核心微练83-84-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

微练(八十三)　随机事件、古典概型 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是 (A) A.3个都是白球 B.3个都是红球 C.至少1个红球 D.至多2个白球 解析　从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球,不可能发生.故选A. 2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则(C) A.A⊆B B.A=B C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3 解析　由题意,可知A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 3.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=(A) A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8 解析　因为随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,所以P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,所以P()=1-P(A)=1-0.5=0.5.故选A. 4.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A+发生的概率为(C) A. B. C. D. 解析　抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果,依题意P(A)==,P(B)==,所以P()=1-P(B)=1-=.因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥.从而P(A+)=P(A)+P()=+=.故选C. 5.(2024·郑州调研)盒子中有9个大小质地完全相同的小球,其中3个红球,6个黑球,从中依次随机摸出3个小球,则第三次摸到红球的概率为(C) A. B. C. D. 解析　从9个大小质地完全相同的小球中依次随机摸出3个小球,共有9×8×7种等可能的结果.设事件A=“第三次摸到红球”,则事件A包含的可能结果有3×8×7种,所以P(A)==.故选C. 6.某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为(C) A. B. C. D. 解析　由题意得,没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师有120-85-14=21人,则公司共有高级工程师75+21=96(人),故被选中的员工是高级工程师的概率为=.故选C. 7.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为(A) A. B. C. D. 解析　根据题意,将一个骰子连续抛掷三次,每次都有6种情况,则共有63=216(种)情况,它落地时向上的点数能组成等差数列,分两种情况讨论: ①若落地时向上的点数不同,则为1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6,共有6种可能,每种可能的点数顺序可以颠倒,即有=6(种)情况,共有6×6=36(种)情况; ②若落地时向上的点数全相同,有6种情况,所以共有36+6=42(种)情况,则落地时向上的点数能组成等差数列的概率为=.故选A. 二、多项选择题 8.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球,从中取出2个球,事件A=“取出的2个球同色”,事件B=“取出的2个球中至少有1个黄球”,事件C=“取出的2个球中至少有1个白球”,事件D=“取出的2个球不同色”,E=“取出的2个球中至多有1个白球”.下列判断中错误的是 (ABD) A.P(A+B)=P(A)+P(B) B.P(C)+P(D)=1 C.P(C+E)=1 D.P(B)=P(C) 解析　依题意,得P(A)==,P(B)=1-=,P(A)+P(B)=>1,而P(A+B)≤1,A中判断错误;P(C)=1-=,P(D)=1-P(A)=,P(C)+P(D)>1,B中判断错误;C+E是必然事件,因此P(C+E)=1,C中判断正确;P(B)=,P(C)=,则P(B)≠P(C),D中判断错误.故选ABD. 9.(2025·广东模拟)中国的五岳是指在中国境内的五座名山,坐落于东西南北中五个方位,分别是东岳泰山,西岳华山,南岳衡山,北岳恒山,中岳嵩山,甲、乙、丙三人计划在假期出游,每人选一个地方,则(BC) A.恰有2人选同一个地方的方法总数为20 B.恰有2人选同一个地方的方法总数为60 C.恰有1人选泰山的概率是 D.恰有1人选泰山的概率是 解析　由题意,恰有2人选同一个地方的方法总数为=60,故A错误,B正确;又由3个人随机选5个地方,样本点的总数为53=125,其中恰有1人选泰山含样本点数(+)=48,所以恰有1人选泰山的概率P=,所以C正确,D错误,故选BC. 三、填空题 10.(2024·上海高考)某校举办科学竞技比赛,有A,B,C3种题库,A题库有5 000道题,B题库有4 000道题,C题库有3 000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72,现他从所有的题中随机选一题,正确率是 0.85 .  解析　A题库占=,B题库占=,C题库占=,则所求概率P=×0.92+×0.86+×0.72=0.85. 11.一个口袋里有大小相同的白球4个,黑球m个,现从中随机一次性取出2个球,若取出的2个球都是白球的概率为,则黑球的个数为 5 .  解析　由题意,得=,即=,解得m=5或m=-12(舍去),所以黑球的个数为5. 12.(2025·四川联考)从边长为1的正六边形的各个顶点中,任取两个顶点,则这两个顶点之间的距离为2的概率为  .  解析　如图所示,在边长为1的正六边形ABCDEF的各个顶点中,任取两个顶点所成的线段有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15条,其中长度为2的线段有AD,BE,CF,共3条,故这两个顶点之间的距离为2的概率P==. 四、解答题 13.某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此,该地区旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查.下表是从去年某月到该地区旅游的游客中随机抽取的100位游客的满意度调查表. 满意度 老年人 中年人 青年人 报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游 满意 12 1 18 4 15 6 一般 2 1 6 4 4 12 不满意 1 1 6 2 3 2 (1)由表中的数据分析,老年人、中年人和青年人这三种人群中,哪一类人群更倾向于选择报团游? (2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中随机抽取2人征集改造建议,求这2人中有老年人的概率; (3)若你的朋友要到该地区旅游,根据表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目? 