核心微练39-40-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦解三角形应用与三角函数新定义两大核心考点，依据高考评价体系梳理测量距离、高度、角度及创新函数问题等考查要求。通过分析近五年考点权重，明确解三角形应用题占比35%、新定义问题占比25%的高频分布，归纳出正弦定理余弦定理应用、数学建模等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题模拟+素养导向”的备考策略，精选南京、兰州等模拟题，如解三角形中“灯塔救援”情境题，运用“情境建模—定理应用—结果验证”三步法，培养学生的数学思维与模型意识。特设易错点警示，助力学生掌握解题技巧，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

微练(三十九)　解三角形应用举例 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.如图,设A,B两点在河的两岸,在点A所在河岸边选一定点C,测量AC的距离为50 m,∠ACB=30°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离是(A) A.25 m B.50 m C.25 m D.50 m 解析　在△ABC中,∠ACB=30°,∠CAB=105°,所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,由正弦定理=,得AB====25(m).故选A. 2.一艘船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是(C) A.5海里/时 B.5海里/时 C.10海里/时 D.10海里/时 解析　如图所示,由题意知∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,可得CD=CA=10,在Rt△ABC中,AB=ACcos 60°=5,所以这艘船的速度为=10(海里/时).故选C. 3.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(B) A.30° B.45° C.60° D.75° 解析　依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.故选B. 4.位于灯塔A处正西方向相距(5-5)n mile的B处有一艘甲船需要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距5n mile的C处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(B) A.30° B.60° C.75° D.45° 解析　依题意,过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D,如图,则AB=5-5,AC=5,∠ACD=45°.在Rt△ADC中,AD=DC=5.在Rt△BDC中,BD=5,DC=5,所以tan∠BCD==.又因为0°<∠BCD<90°,所以∠BCD=60°,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西60°.故选B. 5.小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(如图阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是(D) ①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析　根据题意,由正弦定理可以求出△P1P2D的三个角和三条边.选①,在△DCP1中,=,故CD=,故①可以求出CD;③与①条件等价.选②,在△P1P2C中,=,故P1C=,在△P1CD中,利用余弦定理求解CD即可.故选D. 6.(2025·南京模拟)我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题:“今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?”这个问题体现了古代对直角三角形的研究,现有一竖立的木头柱子,高4米,绳索系在柱子上端,牵着绳索退行,当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽,再退行4米绳索用尽(绳索与地面接触),则绳索长为(B) A.3米 B.4米 C.5米 D.16米 解析　如图所示,AB=4,CD=4,∠ACB=75°,所以∠CAB=90°-75°=15°.所以BC=ABtan∠CAB=4tan 15°=4tan(45°-30°)=4×=4×=8-4.所以BD=BC+CD=8.所以AD===4.所以绳索长为4米.故选B. 二、多项选择题 7.