5. 4. 2 第一课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，通过自主学习任务单引导课前预习，梳理周期函数定义、最小正周期及正余弦函数性质，搭建从概念理解到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“明确目标—自主预习—师生共研—强化检测”为主线，发展逻辑推理、数学抽象与数学运算素养。预习单中定义填空及提示点助力学生抽象数学概念，师生共研深化理解，既提升学生用数学思维思考的能力，也为教师提供结构化教学支持。

5. 4. 2　正弦函数、余弦函数的性质 第一课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 明确目标 发展素养 1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义 2.会求正弦函数、余弦函数的周期，并会应用 3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 1.通过理解函数的周期性，培养逻辑推理和数学抽象素养 2.通过奇偶性的应用，提升数学运算素养 知识点　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 (一)教材梳理填空 1．函数的周期性： (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数． __________叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_____，那么这个最小_____就叫做f(x)的____________． 非零常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 正数 正数 最小正周期 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性： 奇函数 2π 偶函数 提示：(1)并不是每一个函数都是周期函数． (2)若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． 答案：BD　 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π _____ 奇偶性 _______ _______ [微思考]　(1)所有的函数都具有周期性吗？ (2)周期函数的周期是唯一的吗？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期． (　　) (2)所有的周期函数都有最小正周期． (　　) (3)函数y＝是奇函数． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝2cos是 (　　) A．周期为π的奇函数　 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析：y＝2cos＝－2sin 2x，它是周期为π的奇函数． 答案：A　 解析：因为函数f(x)是周期为3的周期函数， 所以f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝2 021. 答案：2 021 3．函数y＝3sin x＋5的最小正周期是________． 解析：设f(x)＝3sin x＋5，x∈R. 因为f(x＋2π)＝3sin(x＋2π)＋5＝3sin x＋5＝f(x)，所以y＝3sin x＋5的最小正周期是2π. 答案：2π 4．若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝2 021，则f(2)＝________. 题型一　三角函数的周期　 【学透用活】 1．对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． 2．对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明 (1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π. (2)余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π. [典例1]　求下列函数的周期： (1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝|sin x|. [解]　(1)∵f(x)＝cos＝cos ＝cos＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)， ∴函数f(x)＝cos的最小正周期T＝π. (2)∵f(x)＝|sin x|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的最小正周期为π. 求三角函数最小正周期的常用方法 (1)公式法：将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得． (2)定义法：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么非零常数T叫做这个函数的周期． (3)图象法：利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期． 提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.　　 【对点练清】 求下列函数的周期： (1)y＝sin，x∈R； (2)y＝|cos x|，x∈R. 解：(1)因为sin＝sinx＋2π－＝sin，所以由周期函数的定义知，y＝sin的周期为12π. (2)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示， 由图象可知，y＝|cos x|的周期为π. 题型二　正弦函数、余弦函数的奇偶性　 【学透用活】 正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称． (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． [典例2]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin x＋tan x； (2)f(x)＝sin； (3)f(x)＝. [解]　(1)定义域为，关于原点对称．因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以函数y＝sin x＋tan x是奇函数． (2)f(x)＝sin＝－cos，x∈R. 又f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)， 所以函数f(x)＝sin是偶函数． (3)由1＋sin x≠0解得x≠2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)＝的定义域为 ，显然定义域不关于原点对称． 故函数f(x)＝是非奇非偶函数． 判断函数奇偶性的思路 提醒：判断函数奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．　　 【对点练清】 1．(多选)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是 (　　) A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数 B．存在φ，使f(x)是奇函数 C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数 D．不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数 解析：当φ＝π时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sin x，是奇函数． 当φ＝时，f(x)＝sin＝cos x，是偶函数． 所以A、C错误，B正确． 无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数，故D正确． 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝sin xcos x； (3)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)． 解：(1)显然x∈R，f(x)＝cosx， ∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)函数的定义域为R，关于原点对称． ∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，∴f(x)＝sin xcos x为奇函数． (3)由得－1＜sin x＜1， 解得定义域为， ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 题型三　三角函数的奇偶性与周期的综合应用　 [探究发现] (1)你能举例说明怎样的三角函数具有奇偶性吗？ 提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcos x等．偶函数有y＝cos 2x＋1，y＝3cos 5x，y＝sin x·sin 2x等． (2)若函数y＝f(x)是周期T＝4的周期函数，也是奇函数，则f(8)的值是多少？ 提示：f(8)＝f(0＋4×2)＝f(0)＝0.　　　 【学透用活】 [典例3]　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是 (　　) A．y＝cos|2x|　　　 B．y＝|sin 2x| C．y＝sin D．y＝cos (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于 (　　) A．－　　 B. C．－　　　 D. [解析]　(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π. (2)f＝f＝f ＝f＝f＝f＝sin＝. [答案]　(1)D　(2)D 与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．　　 【对点练清】 1．[变条件]若本例(2)中条件变为“函数f(x)为偶函数且f＝－f(x)，f＝1”，则f的值为________． 解析：∵f＝－f(x)，∴f(x＋π)＝f(x)，即T＝π， ∴f＝f＝f＝f＝1. 答案：1 2．[变条件]若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？ 解：f＝f＝f ＝－f＝－sin＝－1. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．王明解答“利用定义求f(x)＝sin的最小正周期”的过程如下： 解：令z＝2x－，∵x∈R，∴z∈R. 又∵y＝sin z的周期是2π， z＋2π＝＋2π＝2(x＋π)－， ∴f(x＋2π)＝sin ＝sin＝sin＝f(x)． ∴T＝2π. 分析以上解题过程是否正确．若不正确，请分析原因，并写出正确的解题过程． 提示：错误．错解中求的是函数的周期而不是最小正周期，对于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，其最小正周期为. 正解如下： 令z＝2x－，∵x∈R，∴z∈R. 又∵y＝sin z的周期是2π， z＋2π＝＋2π＝2(x＋π)－， ∴f(x＋π)＝sin ＝sin＝sin＝f(x)． ∴T＝π. 二、应用性——强调学以致用 2．若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位：cm)与 时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示． (1)求该函数的周期； (2)求t＝10.5 s时该弹簧振子相对平衡位置的位移． 解：(1)设函数的周期为T, 利用周期的定义知＝3.5－1.5， 所以函数的周期T＝4 s. (2)由(1)知函数的周期为4 s， 可知f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm)． 故t＝10.5 s时该弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm. 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．已知f(x)＝sinx. (1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)； (2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)的值． 解：(1)证明：f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝＋1＋＋0＋＋(－1)＋＋0＝0， f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＝0. 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)． (2)由(1)可知，从第一项开始，每8项的和为0， 又因为2 022＝252×8＋6， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝252×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝＋1＋＋0＋＋(－1)＝. $$