把割下来补到的位置，可以得到正方形， 故小丽的说法正确； 综上所述，小亮和小丽的说法都对，小天的说法错误． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点顺时针旋转后的； (3)在旋转到的过程中，则扫过的面积为______． 【分析】本题考查了几何图形的变换（对称、旋转）的性质，以及面积公式的应用，理解图轴对称、旋转的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质作图即可求解； （2）根据旋转变换的性质作出图形即可； （3）在旋转到的过程中，则扫过的面积为扇形的面积的面积，据此回答即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求， （2）如（1）所示，即为所作； （3）旋转到的过程中，，， ， 扫过的面积为：， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 【变式2】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 【分析】如图，连接，由点F是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵点F是的中点，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（ASA）， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为即是重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化． 【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积、解题的关键是熟知正方形的性质、三角形全等的性质、三角形面积的知识并会应用． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 题型14. 旋转综合——角度问题 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若， (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长度． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转的性质证明． （1）由旋转的性质得，，，根据等边三角形的判定定理即可求证． （2）由等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）是由旋转得到的， ， ，，， 是等边三角形 （2）是等边三角形， ， ， ， 在中，， 【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 【变式2】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等 腰三角形时，直接写出的度数． 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式3】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式4】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 题型15. 旋转综合——其他问题 【例1】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·河南濮阳·期中） 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系． (1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ； (2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系?请就图3 的情形进行证明； ②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）证明，即可作答； （2）①同理先证明，即有，，在和中，根据，，即有，则有，问题得解；②分两种情况：第一种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合在等腰中，，以及，即可作答． 【详解】（1）∵，    即， 在和中，，，， ∴ ∴； （2）①，， 证明：如图，交于点F，交于点M， ∵， ∴，    即， 在和中，，，， ∴ ∴，， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 因此，； ②如图， 当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，如图I所示， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴； 当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，如图II所示， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴； 故的度数为：或． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质． （1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证； （2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解； 掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又， ， ， 在和中 ， （）， ， 又， ． （2）解：如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，    ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时，    同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 【变式3】（2023·河北石家庄·二模）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转． (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 【分析】（Ⅰ）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，，可得结论． （Ⅱ）如图②中，过点作于．首先证明，推出，求出，可得结论． （Ⅲ）如图③中，当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于．    绕点顺时针旋转， ， ，， ，． （2）解：①证明：如图②中，过点作于．    ， ， ，， ； ②解：； ， 在中，， ，， ， ， ， ， ． （3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，．    过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ， ， ，，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转60°．得到三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数. 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2025·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以点为圆心，将线段逆时针旋转，使点落在轴的负半轴上点处，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】由两点距离计算公式可得，由旋转得，，进而可得点的坐标是． 本题考查坐标与图形变化—旋转，两点距离计算公式，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：点的坐标是， ． 由旋转得，， 点的坐标是． 故选：． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，将绕点C 顺时针旋转得到，若点A、D、E在同一直线上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由旋转得，，，则，再由三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（    ） A． B．2 C． D．4 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ∴，， 在中，， 故选：C． 6．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（   ） A． B． C． D． 【分析】由旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质即可求解． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∵， ∴， 故， 故选：C． 7．