核心微练41-42-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量专题，覆盖概念、线性运算、基本定理及坐标表示等高考核心考点，依据高考评价体系分析近五年考点权重，其中线性运算占30%、坐标表示占25%，归纳单选、多选、填空等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+分层训练+素养落地”，以2025年陕西西安联考等模拟题为载体，通过共线向量定理应用（逻辑推理）、坐标运算参数求解（数学运算）等典型题型解析，总结“基底法”“坐标法”突破方法。设易错点分析如向量共线与垂直的区别，帮助学生掌握答题技巧提升得分率，为教师复习教学提供系统指导，助力学生高考冲刺。

微练(四十一)　平面向量的概念及线性运算 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.在正六边形ABCDEF中,++=(B) A.0 B. C. D. 解析　++=++=.故选B. 2.如图,在平行四边形ABCD中,F是BC的中点,=-2,若=x+y,则x+y=(C) A.1 B.6 C. D. 解析　因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,=,因为=-2,所以=+=-,又因为=x+y,,不共线,所以x=,y=-,所以x+y=.故选C. 3.已知a,b是两个不共线的向量,向量xa+yb,2b-a共线,则实数x,y满足的关系式为(C) A.x+y=0 B.x-y=0 C.2x+y=0 D.2x-y=0 解析　由向量共线知xa+yb=λ(2b-a),λ∈R,即所以y=-2x,即2x+y=0.故选C. 4.已知点O为△ABC的外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A为(A) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由++=0,得+=.又点O为△ABC的外接圆的圆心,根据加法的几何意义,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,因此∠CAB=30°.故选A. 5.在△ABC中,AB=4,AC=6,点D,E分别在线段AB,AC上,且D为AB的中点,=,若=+,则直线AP经过△ABC的(A) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析　因为AB=4,AC=6,且D为AB中点,=,则||=||=2,又因为=+,所以可得四边形ADPE为菱形,即AP为菱形ADPE的对角线,所以AP平分∠BAC,即直线AP经过△ABC的内心.故选A. 6.(2025·陕西西安联考)如图,△ABC是等边三角形,点D在线段BC上,且=2,点E为线段AD上一点,若△ABE与△ACD的面积相等,则=(D) A.- B.+ C.- D.-+ 解析　因为点D在线段BC上,且=2,所以S△ACD=S△ABD,又点E为线段AD上一点,且△ABE与△ACD的面积相等,所以S△ABE=S△ABD,所以点E为线段AD的中点.=+=+=+(-)=+,所以==+,所以=-=-+,故选D. 7.在△ABC中,D是AB边上的点,满足AD=2DB,点E在线段CD上(不含端点),且=x+y(x,y∈R),则的最小值为(B) A.3+2 B.4+2 C.8+4 D.8 解析　因为=x+y(x,y∈R),且AD=2DB,所以=+y,又点E在线段CD上(不含端点),所以+y=1,且x>0,y>0,所以=+==4++≥4+2=4+2,当且仅当=时,等号成立,所以的最小值为4+2.故选B. 8.(2025·安徽模拟)在△ABC中,点M是BC的中点,点N为AB上一点,AM与CN交于点D,且=,=λ,则λ=(A) A. B. C. D. 解析　如图,因为点M是BC的中点,所以==×(+)=(+).因为N,D,C三点共线,所以=μ+(1-μ),又=λ,所以(+)=μ+(1-μ)λ,由平面向量基本定理可知解得故选A. 二、多项选择题 9.(2025·厦门调研)下列能化简为的是 (ABC) A.-+ B.+(+) C.(+)+(-) D.+- 解析　对于A,-+=+=,符合题意;对于B,+(+)=(+)+=+=,符合题意;对于C,(+)+(-)=(+)+(-)=0+=,符合题意;对于D,+-=-≠,不符合题意.故选ABC. 10.已知4-3=,则下列结论正确的是(BD) A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线 C.||=|| D.||=3|| 解析　因为4-3=,所以3-3=-,所以3=,因为,有公共点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||,所以B,D正确,A错误;由4-3=,得=3-3+=3+,所以||≠||,所以C错误.故选BD. 11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (ACD) A.若=+,则点M是边BC的中点 B.若=2-,则点M在边BC的延长线上 C.