1.4.2充要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件 学习目标 1.理解充要条件的含义 3.能够提升数学抽象素养，解决问题的能力 2.能够判断充要条件，进行充要条件的证明 判断以下两个命题是什么关系？并判断“两个三角形三边成比例”是“两个三角形相似”的什么条件？ （1）若两个三角形三边成比例，则这两个三角形相似. （2）若两个三角形相似，则这两个三角形三边成比例. “两个三角形三边成比例”是“两个三角形相似”的充分必要条件. 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 充分条件 必要条件 那么一般地，我们应该怎么定义充分必要条件？ （1）与（2）互为逆命题. 将命题“若𝑝，则𝑞”的条件与结论互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 思考：下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题？P是q的什么条件？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等, 则这两个三角形的周长相等； （3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根, 则ac<0； （4）若AUB是空集,则A与B均是空集. 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 在上述命题中，命题(1) 、(4)和它们的逆命题是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3) 是假命题，但它的逆命题是真命题. 充分必要条件 充分必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 如果“若𝑝, 则𝑞”和它的逆命题“若𝑞,则𝑝”均是真命题,即既有𝑝⇒𝑞,又有𝑞⇒𝑝,就记作 𝑝⇔𝑞 此时, 𝑝既是𝑞的充分条件, 也是𝑞的必要条件,我们说𝑝是𝑞的充分必要条件,简称为充要条件. 如果𝑝是𝑞的充要条件，那么q也是p的充分必要条件,𝑝与𝑞互为充要条件. 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 如果“若p,则q”为真，其逆命题为假， 即 pq,qp ,则称：p是q的充分不必要条件． 如果“若p,则q”为假，其逆命题为真， 若pq,qp,则称：p是q的必要不充分条件． 如果“若p,则q”为假，其逆命题为假， 若pq,qp,则称：p是q的既不充分也不必要条件． 如果“若p,则q”为真，其逆命题为真， 若pq,qp,则称：p与q互为充要条件． 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 6 思考： “四边形是平行四边形”的充要条件有哪些？ 四边形的两组对角分别相等；四边形的两组对边分别相等； 四边形一组对边平行且相等；四边形的对角线互相平分； 四边形的两组对边分别平行. 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 以上充要条件从不同角度刻画“平行四边形”这个概念，据此可以给出平行四边形其他定义形式，例如： 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形. 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形. 这些定义是互相等价的. 对于一种几何图形或几种图形间的关系，可以通过充要条件给出它的等价定义. 7 例1.下列各题中， 𝒑 是 𝒒 的什么条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；(3) 𝑝: 𝑥𝑦>0, 𝑞: 𝑥>0, 𝑦>0; (4) 𝑝: 𝑥=1是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根,𝑞: 𝑎+𝑏+𝑐=0 (𝑎≠0). 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 解：(1) 因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形,所以𝑝𝑞，𝑞𝑝,所以𝑝是𝑞的充分不必要条件. (2) 因为“若𝑝, 则𝑞”是相似三角形的性质定理,“若𝑞, 则𝑝”是相似三角形的判定定理,所以它们均为真命题, 即𝑝⇔𝑞, 所以𝑝是𝑞的充要条件. 题型一.判断命题中p是q的什么条件 例1.下列各题中，哪些 𝒑 是 𝒒 的充要条件？ (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；(3) 𝑝: 𝑥𝑦>0, 𝑞: 𝑥>0, 𝑦>0; (4) 𝑝: 𝑥=1是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个根,𝑞: 𝑎+𝑏+𝑐=0 (𝑎≠0). 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 题型一.判断命题中p是 q的什么条件 (3)因为 𝑥𝑦>0时 𝑥>0, 𝑦>0不一定成立，所以𝑝𝑞,𝑞𝑝,所以𝑝是𝑞的必要不充分条件. (4) 因为“若𝑝, 则𝑞”与“若𝑞, 则𝑝”均为真命题, 即𝑝⇔𝑞, 所以𝑝是𝑞的充要条件. 变式1：下列命题中为真命题的是（ ）． A．“ x>4”是“x>5 ”的必要不充分条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形三边相等”的必要不充分条件 C．“关于x的方程 ax2+bx+c=0有实数根”的充要条件是“ ” D．若集合 ，则“x ”是“x ”的充分不必要条件 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 pq,qp ,则p是q的充分不必要条件． pq,qp,则p是q的必要不充分条件． pq,qp,则p是q的既不充分也不必要条件． pq,qp,则p与q互为充要条件． 题型一.判断命题中p是q的什么条件 10 例2. 已知：⊙𝑂的半径为𝑟, 圆心𝑂到直线𝑙的距离为𝑑. 求证：𝑑=𝑟是直线𝑙与⊙𝑂相切的充要条件. 分析：设𝑝: 𝑑=𝑟, 𝑞: 直线𝑙与⊙𝑂相切. 要证𝑝 是𝑞 的充要条件,  只需分别证明充分性(𝑝⇒𝑞)和必要性(𝑞⇒𝑝)即可 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 题型二.证明命题中p是q的充要条件 如图，作OP垂直l于点P，则OP=d.若d=r,则点P在⊙𝑂上。在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在Rt OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在⊙𝑂 的外部，即直线l与⊙𝑂 仅有一个公共点P.所以直线l与⊙𝑂 相切. 证明：设𝑝: 𝑑=𝑟, 𝑞: 直线𝑙与⊙𝑂相切. (1）充分性（pq）: (2) 必要性(𝑞⇒𝑝):若直线𝑙与⊙𝑂 相切,不妨设切点为𝑃,则𝑂𝑃⊥𝑙. 因此𝑑=𝑂𝑃=𝑟. 由(1)(2)可得,𝑑=𝑟是直线𝑙与⊙𝑂相切的充要条件. 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 题型二.证明命题中p是q的充要条件 充要条件的证明思路：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． 例3.已知p：{x|x2－5x+6≤0}，q：{x|－m≤x≤4＋m}，且p是q的必要不充分条件，则实数m的解集为 . 解：由x2－5x+6≤0，得2≤x≤3，因为p是q的必要不充分条件，所以p q且qp，所以{x|－m≤x≤4＋m} {x|2≤x≤3} ， 所以{x|－m≤x≤4＋m}=时，－m>4＋m，m<－2； 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 题型三.求参问题 {m|m ≤ － 2} -m m+4 {x|－m≤x≤4＋m} 时， m≥－2且－m≥2且4＋m≤3, 综上所述，{m|m ≤ － 2}. 2 x 3 4 13 例4.已知p：{x|x2－5x+6≤0}，q：{a,b}，且p是q的充要条件，则实数a+b的值为 . 解：由x2－5x+6≤0，得2≤x≤3， 所以{x|x2－5x+6≤0}={2，3}， 所以a+b=5. 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 题型三.求参问题 因为p是q的充要条件，所以p⇒q且qp，所以{2,3}={a,b} ， 5 变式2.已知p：{x|x2－5x+6≤0}，q：{x|－m≤x≤4＋m}，且p是q的充分不必要条件，则实数m的解集为 . 解：由x2－5x+6≤0，得2≤x≤3，因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp，所以{x|2≤x≤3} {x|－m≤x≤4＋m} ， 所以－m <4＋m 且－m ≤ 2且4＋m≥3, 解得{m|m≥ － 1}. 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 题型三.求参问题 {m|m≥ － 1} -m m+4 2 x 3 充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件求参问题中的集合思想： 记p：xA,A＝{x|p(x)}，q： xB,B＝{x|q(x)}， 若p是q的充分不必要条件，； 若p是q的必要不充分条件，B； 若p与q互为充要条件,A=B， 再根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 导入新课 课堂检测 课堂小结 作业布置 典例分析 探索新知 16 充要条件 1. 下列各题中, 𝑝是𝑞 的什么条件? (1) 𝑝:三角形为等边三角形, 𝑞: 三角形存在三边相等; (2) 𝑝:⊙𝑂内两条弦相等, 𝑞:⊙𝑂内两条弦所对的圆周角相等; (3) 𝑝: 𝐴∩𝐵为空集, 𝑞: 𝐴与𝐵之一为空集; (4) 𝑝: 𝐴, 𝑞: 𝐴𝐵. 必要不充分条件 必要不充分条件 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 充分不必要条件 2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件． “两个三角形全等”的充要条件： “这两个三角形的三边分别相等” “这两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” “这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” “这两个三角形的两角和其中一角的对边分别相等” 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件． “两个三角形相似”的充要条件： “这两个三角形的三边成比例” “这两个三角形的两边成比例且夹角相等” “这两个三角形的两角分别相等”. 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 3. 证明：如图,梯形𝐴𝐵𝐶𝐷为等腰梯形的充要条件为𝐴𝐶=𝐵𝐷. F E D C B A 证明：过A,D分别作直线BC的垂线，垂足分别为E,F,因为AD//BC,所以AE=DF. 充分性：在AEC与DFB中, 故AECDFB. 于是CE=BF，从而BE=CF，在ABE与中， 故ABEDFC,于是AB=DC, 梯形ABCD为等腰梯形. 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 必要性：梯形ABCD为等腰梯形,故AB=DC, 中ABE与中， 故ABEDFC,从而 F E D C B A 在ABC与DCB中, BC为公共边，故ABCDCB,因此AC=BD. 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 4.已知p:x,A={x|2<x}，q:x, B={x|2-𝒂<x<𝒂+4}，p是q的必要不充分条件，求𝒂的取值范围． 导入新课 典例分析 作业布置 探索新知 课堂检测 课堂小结 解：因为p是q的必要不充分条件，所以BA, 3 2 6 x 5 4 2-𝒂 𝒂+4 当B=时，2-+4,-1 当B时,, -1 如果“若𝑝, 则𝑞”和它的逆命题“若𝑞,则𝑝”均是真命题,即既有𝑝⇒𝑞,又有𝑞⇒𝑝,就记作 𝑝⇔𝑞 此时, 𝑝既是𝑞的充分条件, 也是𝑞的必要条件,我们说𝑝是𝑞的充分必要条件,简称为充要条件. 如果𝑝是𝑞的充要条件，那么q也是p的充要条件,𝑝与𝑞互为充要条件. 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 充要条件的定义： 2.完成课本习题1.4第3、4、5、6题 1.作业本： 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 导入新课 典例分析 课堂检测 课堂小结 作业布置 探索新知 谢谢观看 $$