（2025·浙江·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，，的延长线分别交，于点，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可知，根据全等三角形的性质可得：，根据对顶角相等可得：，根据三角形内角和定理可证，所以可知． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 但是不能确定与是否相等， 故A选项错误； 由全等的性质可得：， 但是不能确定与是否相等， 故B选项错误； ， ， 又， 在和中， ，， ， 旋转角是， ， ， 故C选项正确； 点在上， 与相交， 故D选项错误． 故选：C． 8．（2025七年级上·山东·专题练习）将图形绕右端顶点顺时针旋转后得到的图形是（ ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握图形绕某点旋转时，旋转中心位置不变，图形上其余各点均绕该点按相同方向旋转相同角度．根据图形旋转的性质，选出图形绕右端顶点顺时针旋转后得到的图形即可． 【详解】 将图形绕右端顶点顺时针旋转后得到的图形是 故选B． 9．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、含角直角三角形的性质等知识，先求出，，由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周，得到经过次旋转后，点落在的位置，画出图形进行解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周．， 如图，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，经过次旋转后，点转到点D的位置，则，，过点D作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴点D的坐标是， 故选：A 10．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又，， ， ，故②正确； ，,， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③正确； 如图，延长交于点H， ，， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 二、填空题 11．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中,，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得，由，于是可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，然后利用进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与，分别交于点，．若旋转角为，则边与的夹角 为 度． 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，进而根据三角形内角定理，得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，旋转角为， ∴， 又∵ ∴ 即边与的夹角为度． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形即可求出答案． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标为，如图所示： ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ． 【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于与都是等腰直角三角形，由此可以得到与都是，如果经过旋转后能与重合，那么根据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上， ∴与都是， 而经过旋转后能与重合， 那么旋转中心为点B，旋转角为， ∴旋转角度为． 故答案为：B，． 15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，由六个等边三角形组成的正六边形绕点A至少旋转 °，能与自身重合． 【分析】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：∵由六个等边三角形组成的正六边形 ∴正六边形的圆心角为， ∴该六边形绕点A至少旋转后能与原来的图形重合． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ． 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可．熟练掌握旋转的性质，数形结合，是解题的关键． 【详解】解：由题意，作图如下： ∴当将线段绕点顺时针旋转至时，； 当将线段绕点逆时针旋转至时，； 故答案为：或． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为 ． 【分析】先证明，再证明，即可得，，即有为等腰直角三角形，即可得，问题随之得解． 【详解】解：根据旋转有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，   ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ． 【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合 进行求解即可． 【详解】解：连接，作于点，则， ∴，，， ∴， 将菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ∴，，， ，，， ， ∴，， 点在上，， ∴，， ， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 20．（2025·河南周口·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是 ． 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，旋转的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形等知识． 过作轴于点E，连接，根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段，即垂直平分线段，可得，根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上，再结合等边三角形的性质、旋转的性质即可作答． 【详解】解：过作轴于点E，如图，连接， 根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段， 即垂直平分线段， ∴， ∴根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上， ∵， ∴， ∴在等边中，，， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分线段，， ∴在等边中，， ∴， ∴根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴点A的对应点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网络中，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； (2)在（1）所画图形中，连接，则___________度，线段___________单位长度． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）由旋转的性质，找到点，的位置，再连接可得； （2）由旋转的性质推出，可得，再由勾股定理求解； 【详解】（1）作图如下： （2）如图2，连接， 由旋转的性质知，， ， 又， ． 22．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请你利用轴对称在图2中画出一个与图1位置不同且与成轴对称的格点． (3)请在图3中画出绕点顺时针旋转后得到的格点． 【分析】本题主要考查的是利用轴对称、旋转设计图案，掌握轴对称图形、旋转图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的概念可得其对称轴； （2）根据对称图形关于某直线对称，找出对称轴，对称轴确定，根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形； （）根据旋转图形性质，找出、绕点顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形； 【详解】（1）解：如图1所示，直线（对角线）即为所求． （2）解：如图2所示，即为所求． （3）解：如图3所示，即为所求． 23．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)平移，使其顶点平移到点，画出平移后的；（点、的对应点分别为点、） (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点是，得到，请画出，并写出的坐标． 