核心微练37-38-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦正弦定理、余弦定理核心考点，依据高考评价体系明确定理应用、边角互化、面积计算等考查要求。通过基础过关与素养提升分层训练，分析解三角形在高考中的高频考点权重，归纳出边长求解、角度计算、形状判断等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于融合2024年天津、北京高考真题及模拟题训练，注重培养学生运算能力与推理意识。如通过第12题（天津高考题）解析“定理应用—方程构建—结果验证”三步法，帮助学生掌握综合题解题技巧。对学生冲刺强化高频考点突破，对教师教学提供题型分类指导与真题解析范例，助力高效复习。

微练(三十七)　正弦定理、余弦定理 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知在△ABC中,A=,B=,a=1,则b=(D) A.2 B.1 C. D. 解析　由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.故选D. 2.在△ABC中,a=2,b=1,cos A=,则c=(B) A.1 B.2 C. D. 解析　因为a=2,b=1,cos A=,所以a2=b2+c2-2bccos A,即22=12+c2-2×1×c×,解得c=2或c=-(舍去).故选B. 3.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=(B) A. B. C.6 D.5 解析　因为sin A=6sin B,则由正弦定理得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,即c2=62+12-2×6×1×,解得c=.故选B. 4.(2025·长沙质检)在△ABC中,AC=,BC=,cos A=,则△ABC的面积为(A) A. B.5 C. D. 解析　在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A,则10=5+AB2-2×AB×,整理得AB2-4AB-5=0,解得AB=5,AB=-1(舍).由cos A=,可得sin A==,所以S△ABC=AB·AC·sin A=×5××=.故选A. 5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足b-a=2bsin2,则△ABC为(A) A.直角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析　由题知b-a=2bsin2,则=sin2=,即b-a=b-bcos C,故a=bcos C,所以a=b·,整理得a2+c2=b2,所以△ABC为直角三角形.故选A. 6.(2025·安徽合肥质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=a(2-c),且B=,则a=(A) A.1 B. C. D.2 解析　因为2bcos C=a(2-c),所以由正弦定理得2sin Bcos C=sin A(2-c),因为sin A=sin(B+C),所以2sin Bcos C=2sin A-c·sin A=2sin(B+C)-c·sin A,即2cos Bsin C=c·sin A,又因为B=,所以sin C=c·sin A,由正弦定理得=,则a·sin C=c·sin A,所以a·sin C=sin C,因为sin C>0,所以a=1,故选A. 二、多项选择题 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2),则下列选项正确的是 (ACD) A.a=2b B.cos A= C.sin B= D.△ABC为钝角三角形 解析　因为asin A=4bsin B,所以a2=4b2,所以a=2b,故A正确;因为ac=(a2-b2-c2)=·(-2bccos A),且a=2b,所以2bc=-2bccos A,所以cos A=-,故B错误;因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A==,又因为a=2b,所以sin A=2sin B,所以sin B=,故C正确;由cos A=-<0,可知A∈,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.故选ACD. 8.(2025·山东青岛检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由以下各条件分别能得出△ABC为等边三角形的有(AC) A.已知a+b=2c且A+B=2C B.已知sin A=且b=c C.已知a+b=2c且a2+b2=2c2 D.已知=且A= 解析　对于A,因为A+B=2C,所以C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,又a+b=2c,所以=a2+b2-ab,所以3(a-b)2=0,所以a=b,所以A=B=C=,所以△ABC为等边三角形,A正确.对于B,因为sin A=,0<A<π,所以A=或A=,当A=时,因为b=c,所以A=B=C=,所以△ABC为等边三角形;当A=时,因为b=c,所以B=C=,所以△ABC为等腰三角形,故B错误.对于C,因为a+b=2c且a2+b2=2c2,所以a2+b2=(a+b)2,所以(a-b)2=0,所以a=b,又a+b=2c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形,故C正确.对于D,因为=,所以=,即sin Acos A=sin Bcos B,所以sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=.