若=--,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 解析　若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;若=2-,即有-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;如图,若=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,设=2,则B,C,N三点共线,且M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD. 三、填空题 12.已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反,则实数λ= - .  解析　因为向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反,所以λa+b=k[a+(2λ-1)b],k<0,因为a,b不共线,所以则2λ2-λ-1=0,因为λ=k<0,解得λ=-. 13.如图所示,已知∠B=30°,∠AOB=90°,点C在AB上,OC⊥AB,若用和来表示向量,则= + .  解析　由题意易知=+=+=+(-)=+. 14.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为 直角三角形 .  解析　+-2=(-)+(-)=+,-==-,所以|+|=|-|.故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形. 素养提升 15.(2025·石家庄质量检测)在平行四边形ABCD中,+=,λ∈[,3],则cos∠BAD的取值范围是(A) A. B. C. D. 解析　如图,在平行四边形ABCD中,令=,=,因为+=,所以+=,以AE,AF为邻边作平行四边形AEGF,则+==,所以点G一定在AC上.在△AEG中,AE=1,EG=AF=3,AG=λ,∠AEG=π-∠BAD,所以cos∠BAD=-cos∠AEG=-=-=,又λ∈[,3],所以cos∠BAD∈,故选A. 16.已知单位向量e1,e2,…,e2 023,则|e1+e2+…+e2 023|的最大值是 2 023 ,最小值是 0 .  解析　当单位向量e1,e2,…,e2 023方向相同时,|e1+e2+…+e2 023|取得最大值,|e1+e2+…+e2 023|=|e1|+|e2|+…+|e2 023|=2 023;当单位向量e1,e2,…,e2 023首尾相连时,e1+e2+…+e2 023=0,所以|e1+e2+…+e2 023|的最小值为0. 17.(2025·浙江质检)已知点P是△ABC所在平面内的一点,且=+t(t∈R),若点P在△ABC的内部(不包含边界),则实数t的取值范围是  .  解析　=+t,其中t为实数,当点P在线段BC上时,=+,如图,在AB上取一点D,使得=,在AC上取一点E,使得=,则=+t=+t.由图可知,若点P在△ABC的内部(不包含边界),则0<t<1,解得0<t<. 微练(四十二)　平面向量基本定理及坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.若{e1,e2}是平面α内的一个基底,则下列四组向量能作为平面α的一个基底的是(B) A.{e1-e2,e2-e1} B.{e1+e2,e1-e2} C.{2e2-3e1,-6e1+4e2} D.{2e1+e2,e1+e2} 解析　由{e1,e2}是平面α内的一个基底,则e1,e2为非零不共线向量,对A,e1-e2=-(e2-e1),故e1-e2,e2-e1共线,不满足题意;对B,e1+e2,e1-e2不能互相线性表示,故不共线,满足题意;对C,2e2-3e1=(-6e1+4e2),故2e2-3e1,-6e1+4e2共线,不满足题意;对D,2e1+e2=2,故2e1+e2,e1+e2共线,不满足题意.故选B. 2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(A) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析　根据题意,得=(3,1),所以=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 3.如图,已知=a,=b,=4,=3,则=(D) A.b-a B.a-b C.a-b D.b-a 解析　=+=+=(-)-=-=b-a.故选D. 4.已知p:x=-1,q:向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则p是q的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则x=x(x+2),解得x=0或x=-1,所以p是q的充分不必要条件.故选A. 5.已知点A(3,2),B(5,1),则与方向相反的单位向量为(B) A. B. C. D. 解析　因为A(3,2),B(5,1),所以=(2,-1),则||==,所以与方向相反的单位向量为-=.故选B. 6.若{α,β}是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基向量p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基向量m=(-1,1),n(1,2)下的坐标为(D) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) 解析　因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以解得所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).