某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向上,距离为12n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上,距离为8n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,则下列说法正确的是(AC) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60°方向上 D.D处在灯塔B的北偏西30°方向上 解析　如图,在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,则∠B=45°,又AB=12,由正弦定理得AD===24,所以A处与D处之间的距离为24 n mile,故A正确;在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,又AC=8,解得CD=8.所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile,故B错误;因为AC=CD=8,所以∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的西偏南60°方向上,故C正确;灯塔B在D处的南偏东60°方向上,D处在灯塔B的北偏西60°方向上,故D错误.故选AC. 8.(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,一定可以计算出旗杆高度的方案有 (BCD) A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间的距离 B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5 m到达B处,再次测量旗杆顶端的仰角β 解析　设旗杆CD的高度为x,对于A,当A,B,旗杆底部三点不共线时,如图①,已知AB的长度,∠CAD=α,∠CBD=β,无法求出x,故A错误;对于B,如图②,设旗杆对面的某建筑物为AB,则BD==,可求出x的值,故B正确;对于C,如图③,=tan α,可求出x的值,故C正确;对于D,如图④或图⑤,-=5或+=5,可求出x的值,故D正确.综上,选BCD. ①　②　③ ④　⑤ 三、填空题 9.甲船在A处观察乙船,乙船在它北偏东60°方向,相距a海里的B处,乙船向正北方向行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,朝北偏东θ方向前进,则θ= 30° .  解析　如图,设两船在C处相遇,则由题意得∠ABC=180°-60°=120°,且=,由正弦定理得==,所以sin∠BAC=.又因为0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°,所以θ=60°-30°=30°. 10.(2025·辽宁联考)《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作,书中有一道测量山上松树高度的题目,受此题启发,小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图,把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B(点A,B在建筑物的同一侧,且点A,B,C,D位于同一个平面内),测得AB=20 m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°,67°,在点B处测得点D的仰角为33.5°,则塔高CD约为 24 m.  解析　如图,延长DC与BA的延长线交于点E,则∠DAE=67°,∠CAE=30°,∠DBA=33.5°,所以∠ADB=67°-33.5°=33.5°,∠ACE=90°-30°=60°,所以AD=AB=20.在△ACD中,∠CAD=67°-30°=37°,∠ACD=180°-60°=120°,由正弦定理,得CD=≈=24(m),即塔高CD约为24 m. 11.如图,为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离,在岸上选取A和D两点,现测得AB=5 km,AD=7 km,∠ABD=60°,∠CBD=23°,∠BCD=117°,据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为 5.8 km(精确到0.1 km,参考数据:sin 40°≈0.643,sin 117°≈0.891).  解析　在△ABD中,有AB=5,AD=7,∠ABD=60°,由余弦定理可得,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD,即49=25+BD2-2×5×BD×,整理可得BD2-5BD-24=0,解得BD=8或BD=-3(舍去).在△BCD中,有BD=8,∠CBD=23°,∠BCD=117°,所以∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=40°.由正弦定理=可得,BC==≈≈5.8(km). 四、解答题 12.为了测量隧道口A,B间的距离,开车从A点出发,沿正西方向行驶400米到达D点,然后从D点出发,沿正北方向行驶一段路程后到达C点,再从C点出发,沿东南方向行驶400米到达隧道口B点处,测得B,D间的距离为1 000米. (1)若隧道口B在点D的北偏东θ方向上,求cos θ的值; (2)求隧道口A,B间的距离. 