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，坐标与图形，掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为． 24．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转和平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据全等三角形的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理可求出，等量代换可求出，根据三角形的内角和定理可求出，最后根据等腰直角三角形的定义判断即可； （3）根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 又，D，E三点在同一条直线上， ， ． （2）证明：， ， ， ， 即． 是等腰直角三角形； （3）解：答案不唯一，如：将先绕点D顺时针旋转与相同的度数，再向下平移与线段相同的长度，即可与完全重合． 25．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，绕点A顺时针旋转到的位置，，． (1)当时，______，______ (2)如果，求旋转角x的度数． 【分析】本题考查的是平行线的性质，旋转的性质； （1）根据旋转的性质可得答案； （2）由平行线的性质可得，再结合旋转的性质可得答案. 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转到的位置，，， ∴，； （2）解：当时，， ∴， ∵为旋转角x，， 故， ∴当时，旋转角是． 26．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，已知是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点A的对应点点C恰好在上，．求的度数． 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到，根据图形，由，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质得， ∴， 则， 解得． 27．（24-25七年级下·江苏常州·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在长方形中，，点E在边上，且． 【初步探究】 （1）如图2，连接，将长方形沿方向平移，得到长方形，连接，则四边形的面积是 ，与的数量关系是 ； 【拓展延伸】 （2）如图3，将长方形绕点E顺时针旋转，得到长方形． ①若旋转过程中，长方形与长方形重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C'（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角； ②若旋转过程中，边与边相交于点P，且，求的值． 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 对于（1），根据旋转的性质可知四边形的相关的量，再根据面积公式计算；然后证明，根据全等三角形的对应角相等得出答案； 对于（2）①，以点E为圆心，为半径画弧，使点C落在上，旋转角为，此时重叠部分是轴对称图形；以点E为圆心，为半径画弧，使点C落在上，旋转角为，此时重叠部分是轴对称图形； 对于②，（Ⅰ）根据长方形的性质得，即可求出答案； （Ⅱ）根据，可得，再根据长方形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：（1）根据平移的性质可得，且，四边形的高为4， ∴四边形的面积是； 连接， 根据平移的性质得， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：28，； （2）①①点C'位置正确，答案不唯一； ②（Ⅰ）∵在长方形中，， ∴． ∴． ∵在长方形中，， ∴，即． （Ⅱ）∵， ∴． ∵在长方形中，， ∴． ∵在长方形中，， ∴． ∴． ∴或310． 28．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）“感知”：如图①和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． “探究”：如图②将绕点逆时针旋转，连接和，此时．是否依然成立？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由． “应用”：如图③将绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接，若，，求线段的长． 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解题的关键． 探究：根据旋转的性质得出，然后利用证明即可； 应用：②利用勾股定理求出，可得的长，根据全等三角形的性质可得的长，求出，根据勾股定理可得答案． 【详解】探究：成立， 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转， ∴， 在与中，， ∴， ∴； 应用：∵在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同探究可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 30．（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【分析】本题考查含锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）根据锐角直角三角形的性质可得，，即可解答； （2） ①先证明，继而证明，即可解答； ②根据题意可得和是的中位线，则， 即可解答； （3）分类讨论：①当顺时针旋转时位于；②当△DEF顺时针旋转时位于，逐一分析，即可解答． 【详解】解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得： ， ． ∴四边形的周长为： ． (2)①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴， ∴， ∵， ∴根据平移的性质，， ∴四边形为平行四边形． ②根据题意可得和是的中位线，则， 由平行线四边形的性质，四边形的周长为： ． 故答案为：9． (3)如图， 当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于． ①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ． ， 为等边三角形，符合题意． ②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ∴为等腰三角形，符合题意． 故旋转角为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转 01讲 图形的旋转 题型归纳 【题型1. 生活中的旋转】……………………………………………………………… 3 【题型2. 旋转中心、旋转角、对应点】……………………………………………… 4 【题型3. 旋转的性质及辨析】………………………………………………………… 6 【题型4. 根据旋转的性质说明线段或角相等】……………………………………… 7 【题型5. 根据旋转的性质求解】……………………………………………………… 9 【题型6. 画旋转图形】………………………………………………………………… 11 【题型7. 求饶原点旋转90度的点的坐标】………………………………………… 14 【题型8. 求饶原点旋转一定角度的点的坐标】……………………………………… 15 【题型9. 求饶非原点旋转90度的点的坐标】……………………………………… 17 【题型10. 旋转和坐标中的规律性问题】……………………………………………… 19 【题型11. 坐标系中的旋转】…………………………………………………………… 21 【题型12. 旋转综合——线段问题】…………………………………………………… 23 【题型13. 旋转综合——面积问题】…………………………………………………… 25 【题型14. 旋转综合——角度问题】…………………………………………………… 27 【题型15. 旋转综合——其他问题】…………………………………………………… 29 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 32 知识清单 知识点1 旋转 1. 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转. 2. 旋转的元素：这一点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，图形上点P经过旋转变为点P’，这两点叫作这个旋转的对应点. 【提示】 ① 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； ② 每一点都饶旋转中心沿相同方向转动了相同的角度； ③ 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角. 知识点2 旋转的性质 1.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等. 