核心微练31-32-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习

该高中数学高考复习课件聚焦两角和差公式、三角恒等变换核心考点，依据高考评价体系梳理公式应用、角的拆分等考查要求，通过近五年真题分析明确“公式逆用”占45%、“二倍角计算”占30%的高频考点分布，归纳选择填空解答完整题型体系。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”的备考设计，如2025年长沙适应性考试等模拟题训练，通过角的拆分技巧解析cos(α+β)求值问题，培养数学思维与运算能力，帮助学生掌握公式变形得分技巧，为教师提供系统复习框架，助力高效冲刺。

微练(三十一)　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.tan 105°=(B) A.2- B.-2- C.-2 D.- 解析　tan 105°=tan(60°+45°)=====-2-.故选B. 2.cos 50°cos 160°-cos 40°sin 160°=(D) A. B. C.- D.- 解析　原式=cos 50°cos 160°-sin 50°sin 160°=cos(50°+160°)=cos 210°=-cos 30°=-.故选D. 3.已知tan=3,则=(B) A.3 B. C.-3 D.- 解析　因为tan=3,所以====.故选B. 4.已知sin α+cos α=,则sin=(C) A.± B. C.- D.- 解析　因为sin α+cos α=sin=,所以sin=,所以sin=sin=-sin=-.故选C. 5.(2025·长沙适应性考试)若tan 2α+4tan=0,则sin 2α=(A) A.- B.- C. D. 解析　因为tan 2α+4tan=0,所以+4·=0,化简得2tan2α+5tan α+2=0,解得tan α=-2或tan α=-.当tan α=-2时,sin 2α=2sin αcos α===-;当tan α=-时,sin 2α==-.故选A. 6.已知2cos(2α+β)-3cos β=0,则tan αtan(α+β)=(D) A.5 B. C.-5 D.- 解析　2cos(2α+β)=3cos β,则2cos(α+β+α)=3cos(α+β-α),则2cos(α+β)cos α-2sin(α+β)sin α=3cos(α+β)cos α+3sin(α+β)sin α,即-5sin(α+β)sin α=cos(α+β)cos α,所以-5tan(α+β)tan α=1,所以tan αtan(α+β)=-.故选D. 二、多项选择题 7.下列四个选项中,化简正确的是 (BCD) A.cos(-15°)= B.cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°=0 C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)= D.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°= 解析　对于A,原式=cos(30°-45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=×+×=,A错误.对于B,原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos 90°=0,B正确.对于C,原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,C正确.对于D,原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=cos 60°=,D正确.故选BCD. 8.已知α,β,γ∈,sin β+sin γ=sin α,cos α+cos γ=cos β,则下列说法正确的是(BD) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)= C.β-α= D.β-α=- 解析　由已知可得所以1=sin2γ+cos2γ=(sin α-sin β)2+(cos β-cos α)2=2-2(cos βcos α+sin βsin α)=2-2cos(β-α),所以cos(β-α)=.因为α,β,γ∈,所以-<β-α<,因为sin γ=sin α-sin β>0,函数y=sin x在上单调递增,所以α>β,则-<β-α<0,故β-α=-.故选BD. 三、填空题 9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin=  .  解析　依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sin β=,所以sin β=-.又β是第三象限角,因此有cos β=-,所以sin=-sin=-sin βcos-cos βsin=. 10.(2025·郑州质量检测)已知=2,则sin 2α=  .  解析　=tan=tan α=2,则sin 2α=2sin αcos α===. 11.已知sin=,x∈(0,π),则sin 2x= - .  解析　由题意知=(sin x+cos x),则=(sin x+cos x)2=(1+2sin xcos x),则sin 2x=2sin xcos x=-1=-. 四、解答题 12.化简并求值. (1); (2)·. 解　(1)原式=======. (2)原式======32. 13.如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点,且A,B两点的横坐标分别为,-. (1)求cos(β-α)的值; (2)求cos-cos2α的值. 解　(1)因为锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A,B,且点A,B的横坐标分别为,-,显然点A在第一象限,点B在第二象限,则点A,B的纵坐标分别为,.由已知及三角函数定义得sin α=,sin β=,而cos α=,cos β=-,所以cos(β-α)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. (2)由(1)知sin α=,cos α=,所以cos-cos2α=sin 2α-cos2α=2sin αcos α-cos2α=2××-=. 素养提升 14.1796年,年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法,要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分,如图所示.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α,则cos(π-α)cos 2αcos 4αcos 8α的值为  .  解析　cos(π-α)cos 2αcos 4αcos 8α=-···=-,易知α=,所以cos(π-α)cos 2αcos 4αcos 8α=-=-==. 15.若α,β为锐角,且α+β=,则tan α+tan β的最小值为(A) A.2-2 B.-1 C.2-2 D.-1 解析　因为tan(α+β)==1,所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2.因为(1+tan α)(1+tan β)≤,即2≤,得(tan α+tan β+2)2≥8.由于α,β为锐角,则tan α+tan β+2>0,所以tan α+tan β+2≥2,当且仅当tan α=tan β=-1时等号成立,所以tan α+tan β的最小值为2-2.故选A. 16.已知cos=-,sin=,且<α<π,0<β<,求cos(α+β). 