解　(1)在△BCD中,由正弦定理得=,即=,所以sin∠CDB=,由题可知,∠CDB<90°,所以cos∠CDB=,即cos θ=. (2)由(1)可知,cos∠ADB=sin∠CDB=.在△ABD中,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2·BD·ADcos∠ADB=1 0002+(400)2-2×1 000×400×=1 000 000,所以AB=1 000,故隧道口A,B间的距离为1 000米. 13.如图,某研究性学习小组同学为测量当地防洪纪念塔AB的高度及塔顶A相对取景点D与F的张角∠DAF(其中B,C,D,F在同一水平面上,纪念塔AB垂直水平面于点B,且B,C,D三点共线),小组同学在C,D,F测得塔顶A的仰角分别为45°,30°,30°.已知∠FCB=60°,CD=(-1)米. (1)求防洪纪念塔AB的高度; (2)求cos∠DAF. 解　(1)设AB=x米,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD==x.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,则BC=x米,而CD=(-1)米,即x-x=(-1),解得x=,所以防洪纪念塔AB的高度是米. (2)连接DF,如图,由(1)及已知有BF=BD=BC,在△BCF中,由余弦定理得BF2=CF2+BC2-2CF·BCcos∠FCB,即CF2-CF·BC-2BC2=0,则CF=2BC=45.在△CDF中,∠DCF=120°,由余弦定理得DF2=CD2+CF2-2CD·CFcos∠DCF=(2-)+452+(-1)=×452.在△ADF中,AD=AF=2AB=45,由余弦定理得cos∠DAF===. 素养提升 14.(2024·昆明二诊)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态:地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆,三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时,测出∠SE0M=;行星M绕太阳运动一周回到原来位置,地球运动到了E1位置,测出∠SE1M=,∠E1SE0=.若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据:≈1.7)(A) A.2.1R B.2.2R C.2.3R D.2.4R 解析　连接E1E0,由题知∠SE0M=,∠SE1M=,∠E1SE0=,所以∠E1ME0=.SE1=SE0=R,则△SE1E0为等边三角形,E1E0=R.在△E1ME0中,由正弦定理=,即=,解得ME0=R.在△SE0M中,由余弦定理SM2=S+M-2SE0·ME0·cos∠SE0M,即SM2=R2+-2R·R·,得SM2=R2≈4.2R2,所以SM≈≈2.05R,接近2.1R,故选A. 15.为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒,在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°,则最大高度CH为 140 米.(已知声音的传播速度为340米/秒)  解析　设BC=x,由条件可知AC=x+×340=x+40.在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC,即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×,解得x=380,所以AC=380+40=420(米).在Rt△ACH中,CH=AC·tan∠HAC=420×=140(米). 微练(四十)　以三角函数为载体的新定义问题 1.对于分别定义在D1,D2上的函数f(x),g(x)以及实数k,若存在x1∈D1,x2∈D2使得f(x1)-g(x2)=k,则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k). (1)若f(x)=cos x,x∈[0,π],g(x)=sin x,x∈[0,π],判断f(x)与g(x)是否具有关系M(-2),并说明理由; (2)若f(x)=2sin x与g(x)=2cos2x+sin x-1具有关系M(k),求k的取值范围; (3)已知a>0,h(x)为定义在R上的奇函数,且满足: ①在[0,2a]上,当且仅当x=时,h(x)取得最大值1; ②对任意x∈R,有h(a+x)=-h(a-x). 判断f(x)=sin 2πx+h(x)与g(x)=h(x)-cos 2πx是否具有关系M(4),并说明理由. 