当A=B时,因为A=,所以A=B=C=,所以△ABC为等边三角形;当A+B=时,因为A=,所以B=,C=,所以△ABC为直角三角形,故D错误.故选AC. 三、填空题 9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=8,c=7,cos A=,则b= 5 ,C=  .  解析　由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49,故b2-2b-15=0,解得b=-3(舍去)或b=5.故cos C==,又C∈(0,π),故C=. 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=,则△ABC的面积为  .  解析　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为b=3,a-c=2,A=,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×,解得c=5,则△ABC的面积为S=bcsin A=×3×5×=. 11.在△ABC中,若cos B=,b=4,S△ABC=4,则△ABC的周长为 4+4 .  解析　由cos B=,得sin B=,由三角形面积公式可得acsin B=ac·=4,则ac=12　①,由b2=a2+c2-2accos B,可得16=a2+c2-2×12×,则a2+c2=24　②,联立①②可得a=c=2,所以△ABC的周长为4+4. 四、解答题 12.(2024·天津高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos B=,b=5,=. (1)求a的值; (2)求sin A的值; (3)求cos (B-2A)的值. 解　(1)由=得a=c.由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,即c2+c2-25=2·c·c·,得c2-25=c2,得c=6,故a=c=4. (2)因为cos B=,所以sin B==,由正弦定理得=,即=,得sin A=. (3)因为a<b,所以A<B,则cos A>0,由sin A=,得cos A=,则cos 2A=2cos2A-1=,sin 2A=2sin Acos A=.故cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=×+×=. 13.(2025·广州综合测试)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.已知S=-(a2+c2-b2). (1)求B; (2)若点D在边AC上,且∠ABD=,AD=2DC=2,求△ABC的周长. 解　(1)因为cos∠ABC=,所以S=-(a2+c2-b2)=-×2accos∠ABC=-accos∠ABC,又S=acsin∠ABC,所以-accos∠ABC=acsin∠ABC,解得tan∠ABC=-.又∠ABC是△ABC的内角,所以∠ABC=. (2)依题意得∠CBD=-=,如图,在△ABD中,由正弦定理得,=,即=AD=2,同理,在△CBD中,有==2CD=2,又∠ADB+∠CDB=π,所以sin∠ADB=sin∠CDB,所以AB=CB,即a=c.在△ABC中,b2=c2+a2-2ca·cos∠ABC,即32=c2+a2+ac=3a2,解得a=,所以c=a=,所以△ABC的周长为3+2. 素养提升 14.(多选题)黑板上有一道解三角形的习题,求解过程是正确的,但一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能看到:在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2……解得B=60°.根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件? (ABD) A.b=2,C=90° B.A=30°,c=4 C.b=2,A=30° D.b=2,c=4 解析　对于A,因为a=2,b=2,C=90°,所以tan B===,又0°<B<180°,所以B=60°,故A选项可以作为已知条件.对于B,因为a=2,A=30°,c=4,所以根据正弦定理得=,即=,所以sin C=1,又0°<C<180°,所以C=90°,所以B=60°,故B选项可以作为已知条件.对于C,因为a=2,b=2,A=30°,所以根据正弦定理得=,所以sin B=,又0°<B<180°,且b>a,所以B=60°或120°,故C选项不可以作为已知条件.对于D,因为a=2,b=2,c=4,所以根据余弦定理得cos B===,又0°<B<180°,所以B=60°,故D选项可以作为已知条件.故选ABD. 15.(2024·北京高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B. (1)求∠A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积. 条件①:b=7; 条件②:cos B=; 条件③:csin A=. 解　(1)由题知,2sin B·cos B=bcos B.又A为钝角,所以B为锐角,故cos B≠0,所以2sin B=b.又===,所以sin A=.又A为钝角,所以A=. (2)若选①,结合(1)得2sin B=×7,所以sin B=,B=,A+B=π,则△ABC不存在,所以条件①不符合要求,故不选择条件①. 若选②,由题知sin B==,又=,即=,所以b=3.又C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×-×=.所以S△ABC=absin C=×7×3×=. 若选③,由题知c·=,所以c=5.