【提示】 旋转中心的情况 判断哪点是旋转中心 在图形上 在旋转过程中位置没有改变的点 不在图形上 对应点所连线段垂直平分线的交点 【易错点】对于有公共顶点的两个图形，有时会将公共顶点误认为是旋转中心 知识点3 旋转作图 1.具体步骤为：（1）连：连接图形中每一个关键点与旋转中心； （2）转：把连线按要求饶旋转中心饶过一定角度（作旋转角）； （3）截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点； （4）连：连接所得到的各对应点； （5）写出结论，说明作出的图形. 题型专练 题型1. 生活中的旋转 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．以上选项都不对 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24八年级下·全国·课后作业）2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 题型2. 旋转中心、旋转角、对应点 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇叶至少旋转（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是 ． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【变式2】（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）在如图的方格纸中，小树从位置经过旋转平移后到位置，那么下列说法正确的是（   ） A．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 B．绕点逆时针旋转，再向右平移7格 C．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 D．绕点顺时针旋转，再向右平移7格 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式4】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式5】（2025·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 题型3. 旋转的性质及辨析 【例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【变式2】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转，所得图形一定能与原图形重合的是（   ） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 题型4. 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例1】（24-25八年级下·山西运城·期末）一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法正确的是（    ） A．对应线段平行 B．对应线段相等 C．图形的形状发生变化 D．图形的大小发生变化 【例2】（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在等腰中，，把绕点旋转到的位置，连接、．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 【变式2】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． (1)求的度数； (2)是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 题型5. 根据旋转的性质求解 【例1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕着点逆时针旋转至，点落在点处． (1)请写出图中的一个旋转角； (2)若，，试求的度数； 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，将绕点顺时针旋转）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 题型6. 画旋转图形 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． (1)在图①中，作出所给图形向下平移4格后的图形； (2)在图②中，虚线为对称轴，作出所给图形的轴对称图形； (3)在图③中，作出所给图形绕点O顺时针旋转后的图形． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将沿射线BA的方向平移线段BA的长度，画出平移后的（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应）； (2)将绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的（点A与点M对应，点C与点N对应）； (3)求点F与点M之间的距离． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ，把绕点按顺时针方向旋转后得到．（每个方格的边长均为个单位） (1)画出的图象，并直接写出的坐标为 ． (2)判断直线与直线的位置关系为 ． 【变式2】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题： (1)将向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转一定的角度，得到点的对应点的坐标为，请画出旋转后的． 【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是． (1)画出先向左平移5格，再向下平移6格后的图形，记作； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，记作；并写出点的坐标． 【变式4】（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将以原点为旋转中心旋转得到，画出旋转后的． (2)平移，使点A的对应点坐标为，画出平移后的 题型7. 求饶原点旋转90度的点的坐标 【例1】（2025·陕西·一模）如图，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． (1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)以点 O 为旋转中心将逆时针旋转，得到，请画出． 【变式1】（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式3】（2025·湖北鄂州·一模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)将向右平移个单位长度，得到，请画出该图形； (2)将绕坐标原点逆时针旋转，得到，画出图形，并直接写出点、的坐标． 题型8. 求饶原点旋转一定角度的点的坐标 【例1】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　）    A． B． C． D． 题型9. 求饶非原点旋转90度的点的坐标 【例1】（2025·海南·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． (1)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．请写出的顶点坐标_________， __________； (2)绕点C顺时针旋转得到，则________， _______． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的； (2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________． 题型10. 旋转和坐标中的规律性问题 【例1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是 ． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（   ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【变式3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为 ，第2025次旋转后钝角顶点坐标为 ． 【变式4】（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是 ． 【变式5】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ．    题型11. 坐标系中的旋转 【例1】（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，点O为坐标原点．将绕点O逆时针旋转得到，请你在图中画出，并写出点A、B的对应点、的坐标． 【变式1】（2025·吉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，，将绕点逆时针方向旋转得到，点的对应点的坐标为，点在轴上． (1)点的坐标是 ，旋转角的度数为 ； (2)画出旋转后的； (3)线段的延长线与线段交于点，则的长为 ． 