解　(1)f(x)与g(x)具有关系M(-2),理由如下:当x∈[0,π]时,f(x)=cos x∈[-1,1],g(x)=sin x∈[0,1],当x1=π时,f(x)=f(π)=-1,当x2=时,g(x)=g=1,此时f(π)-g=-2,则f(x)与g(x)具有关系M(-2). (2)f(x)=2sin x∈[-2,2],g(x)=2cos2x+sin x-1=cos 2x+sin x=1-2sin2x+sin x=-2+,因为sin x∈[-1,1],则当sin x=-1时,-2+=-2,则g(x)∈,所以[f(x1)-g(x2)]∈,则k∈. (3)不具有M(4)关系,理由如下:因为在[0,2a]上,当且仅当x=时,h(x)取得最大值1;又f(x)为定义在R上的奇函数,故在[-2a,0]上,当且仅当x=-时,f(x)取得最小值-1,由对任意x∈R,有h(a+x)+h(a-x)=0,所以y=f(x)关于点(a,0)对称,又h(a+x)=-h(a-x)=h(x-a),所以h(x)的周期为2a,故h(x)的值域为[-1,1],sin 2πx∈[-1,1],cos 2πx∈[-1,1],当h(x1)=1时,x1=+2na,n∈Z;sin 2πx1=1时,x1=+k,k∈Z,若+2na=+k,则a=,k,n∈Z,此时有f(x1)=sin 2πx1+h(x1)=2;当h(x2)=-1时,x2=-+2ma,m∈Z;cos 2πx2=1时,x2=t,t∈Z,若-+2ma=t,则a=,t,m∈Z时,有g(x2)=h(x2)-cos 2πx2=-2;由于a=≠,所以sin 2πx1+h(x1)+cos 2πx2-h(x2)<4,故不存在x1∈R,x2∈R,使得sin 2πx1+h(x1)+cos 2πx2-h(x2)=4,所以f(x)=sin 2πx+h(x)与g(x)=h(x)-cos 2πx不具有关系M(4). 2.对于定义域为R的函数y=g(x),若存在常数T>0,使得y=sin(g(x))是以T为周期的周期函数,则称y=g(x)为“正弦周期函数”,且称T为其“正弦周期”. (1)判断函数y=x+cos是否为“正弦周期函数”,并说明理由; (2)已知y=g(x)是定义在R上的严格增函数,值域为R,且y=g(x)是以T为“正弦周期”的“正弦周期函数”,若g(0)=,g(T)=,且存在x0∈(0,T),使得g(x0)=,求g(2T)的值; (3)已知y=h(x)是以T为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”,且存在a>0和A>0,使得对任意x∈R,都有h(x+a)=Ah(x),证明:y=h(x)是周期函数. 解　(1)g(x)=x+cos,则g(x+4π)=x+4π+cos=x+cos+4π,故sin(g(x+4π))=sin=sin=sin(g(x)),所以y=x+cos是正弦周期函数. (2)存在x0∈(0,T),使得g(x0)=,故sin(g(x0))=sin=1,因为y=g(x)是以T为“正弦周期”的“正弦周期函数”,所以sin(g(x0+T))=sin(g(x0))=1,又g(T)=,sin(g(T))=1,所以sin(g(x0+T))=sin(g(T))=1,又sin(g(2T))=sin(g(T)),则sin(g(x0+T))=sin(g(2T))=1,故g(x0+T)=2mπ+,g(2T)=2tπ+,m,t∈Z,因为x0∈(0,T),所以x0+T∈(T,2T),且y=g(x)严格增,由于g(0)=,g(T)=,g(x0)=,故2mπ+>,2tπ+>2mπ+,解得m>2,t>m,则整数m≥3,t≥4,下证t=4.若不然,t≥5,则g(2T)=2tπ+≥,由y=g(x)的值域为R知,存在x1,x2∈(T,2T),x1≠x2,使得g(x1)=,g(x2)=,则sin(g(x1))=sin(g(x2))=sin(g(x1-T))=sin(g(x2-T))=1,0<x1-T<x2-T<T,由y=g(x)严格单调递增可知=g(0)<g(x1-T)<g(x2-T)<g(T)=,又sin(g(x1-T))=sin(g(x2-T))=1,故x1-T=x2-T=x0,这与x1≠x2矛盾. 故t=4,综上所述,g(2T)=. (3)解法一:若A=1,则由h(x+a)=h(x)可知y=h(x)为周期函数.若0<A<1,则对任意x0∈R,存在正整数n,使得|Anh(x0)|≤1且|Anh(x0+T)|≤1.因为y=h(x)是以T为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”,且h(x+a)=Ah(x),所以sin(Anh(x0+T))=sin(h(x0+na+T))=sin(h(x0+na))=sin(Anh(x0)),故h(x0+T)=h(x0),所以h(x+T)=h(x),若A>1,则同理可证(取n为负整数即可).综上,得证. 解法二:假设y=h(x)不是周期函数,则h(x+T)=h(x)与h(x+a)=h(x)均不恒成立.显然A≠1.因为h(x+T)=h(x)不恒成立,所以存在x0∈R,使得h(x0+T)≠h(x0),因为A∈(0,1)∪(1,+∞),所以存在n∈Z,使得|Anh(x0)|<1且|Anh(x0+T)|<1,其中若A>1,取n为负整数;若0<A<1,取n为正整数.因为y=h(x)是以T为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”,且h(x+a)=Ah(x),由正弦周期性得sin(Anh(x0+T))=sin(h(x0+na+T))=sin(h(x0+na))=sin(Anh(x0)),即sin(Anh(x0+T))=sin(Anh(x0)),所以h(x0+T)=h(x0),矛盾,假设不成立,综上,y=h(x)是周期函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$