解　由已知,得<α-<π,-<-β<,所以sin=,cos=,所以cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.则cos(α+β)=2cos2-1=-. 微练(三十二)　简单的三角恒等变换 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.“sin α=”是“sin-cos=”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若sin-cos=,则==1-sin α,所以sin α=,必要性成立;若sin α=,则=1-sinα=,所以sin-cos=±,充分性不成立.故“sin α=”是“sin-cos=”的必要不充分条件.故选B. 2.tan 70°·cos 10°·(1-tan 20°)=(A) A.1 B.2 C.-1 D.-2 解析　由tan 70°·cos 10°·(1-tan 20°)=cos 10°·(tan 70°-tan 70°·tan 20°)=cos 10°·=cos 10°·=cos 10°·=1,故选A. 3.已知cos-cos α=,则sin=(A) A.- B. C. D. 解析　由cos-cos α=,得-cos α=sin α+cos α=sin=.故sin=cos=cos=cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-.故选A. 4.若sin(α+β)=3sin(π-α+β),α,β∈,则=(A) A.2 B. C.3 D. 解析　因为sin(α+β)=3sin(π-α+β),所以sin αcos β=2cos αsin β,所以tan α=2tan β,即=2.故选A. 5.已知θ为第一象限角,sin θ-cos θ=,则tan 2θ=(D) A. B. C.- D.- 解析　由sin θ-cos θ=,得1-2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=,=1+2sin θcos θ=.因为θ是第一象限角,所以sin θ+cos θ=,所以sin θ=,cos θ=,所以tan θ=,所以tan 2θ=2×÷=-.故选D. 6.(2025·石家庄质量检测)已知α∈,且cos=2cos 2α,则tan=(D) A. B. C. D. 解析　因为cos=2cos 2α,所以(cos α+sin α)=2(cos2α-sin2α)=2(cos α+sin α)(cos α-sin α),因为α∈,所以cos α+sin α>0,所以cos α-sin α=,即=,所以cos=,因为α∈,所以α+∈,所以sin===,所以tan==,故选D. 二、多项选择题 7.已知f(x)=sin xsin-,则f(x)的值不可能是(CD) A.- B. C.-2 D.2 解析　因为f(x)=sin xsin-=sin x-=sin2x+sin xcos x-=×+sin 2x-=sin 2x-cos 2x=sin,所以-≤f(x)≤,f(x)的值不可能是-2和2.故选CD. 8.已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=-,则(BC) A.cos α=- B.sin α-cos α= C.β-a= D.cos αcos β=- 解析　因为≤α≤π,所以≤2α≤2π.又sin 2α=>0,故有≤2α<π,≤α<,则cos 2α=-.又cos 2α=2cos2α-1,则cos2α=,故cos α=,故A错误;因为(sin α-cos α)2=1-sin 2α=,≤α<,所以sin α≥cos α,所以sin α-cos α=,故B正确;因为π≤β≤,所以≤α+β<2π.又cos(α+β)=-<0,所以≤α+β<,解得sin(α+β)=-,所以cos(β-α)=cos [(α+β)-2α]=-×+×=-.又因为≤α+β<,-π<-2α≤-,所以<β-α<π,则有β-α=,故C正确;对于D选项,cos(α+β)=-,可得cos αcos β-sin αsin β=-,由C知,cos(β-α)=cos αcos β+sin αsin β=-,两式联立得cos αcos β=-,故D错误.故选BC. 三、填空题 9.计算= 2 .  解析　=-=-=-=2. 10.已知cos2=,则sin 2α=  .  解析　解法一:因为cos2=,所以sin 2α=cos=cos=2cos2-1=2×-1=. 解法二:由已知得=,即=,所以sin 2α=. 11.已知sin(π-α)=,cos(α-β)=,0<β<α<,则角β的大小是  .  解析　因为sin(π-α)=,所以sin α=.因为0<α<,所以cos α==.因为cos(α-β)=,且0<β<α<,所以0<α-β<,所以sin(α-β)==.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.因为0<β<,所以β=. 四、解答题 12.已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x. (1)求f的值; (2)若f=,α∈,求cos α的值. 解　(1)因为f(x)=2cos2x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x=1+2sin,所以f=1+2sin=1+2sin=1+1=2. (2)由f=,α∈,得α+∈,sin=,cos=,所以cos α=cos=coscos+sinsin=. 13.已知函数f(x)=sin+2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)当x∈时,求f(x)的值域. 解　(1)f(x)=sin 2xcos -cos 2xsin+1-cos 2x=sin 2x-cos 2x+1=sin+1,所以T==π,即f(x)的最小正周期为π. (2)因为x∈,所以2x-∈,所以-≤sin≤1,所以-≤sin+1≤+1,所以f(x)的值域为. 素养提升 14.(2025·广州综合测试)已知α,β是函数f(x)=3sin-2在上的两个零点,则cos(α-β)=(A) A. B. C. D. 解析　因为α,β是函数f(x)在上的两个零点,所以sin=,sin=,且2α+∈,2β+∈,所以2α++2β+=π,α+β=.所以cos(α-β)=cos=cos=cos=sin=,故选A. 15.某中学开展劳动实习,学生制作一个矩形框架的工艺品.要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上,则矩形框架周长的最大值为(D) A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.60 cm 解析　如图所示,EF=10,FG=20,令∠AEF=α,则AF=10sin α,∠AFE=-α,则∠BFG=α,BF=20cos α,BG=20sin α,∠BGF=-α,则∠CGH=α,CG=10cos α,所以周长=2AB+2BC=2(10sin α+20cos α)+2(20sin α+10cos α)=60sin α+60cos α=60sin≤60,故选D. 16.已知a=,b=,记f(x)=a·b,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若f=,x0∈,求cos 2x0. 解　(1)因为f(x)=a·b=2cos2x-2sin·cos=1+cos 2x-sin=1+cos 2x-sin 2x-cos 2x=-sin 2x-cos 2x+1=-sin+1,所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因为f=-sin+1=,可得sin=,又因为x0∈,则x0+∈,则cos=-=-,cos x0=cos=coscos+sinsin=-×+×=,所以cos 2x0=2cos2x0-1=. 学科网（北京）股份有限公司 $$