【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），A，B，C的坐标为，， (1)将绕点O顺时针旋转，得到，画出（其中C的对应点为）； (2)在所给的网格图内将补成一个四边形，使得四边形为轴对称图形，画出四边形 题型12. 旋转综合——线段问题 【例1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【变式1】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问旋转多少秒时，射线、射线第一次互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，当射线、射线互相平行时，直接写出射线转动的时间． 【变式3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 题型13. 旋转综合——面积问题 【例1】（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（   ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【例2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点顺时针旋转后的； (3)在旋转到的过程中，则扫过的面积为______． 【变式1】（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 题型14. 旋转综合——角度问题 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若， (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长度． 【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等 腰三角形时，直接写出的度数． 【变式3】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【变式4】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 题型15. 旋转综合——其他问题 【例1】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【变式1】（23-24八年级上·河南濮阳·期中） 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系． (1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ； (2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系?请就图3 的情形进行证明； ②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形． (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【变式3】（2023·河北石家庄·二模）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转． (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转60°．得到三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以点为圆心，将线段逆时针旋转，使点落在轴的负半轴上点处，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，将绕点C 顺时针旋转得到，若点A、D、E在同一直线上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（    ） A． B．2 C． D．4 6．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，，的延长线分别交，于点，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（2025七年级上·山东·专题练习）将图形绕右端顶点顺时针旋转后得到的图形是（ ）． A． B． C． D． 9．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 二、填空题 11．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中,，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ． 12．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转后到达的位置，设与，分别交于点，．若旋转角为，则边与的夹角 为 度． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为 ． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ． 15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，由六个等边三角形组成的正六边形绕点A至少旋转 °，能与自身重合． 16．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ． 17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为 ． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ． 19．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 20．（2025·河南周口·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是 ． 三、解答题 21．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网络中，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； (2)在（1）所画图形中，连接，则___________度，线段___________单位长度． 22．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请你利用轴对称在图2中画出一个与图1位置不同且与成轴对称的格点． (3)请在图3中画出绕点顺时针旋转后得到的格点． 23．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)平移，使其顶点平移到点，画出平移后的；（点、的对应点分别为点、） (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点是，得到，请画出，并写出的坐标． 24．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 25．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，绕点A顺时针旋转到的位置，，． (1)当时，______，______ (2)如果，求旋转角x的度数． 26．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，已知是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点A的对应点点C恰好在上，．求的度数． 27．（24-25七年级下·江苏常州·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在长方形中，，点E在边上，且． 【初步探究】 （1）如图2，连接，将长方形沿方向平移，得到长方形，连接，则四边形的面积是 ，与的数量关系是 ； 【拓展延伸】 （2）如图3，将长方形绕点E顺时针旋转，得到长方形． ①若旋转过程中，长方形与长方形重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C'（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角； ②若旋转过程中，边与边相交于点P，且，求的值． 28．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）“感知”：如图①和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． “探究”：如图②将绕点逆时针旋转，连接和，此时．是否依然成立？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由． “应用”：如图③将绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接，若，，求线段的长． 29．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 30．（24-25八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$