故选D. 7.已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=(A) A. B. C.3 D.2 解析　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,m)(m>0).=(m,m)=λ+μ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,且μ=m,所以=.故选A. 8.△ABC是等腰直角三角形,AB=BC=4,=(+),=x+y,其中2x+y=1,则·的最小值是(B) A.- B.- C.-3 D.-4 解析　由=(+)知点D为AB的中点.所以·=(+)·(+)=||2-4,设F为AD的中点.由=x+y,得=2x+y,因为2x+y=1,所以点E在直线CF上,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,4),B(0,0),C(4,0),D(0,2),F(0,3),则DE⊥CF时,||2的值最小,直线CF的方程为+=1,即3x+4y-12=0,此时,由点到直线的距离公式可得||==,所以·的最小值为-4=-.故选B. 二、多项选择题 9.(2025·安徽亳州模拟)已知向量a,b,c满足c=λa+(1-λ)b(0<λ<1),且c=(1,2),则a,b的坐标可以为(BC) A.a=(1,0),b=(0,2) B.a=(2,0),b=(0,4) C.a=(3,1),b=(-1,3) D.a=(2,1),b=(4,-1) 解析　设=a,=b,=c,O为坐标原点,则由c=λa+(1-λ)b(0<λ<1)可知,A,B,C三点共线,且C在A,B两点之间.选项A,=(-1,2),=(0,2),与不平行,选项A错误;选项B,=(-2,4),=(-1,2),与平行,且C在A,B两点之间,选项B正确;选项C,=(-4,2),=(-2,1),与平行,且C在A,B两点之间,选项C正确;选项D,=(2,-2),=(-1,1),与平行,但C不在A,B两点之间,选项D错误.故选BC. 10.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是 (ABD) A.-2 B. C.1 D.-1 解析　若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,A,B,C三点就可构成三角形.故选ABD. 11.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则=(AC) A.+ B.- C.+ D.+ 解析　如图所示,则=+=+=+(+)=-+×=+.故选AC. 三、填空题 12.若P1(1,3),P2(4,0),且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1),则点P的坐标为 (2,2) .  解析　由题意得=,且=(3,-3),设P(x,y),则(x-1,y-3)=(3,-3),所以x=2,y=2,则点P(2,2). 13.已知向量=(m,2),=(1,3),=(-4,-2).若B,C,D三点共线,则m= -1 .  解析　因为向量=(m,2),=(1,3),则=-=(1-m,1),而=(-4,-2),又B,C,D三点共线,则有∥,因此-2(1-m)+4=0,解得m=-1. 14.若在△ABC中,AB=,∠ABC=,BC=3,AD为BC边上的高,O为AD上靠近点A的三等分点,且=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ-2μ= 0 .  解析　由题意可知,在Rt△ABD中,AB=,∠ABC=,所以BD=1,所以BD=BC,所以==(+)==+(+)=+,又因为=λ+μ,所以λ=,μ=,所以λ-2μ=-=0. 素养提升 15.奔驰定理:如图,已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则SA·+SB·+SC·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo(如图)很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一点,且满足:+2+3=3+2+,则=  .  解析　因为O为三角形ABC内一点,且满足+2+3=3+2+,所以+2+3=3(-)+2(-)+(-)⇒3++2=0,因为SA·+SB·+SC·=0,所以===. 16.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 3 .  解析　如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,B(1,0),D(0,2),C(1,2),直线BD的方程为y=-2x+2,☉C方程为(x-1)2+(y-2)2=r2,又=(1,0),=(0,2),则=λ+μ=(λ,2μ),圆与直线BD相切,则半径r=.P点坐标可表示为x=1+rcos θ=λ,y=2+rsin θ=2μ,则λ+μ=2+sin θ+rcos θ=2+sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=1时,有最大值,为2+×=3. 学科网（北京）股份有限公司 $$