由a2=b2+c2-2bccos A得,49=b2+25+5b,即(b+8)(b-3)=0,解得b=3(负值舍去).所以S△ABC=bcsin A=×3×5×=. 微练(三十八)　正弦定理与余弦定理的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 1.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2bsin A+bsin B=csin 2B. (1)求C. (2)若点D在边AB上,b=2,CD=1,请在下列两个条件中任选一个,求边长AB. ①CD为△ABC的一条角平分线;②CD为△ABC的一条高线. 解　(1)因为2bsin A+bsin B=csin 2B,所以2sin Bsin A+sin2B=sin C·2sin B·cos B,因为在△ABC中,sin B>0,所以2sin A+sin B=2sin Ccos B,又sin A=sin(B+C),所以2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin B=2sin Ccos B,所以2sin Bcos C+sin B=0.因为在△ABC中,sin B>0,所以cos C=-,因为0<C<π,所以C=. (2)若选①,因为S△ABC=S△CAD+S△CBD,所以×2×a×sin=×2×1×sin+×1×a×sin,解得a=2.所以AB==2. 若选②,则S△ABC=×2×a×sin=×AB×1,解得AB=a.所以AB2=22+a2-2×2×a×=3a2,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1(舍去),所以AB=2. 2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=accos B. (1)求B的大小; (2)若a=2,且≤A≤,求c的取值范围. 解　(1)S=accos B=acsin B,所以tan B=,又B∈(0,π),所以B=. (2)因为a=2,B=,=,所以c===+1=+1.因为≤A≤,所以2≤c≤+1.即c的取值范围是[2,+1]. 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin=a+c. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且b=2,求其周长的取值范围. 解　(1)因为2bsin=a+c,由正弦定理可得2sin Bsin=sin A+sin C,即2sin B=sin A+sin(A+B),整理得sin Bsin A=sin A+cos Bsin A,又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以sin B-cos B=1,即sin=,又B∈(0,π),所以B-∈,所以B-=,即B=. (2)由(1)知B=,又b=2,由正弦定理,得===,所以a=sin A,c=sin C,所以a+c=(sin A+sin C)===4sin,在锐角△ABC中,⇒<A<,则<A+<,所以<sin≤1,则2<a+c≤4,故△ABC的周长的取值范围为(2+2,6]. 4.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC为钝角,AB=BC=2,CD=4,sin∠BCD=. (1)求cos∠BDC; (2)设E为AD的中点,求BE的长. 解　(1)因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=π,又∠ABC为钝角,所以∠BCD为锐角.因为sin∠BCD=,所以cos∠BCD==.又BC=2,CD=4,所以在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=16,得BD=4,所以在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC==. (2)如图,在梯形ABCD中,因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC,所以cos∠ABD=cos∠BDC=.在△ABD中,因为E为AD的中点,所以=+.由(1)知,BD=4,即||=4,又||=BA=2,所以||2=||2+||2+·=||2+||2+||·||cos∠ABD=,所以||=,即BE=. 素养升级 5.(2025·湖南长沙一中一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan C+=tan B(tan C-1). (1)求A; (2)若a=,△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC=,且BC平分∠ABD,求△ACD面积的取值范围. 解　(1)由tan C+=tan B(tan C-1),得tan B+tan C=-(1-tan Btan C),即=-,即tan(B+C)=-,所以tan(π-A)=-,即tan A=,又A∈(0,π),所以A=. (2)设∠ABC=∠CBD=x,在△BCD中,∠BDC=,故x∈,则∠ACD=2π---2x=π-2x,由正弦定理有=,=,则AC=CD=2sin x,故S△ACD=(2sin x)2sin(π-2x)=4sin3xcos x,令φ(x)=4sin3xcos x,x∈,则φ'(x)=12sin2xcos2x-4sin4x=4sin2x(cos x+sin x)(cos x-sin x),易知φ'(x)>0,则函数φ(x)=4sin3xcos x在上单调递增,又φ(0)=0,φ=,所以△ACD面积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$