解　(1)由题表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为=,=,=,因为>>,所以老年人更倾向于选择报团游. (2)由题意得满意度为“不满意”的自助游游客中,老年人有1人,中年人有2人,青年人有2人,从中随机抽取2人,样本空间Ω共包含=10个样本点,其中这2人中有老年人包含的样本点有=4个,所以这2人中有老年人的概率为=. (3)根据表中的数据,可得报团游的满意率为=,自助游的满意率为=,因为>,所以建议他选择报团游. 素养提升 14.(2025·八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为  .  解析　1+2+3+…+8=36,三张卡片上的数字之和为18有873,864,765三种情况,故P==. 15.(2024·全国甲卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率是  .  解析　设3次取出的球上的数字依次为a,b,c,则无放回地随机取3次球的取法有=120(种),则|m-n|==≤,可得|a+b-2c|≤3.当c=1时,a,b需要满足“1≤a+b≤5”,所有可能情况为(2,3),(3,2),共2种.当c=2时,a,b需要满足“1≤a+b≤7”,所有可能情况为(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,4),(4,3),共10种.当c=3时,a,b需要满足“3≤a+b≤9”,所有可能情况为(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(4,5),(5,4),共16种.当c=4时,a,b需要满足“5≤a+b≤11”,所有可能情况为(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(6,5),(5,6),共16种.当c=5时,a,b需要满足“7≤a+b≤13”,所有可能情况为(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),共10种.当c=6时,a,b需要满足“9≤a+b≤15”,所有可能情况为(4,5),(5,4),共2种.故共有2+10+16+16+10+2=56(种)可能情况,所以所求概率P==. 16.(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为  .  解析　因为甲出卡片1一定输,出其他卡片有可能赢,所以四轮比赛后,甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢,所以只有1种组合:3-2,5-4,7-6,1-8.若甲的总得分为2,有以下三类情况:第一类,当甲出卡片3和5时赢,只有1种组合,为3-2,5-4,1-6,7-8;第二类,当甲出卡片3和7时赢,有3-2,7-4,1-6,5-8或3-2,7-4,1-8,5-6或3-2,7-6,1-4,5-8,共3种组合;第三类,当甲出卡片5和7时赢,有5-2,7-4,1-6,3-8或5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,1-8,3-4或5-4,7-6,1-2,3-8,共7种组合.综上,甲的总得分不小于2共有12种组合,而所有不同的组合共有4×3×2×1=24(种),所以甲的总得分不小于2的概率P==. 微练(八十四)　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(C) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 解析　因为P(A)=1-P()=1-=,所以P(A)P(B)=,P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A与B相互独立,事件A与B不互斥也不对立.故选C. 2.已知事件A,B相互独立,P(A)=0.5,P(B)=0.4,则P(A+B)等于(C) A.0.88 B.0.9 C.0.7 D.0.72 解析　因为事件A,B相互独立,故P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,又P(A)=0.5,P(B)=0.4,所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7.故选C. 3.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为(B) A. B. C. D. 解析　因为他第一次拿到白球且不放回,所以在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率等价于从装有3个红球、1个白球、5个黑球中拿到红球的概率,即为=.故选B. 4.为充分感受冬奥的运动激情,领略奥运的拼搏精神,甲、乙、丙三人进行短道速滑训练赛.已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为,,,则3场训练赛过后,甲、乙获胜场数相同的概率为(C) A. B. C. D. 解析　“甲、乙获胜场数相同”包括两种情况:“甲、乙各获胜1场”与“甲、乙各获胜0场”,所以所求概率为×××××+=.故选C. 5.(2024·东北三省四市联考)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“” 和 阴 爻“”,如图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则P(B|A)=(C) A. B. C. D. 解析　P(A)==.事件AB=“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”,则P(AB)==,则P(B|A)==.故选C. 6.(2025·湘豫联考)某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛,现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的,其中选“初心”队获胜的概率为0.8,选“使命”队获胜的概率为0.7,单位在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为 (D) A. B. C. D. 解析　记选“初心”队为事件A,选“使命”队为事件B,该单位获胜为事件M.则P(A)=P(B)=0.5,P(M|A)=0.8,P(M|B)=0.7,因此P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)=0.5×0.8+0.5×0.7=0.75.所以选“使命”队参加比赛的概率P(B|M)====.故选D. 二、多项选择题 7.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件M为“第一次向下的数字为1或2”,事件N为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列说法正确的是(BC) A.事件M与事件N互斥 B.事件M发生的概率为 C.事件M与事件N相互独立 D.事件M+N发生的概率为1 解析　由题意可得P(M)==,故B正确;当两次抛掷的点数为(1,4)时,事件M与事件N同时发生,所以事件M与事件N不互斥,故A错误;事件M与事件N同时发生的情况有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),共4种,所以P(MN)==,又P(N)==,所以P(MN)=P(M)·P(N),故事件M与事件N相互独立,故C正确;P(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN)=+-=,故D错误.故选BC. 8.甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外,没有其他区别).先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出2个球,用事件B表示从乙箱中取出的2个球都是红球.则 (ABD) A.P(A1)= B.P(B)= C.P(B|A1)= D.P(A2|B)= 解析　对于A,由题意,知P(A1)=,P(A2)=,故A正确.对于B,因为P(B|A1)==,P(B|A2)==,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,故B正确.对于C,由对B选项的分析知P(B|A1)=,故C不正确.对于D,P(A2|B)===,故D正确.综上,选ABD. 三、填空题 9.甲、乙两名同学参加一项射击比赛,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击互不影响,且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为,则p的值为  .  解析　设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=1-=,P(B)=p,P()=1-p.依题意得×(1-p)+×p=,解得p=. 10.(2024·昆明市质量检测)一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生,从中随机选出2名参加交流会,在已选出的2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生的概率为  .  解析　记事件A表示“2名中至少有1名男生”,事件B表示“2名中有1名女生”,则“2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生”的概率为P(B|A)=,而P(AB)==,P(A)=1-=,所以P(B|A)=. 11.(2025·江苏联考)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%.加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是第2台车床加工的概率为  .  解析　设Ai表示“取到的零件是第i(i=1,2,3)台车床加工”,B表示“取到的零件是次品”,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.052 5,P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=0.3×0.05=0.015,所以P(A2|B)===. 四、解答题 12.某技术部门招工需经过四项考核,已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6,0.8,0.9,0.65,各项考核是相互独立的,每个应聘者都要经过四项考核,只要有一项考核不通过即被淘汰. (1)求该部门招工的淘汰率; (2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 解　设B表示最终通过考核,A1,A2,A3,A4分别表示通过第一、二、三、四项考核. (1)因为各项考核是相互独立的,所以该部门招工的通过率为P(B)=0.6×0.8×0.9×0.65=0.280 8,因此该部门招工的淘汰率为P()=1-P(B)=1-0.280 8=0.719 2. (2)在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)===0.52,因此,通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1-P(B|A1A3)=1-0.52=0.48. 13.(2025·南京调研)为了吸引顾客,我市某大型商超策划了抽奖活动,计划如下:有A,B,C三个抽奖项目,它们之间相互不影响,每个项目每位顾客至多参加一次,项目A中奖的概率是,项目B和C中奖的概率都是. (1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A,B,C三个项目,如果A,B,C三个项目全部中奖,顾客将获得100元奖券,如果仅有两个项目中奖,顾客将获得50元奖券,否则就没有奖券.求每位顾客获得50元奖券的概率; (2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了,求他参加的是A项目的概率. 解　(1)P(X=50)=×××+×=. (2)设“该顾客中奖”为事件M,参加项目A,B,C分别记为事件N1,N2,N3,则P(M)=P(Ni)P(M|Ni)=×+×+×=,所以P(N1|M)====,即已知某顾客中奖了,则他参加的是A项目的概率是. 素养提升 14.盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为  .  解析　依题意,知试验含有的样本点总数为 =120,且它们的发生是等可能的,10个数中能被3整除的有3,6,9;除以3余数是1的有1,4,7,10;除以3余数是2的有2,5,8,取出的3个数的和能被3整除的事件有以下几类可能:3个数都能被3整除,有=1种;3个数都除以3余数是1,有=4种;3个数都除以3余数是2,有=1种;3个数有1个能被3整除,1个除以3余数是1,1个除以3余数是2,有=36种,所以所求概率为=. 15.(2024·湖北三模)某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100 m跑项目.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛,已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为;乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和;丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和-p,其中<p<. (1)甲、乙、丙三人中,谁进入决赛的可能性最大; (2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为,求p的值; (3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为ξ,求ξ的分布列. 解　(1)甲进入决赛的概率为p1==,乙进入决赛的概率为p2=×=,丙进入决赛的概率为p3=p=-p2+p=-+,而<p<,故p3<,所以甲进入决赛的可能性最大. (2)甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为××+×p+××p=,整理可得18p2-27p+10=0.由<p<,解得p=. (3)由题意可知,甲、乙、丙进入决赛的概率分别为,,,由题意可知,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=××=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=××=,P(ξ=1)=××+××+××=,所以随机变量ξ的分布列如表. ξ 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $$